高中数学 加练 综合练3

综合练3(分值：80分)一、单项选择题(每小题5分，共30分)1.在复平面内，复数z1=-1+i与复数z2对应的点关于实轴对称，则|z2|等于()A.1 B.2 C.3 D.2答案B解析z1=-1+i，其在复平面内对应的点为(-1，1).因为复数z1与复数z2在复平面内对应的点关于实轴对称，所以z2在复平面内对应的点为(-1，-1)，即z2=-1-i，故|z2|=(-1)2+(-12.已知两个非零向量a，b满足|a+b|=|a-b|，则a-b在b上的投影向量为()A.b B.-b C.12b D.-1答案B解析由|a+b|=|a-b|，得|a+b|2=|a-b|2，即a2+2a·b+b2=a2-2a·b+b2，整理可得a·b=0，所以a-b在b上的投影向量为(a-b)·bb3.已知球的半径为1，其内接圆锥的高为32，则该圆锥的侧面积为(A.3π4 B.3π2答案C解析因为球的半径R=1，其内接圆锥的高h=32所以圆锥的底面圆半径r=12-32-12=32所以侧面积S=πrl=π×32×3=3π4.已知函数f(x)=ln(ax+2)在区间(1，2)上单调递减，则实数a的取值范围是()A.a<0 B.-1≤a<0C.-1<a<0 D.a≥-1答案B解析因为函数f(x)=ln(ax+2)在区间(1，2)上单调递减，且y=lnx在定义域内为增函数，所以y=ax+2在(1，2)上单调递减，且恒大于0，所以a<0，2a+2≥5.一个质地均匀的正八面体的八个面上分别标以数字1到8，将其随机抛掷两次，记与地面接触面上的数字依次为x1，x2，事件A=“x1=3”，事件B=“x2=6”，事件C=“x1+x2=9”，则()A.AB=C B.A+B=CC.A，B互斥 D.B，C相互独立答案D解析对于A，事件C发生时，事件AB不一定发生，所以A错误；对于B，当x1=1，x2=8时，事件C发生，但事件A+B不发生，所以B错误；对于C，当x1=3，x2=6时，A，B同时发生，所以C错误；对于D，P(B)=18，P(C)=18，P(BC)=164，P(B)×P(C)=P(BC)，所以6.已知F为双曲线C：x2a2-y2b2=1(a>0，b>0)的一个焦点，l为C的一条渐近线，若点F关于lA.2 B.5 C.52答案B解析由双曲线的对称性，不妨设F(c，0)，l：y=bax，点F关于l的对称点为M(m，n)则有n2=则有(a2-b整理得b4-2a2b2-3a4-a2c2=0，即(c2-a2)2-2a2(c2-a2)-3a4-a2c2=0，化简得c4-5a2c2=c2(c2-5a2)=0，故c2=5a2，则e=c2a2二、多项选择题(每小题6分，共12分)7.已知函数f(x)=sinωx+π3(ω>0)的最小正周期大于π2，若曲线y=f(x)关于点πA.f

π2=-B.y=f

x+C.x=π12是函数f(x)D.f(x)在0，答案ABC解析因为f(x)=sinωx+π3(ω>0)的最小正周期大于π2，所以2πω>π又y=f(x)关于点π3所以π3ω+π3=kπ(k∈Z所以ω=-1+3k，因为0<ω<4，所以当k=1时，ω=2，所以f(x)=sin2x对于A，f

