数字信号处理-使用Python分析与实现 课件 第3章 离散傅里叶变换（DFT）

1第3章离散傅里叶变换（DFT）

李蓉艳同济大学电子与信息工程学院第3章离散傅里叶变换（DFT）

2离散傅里叶变换3.1周期序列的傅里叶级数3.2四种形式的傅里叶变换变换式的含义与连续FS的关系与z变换、DTFT关系周期卷积等性质3.3离散傅里叶变换3.5DFT的应用时频域特点对偶性抽样频率频率分辨率信号时间长度隐含周期性与z变换DTFT、DFS关系圆周卷积圆周相关3.4频域抽样定理时域周期延拓时域恢复离散频率值逼近模拟信号频谱本章重点-离散傅里叶变换(DFT)3离散傅里叶变换（DiscreteFourierTransform,DFT）是数字信号处理中非常有用的一种变换，它对时域和频域都进行了离散化，可以使用计算机对信号进行时频域的计算。先来研究周期离散序列的傅里叶级数，然后在此基础上得出适用于有限长序列的离散傅里叶变换。43.1.1周期序列的离散傅里叶级数

5

3.1.1周期序列的离散傅里叶级数

6

3.1.1周期序列的离散傅里叶级数

7求周期序列的傅里叶逆变换

3.1.1周期序列的离散傅里叶级数8周期序列的离散傅里叶级数（DiscreteFourierSeries,DFS）变换对

3.1.1周期序列的离散傅里叶级数9

10

113.1.2DFS和连续时间周期信号傅里叶级数（FS）的关系

基信号

无穷多个有限个谐波分量个数周期

展开式离散傅里叶级数在时域和频域都是离散的周期序列知道一个周期的序列值，就可以获得周期序列的全部信息123.1.3离散傅里叶级数（DFS）和DTFT的关系

DTFTDFS

133.1.4离散傅里叶级数和Z变换的关系

143.1.5离散傅里叶级数的性质1线性

152.周期序列的移位

3.1.5离散傅里叶级数的性质

证明163.频域移位

证明

3.1.5离散傅里叶级数的性质174.对称性

证明从DFS逆变换式

因此

3.1.5离散傅里叶级数的性质185.周期序列卷积（1）如果

则

频域周期序列的乘积对应于时域周期序列的周期卷积证明：

代入

3.1.5离散傅里叶级数的性质19则

同理

20

解采用图解法进行周期卷积

一个周期的某一序列值移出计算区间时，相邻的一个周期的同一位置的序列值就从另一端移入计算区间21（2）由于DFS的对称性，如果

则

3.1.5离散傅里叶级数的性质223.2四种形式的傅里叶变换

时间函数频率函数

时间域非周期（频率域连续）时间域周期（频率域离散）时间域连续（频率域非周期）傅里叶变换（CTFT）傅里叶级数（FS）时间域离散（频率域周期）序列的傅里叶变换（DTFT）离散傅里叶级数（DFS，主值区间为DFT）231.连续时间与连续频率-傅里叶变换（CTFT）（b）非周期、连续频谱

3.2四种形式的傅里叶变换(a)连续、非周期信号

242.连续时间与离散频率-傅里叶级数（CTFS）

3.2四种形式的傅里叶变换(a)连续、周期信号

253.离散时间与连续频率-序列的傅里叶变换（DTFT）

3.2四种形式的傅里叶变换

264.离散时间、离散频率周期序列的傅里叶级数(DFS)

3.2四种形式的傅里叶变换

273.3离散傅里叶变换（DFT）离散傅里叶级数（DFS）

将离散傅里叶级数时域和频域的主值序列取出来，可以得到一对正逆变换对，称为有限长序列的离散傅里叶变换（DFT）。离散傅里叶变换（DFT）

主值区间

283.3.1离散傅里叶变换的定义正变换

逆变换

DFT是DFS的主值区间29

其中

在变换区间上满足下式离散傅里叶逆变换也是唯一的。3.3.1离散傅里叶变换的定义30

解:

31

32

333.3.2DFT与DTFT及Z变换的关系

其离散傅里叶变换为：

比较上面两式，得

或者

34

3.3.2DFT与DTFT及Z变换的关系

353.3.3离散傅里叶变换的矩阵表示

36

37

38

解

采用三种方式编写DFT矩阵（1）编写DFT矩阵程序importnumpyasnpN=4;n=np.arange(0,N,1)nk=np.outer(n,n)WN=np.exp(-2j*np.pi*nk/N)np.set_printoptions(precision=4,suppress=True)print('{}点的DFT矩阵：\n'.format(N),WN)4点的DFT矩阵：[[1.+0.j1.+0.j