π2=sin2×π=-32，故A对于B，f

x+π=sin2x+π2=cos由cos(-2x)=cos2x且x∈R，所以y=f

x+π12对于C，f'(x)=2cos2x+π3，令f'(x)=0得x=π12+k当x∈-5π12，π12时，f'(x)>0，当x∈π12，7π12时，f'(x)<0，f所以x=π12是函数f(x)的极大值点，故C对于D，由-π2+2kπ≤2x+π3≤π2+2kπ，k得-5π12+kπ≤x≤π12+kπ，k∈函数f(x)的单调递增区间为-5π12+kπ当k=0时，x∈-5π当k=1时，x∈7π12显然函数f(x)在0，π3上不单调，故8.设x1，x2(x1<x2)是直线y=a与曲线f(x)=x(1-lnx)的两个交点的横坐标，则()A.x1x2<eB.x2lnx1>x1lnx2C.∃a∈(0，1)，x2-x1>eaD.∀a∈(0，1)，x1lnx1+x2>a答案ACD解析由函数f(x)=x(1-lnx)的定义域为(0，+∞)，可得f'(x)=-lnx，令f'(x)=0，可得x=1，当0<x<1时，f'(x)>0，f(x)在(0，1)上单调递增；当x>1时，f'(x)<0，f(x)在(1，+∞)上单调递减，所以当x=1时，函数f(x)的极大值为f(1)=1.当x→0时，f(x)→0；当x→+∞时，f(x)→-∞，结合函数f(x)的单调性可得图象如图所示.对于A，由图可知0<x1<1，1<x2<e，所以x1x2<e，所以A正确；对于B，构造函数g(x)=lnxx，x可得g'(x)=1-lnx当0<x<e时，g'(x)>0，g(x)在(0，e)上单调递增，又0<x1<1<x2<e，所以g(x1)<g(x2)，可得lnx1x1<lnx2x2，可得x2lnx1<x对于C，由图可知，当a>0且a→0时，x2→e，x1→0⇒x2-x1→e，又因为当a→0时，ea→1，所以∃a∈(0，1)，x2-x1>ea，所以C正确；对于D，因为x1(1-lnx1)=a，所以x1lnx1=x1-a，所以x1lnx1+x2>a等价于x1+x2>2a，要证∀a∈(0，1)，x1lnx1+x2>a成立，即证x1+x2>2a，因为2a<2，故只需证x1+x2>2，因为0<x1<1，1<x2<e，只需证x2>2-x1且x2与2-x1均大于1.又因为f(x)在(1，+∞)上单调递减，只需证f(x2)<f(2-x1)，即证f(x1)<f(2-x1)，令F(x)=f(x)-f(2-x)，x∈(0，1)，可得F'(x)=f'(x)+f'(2-x)=-lnx-ln(2-x)=-ln[x(2-x)]>0，所以F(x)在(0，1)上单调递增，且F(x1)<F(1)=0，所以f(x1)<f(2-x1)成立，所以D正确.三、填空题(每小题5分，共10分)9.某人上楼梯，每步上一个台阶的概率为34，每步上两个台阶的概率为14，设该人从第1个台阶出发，到达第3个台阶的概率为答案13解析到达第3个台阶的方法有两种：第一种，每步上一个台阶，上两步，则概率为34×34=第二种，只上一步且上两个台阶，则概率为14所以到达第3个台阶的概率为916+14=10.在梯形ABCD中，AB∥CD，DA=DB=DC=1，则该梯形周长的最大值为.答案17解析设∠BAD=α，α∈0，则∠BDC=α，∠ADB=π-2α.在△ABD中，由余弦定理得AB2=DA2+DB2-2DA·DBcos∠ADB=2-2cos(π-2α)=2+2cos2α=4cos2α，所以AB=2cosα.在△BCD中，由余弦定理得BC2=DC2+DB2-2DC·DBcos∠BDC=2-2cosα=4sin2α2所以BC=2sinα2则AB+BC=2cosα+2sinα2=-4sin2α2+2sinα2+2=-4sin因为α∈0，π2，所以α2∈0，π4则当sinα2=14时，AB+BC取得最大值所以梯形ABCD周长的最大值为94+2=17四、解答题(共28分)11.(13分)我国于2020年打赢了脱贫攻坚战，其中小麦发挥了重大作用.以2020年为第1年，我国连续5年小麦产量如表：年份12345产量/千万吨13.413.713.813.614.0现规定xi表示第i年的年份，yi表示第i年的小麦产量，经计算得5Σi=1yi=68.5，5Σi=1xiyi=206.6，5Σi=1(1)求(xi，yi)(i=1，2，…，5)的样本相关系数(精确到0.01)；(6分)(2)现从这5年中随机抽取2年，记这2年中共有X年的小麦产量不低于13.7千万吨，求X的分布列与期望.(7分)附：样本相关系数r=nΣi=1(xi-x解(1)x=155Σi=15Σi=1故样本相关系数r=5Σi=1=206.6-68.5×355-5×9×0.2=1.1(2)由题意，这5年中小麦产量不低于13.7千万吨的有3年，故X的可能取值为0，1，2，则P(X=0)=C22CP(X=1)=C21CP(X=2)=C32C于是X的分布列为X012P133故E(X)=0×110+1×35+2×31012.(15分)微积分的创立是数学发展中的里程碑，它的发展和广泛应用开创了向近代数学过渡的新时期，为研究变量和函数提供了重要的方法和手段.对于函数f(x)=1x(x>0)，f(x)在区间[a，b]上的图象连续不断，从几何上看，定积分ʃab1xdx便是由直线x=a，x=b，y=0和曲线y=1x所围成的区域(称为曲边梯形ABQP)的面积，根据微积分基本定理可得ʃab1xdx=lnb-lna，因为曲边梯形ABQP的面积小于梯形ABQP的面积，即S曲边梯形(1)请仿照这种根据面积关系证明不等式的方法，证明：a-blna-lnb<(2)已知函数f(x)=ax2+bx+xlnx，其中a，b∈R.①证明：对任意两个不相等的正数x1，x2，曲线y=f(x)在点(x1，f(x1))和(x2，f(x2))处的切线均不重合；(5分)②当b=-1时，若不等式f(x)≥2sin(x-1)恒成立，求实数a的取值范围.(6分)(1)证明在曲线y=1x上取一点Ma过点Ma+b2，2a+b作f(x)的切线分别交AP，BQ因为S曲边梯形ABQP>S梯形可得lnb-lna>12·(|AM1|+|BM2|)·|AB|=12·2·2a+b·(b-a)(2)①证明由函数f(x)=ax2+bx+xlnx，可得f'(x)=2ax+lnx+b+1，不妨设0<x1<x2，曲线y=f(x)在点(x1，f(x1))处的切线方程为l1：y-f(x1)=f'(x1)(x-x1)，即y=f'(x1)x+f(x1)-x1f'(x1)，同理曲线y=f(x)在点(x2，f(x2))处的切线方程为l2：y=f'(x2)x+f(x2)-x2f'(x2).假设l1与l2重合，则f'代入化简可得ln两式消去a，可得lnx2-lnx1-2x2-整理得x2-x由(1)的结论知x2-x即对任意两个不相等的正数x1，x2，曲线y=f(x)在点(x1，f(x1))和(x2，f(x2))处的切线均不重合.②解当b=-1时，不等式f(x)≥2sin(x-1)恒成立，所以h(x)=ax2-x+xlnx-2sin(x-1)≥0在(0，+∞)上恒成立，所以h(1)≥0⇒a≥1.下证：当a≥1时，h(x)≥0在(0，+∞)上恒成立.因为a≥1，所以h(x)≥x2-x+xlnx-2sin(x-1)，设H(x)=x2-x+xlnx-2sin(x-1)，H'(x)=2x+lnx-2cos(x-1)，(ⅰ)当x∈[1，+∞)时，由2x≥2，lnx≥0，-2cos(