1.+0.j1.+0.j][1.+0.j0.-1.j-1.-0.j-0.+1.j][1.+0.j-1.-0.j1.+0.j-1.-0.j][1.+0.j-0.+1.j-1.-0.j0.-1.j]]程序运行结果如下:39（2）调用Scipy.linalg线性代数工具库中的dft函数生成DFT矩阵，计算序列的DFTfromscipy.linalgimportdftimportnumpyasnpN=4x=np.ones(N)WN=dft(N)X=WN@xnp.set_printoptions(precision=4,suppress=True)print(X)程序运行结果为：[4.+0.j-0.-0.j0.-0.j0.-0.j]（3）IDFT矩阵fromscipy.linalgimportdftWN=dft(N)IWN=WN.conj()/N在已有DFT矩阵的情况下，利用numpy库中的conj()方法可以获得IDFT矩阵403.3.4DFT隐含的周期性

DFT是离散傅里叶级数的主值，DFT隐含有周期性。

41

对频域序列也可以表示为

3.3.4DFT隐含的周期性

423.4离散傅里叶变换的性质3.4.1线性

43

解编写程序验证DFT的线性，程序结果如图所示

importnumpyasnpimportmatplotlib.pyplotaspltx1=[1,1,1,1]x2=[1,-2,3,-4]a,b=2,3x3=np.add(np.multiply(a,x1),np.multiply(b,x2))print(x3)N=len(x2)n=np.arange(0,N,1)k=np.arange(0,N,1)k1=np.outer(n,k)D=np.exp(-1j*2*np.pi*k1/N)#DFTmatrixX1=np.dot(D,x1)X2=np.dot(D,x2)X3=np.dot(D,x3)X4=a*X1+b*X244

3.4离散傅里叶变换的性质3.4.2圆周移位

45

3.4离散傅里叶变换的性质

46频域也可以做圆周移位

频域圆周移位后对应的时域序列为

3.4离散傅里叶变换的性质47

48

解编程计算画出原序列的实部和虚部，圆周翻褶的实部和虚部。对比原序列和圆周翻褶后的DFT幅度和相位，如图所示。

49圆周翻褶序列的DFT是原序列DFT在频域上的周期翻褶（周期为N）50

共轭对称部分：

共轭反对称部分：

圆周共轭对称序列：

圆周共轭反对称序列：

主值序列主值序列3.4离散傅里叶变换的性质3.4.3圆周共轭对称性51

圆周共轭对称：圆周共轭反对称：

3.4离散傅里叶变换的性质52

时域序列时域序列的DFT53序列DFT的共轭对称性

3.4离散傅里叶变换的性质时域序列54实数序列DFT的共轭对称性时域序列时域序列的DFT纯虚序列DFT的共轭对称性3.4离散傅里叶变换的性质55圆周卷积

步骤：补零到N点圆周翻褶圆周移位相乘相加

圆周翻褶3.4离散傅里叶变换的性质56圆周卷积的矩阵形式

57

解：

4点的圆周卷积

58求解8点的圆周卷积

59隐含有周期性的含义，圆周卷积实际上是周期卷积的主值区间。60圆周卷积定理

证明：

3.4离散傅里叶变换的性质61

62两个序列在时域作圆周卷积，则在离散频域中DFT作相乘运算。

63圆周卷积与线性卷积

64

解：线性卷积

对位相乘法

123411112341234123413697465将线性卷积以4为周期做周期延拓0123451369741369……69748769

66卷积求解的变换域方法除了时域求解卷积的方法，还有变换域计算卷积的方法Z变换计算卷积

DFT计算卷积67序列的圆周相关定理

如果则圆周相关序列

证明：先延拓为周期序列

则

68则

取主值序列

69

序列的圆周相关定理70对称性

如果则有

证明：

由DFS的性质DFT是DFS的主值序列，因此有得证N点71Parseval定理

如果都为N点则有

信号形式不同，但是信号在一个域的能量与另一个域相等，即能量守恒原理。72频域卷积定理

则

3.4离散傅里叶变换的性质733.5频域采样定理对信号的连续频谱也需要离散化频域的采样又会引起时域的哪些变化呢？频域采样后恢复原信号的条件是什么？恢复信号的内插公式是什么？74

3.5频域采样定理75

3.5频域采样定理

76

3.5频域采样定理77

在主值区间内

…-2-1012345678……00123456780……00000000123……56780000000……5681034568103……008103456000…

783.5.2频域采样后的恢复

代入z变换公式，有

3.5频域采样定理79

令复频域插值函数复频域内插公式

80

令

写成下面的形式

内插公式可以写为

81DFT的应用模拟信号的数字化处理：时域采样

频域周期延拓加窗截断

频谱泄露频域采样时域周期延拓合理选择参数：采样频率