高中数学 加练 专题7　第61练　球的切、接问题

第61练球的切、接问题(分值：42分)1.解决与球相关的外接球问题常用方法有以下几种：(1)定义法：利用几何体外接球的球心到几何体各顶点距离相等找球心.(2)补形法：把几何体补成正方体、长方体、直棱柱等.(3)截面法：截面法的关键是作出截面，将空间几何问题转化为平面几何问题求解.2.解决与球相关的内切球问题的常用方法：一是找球心，球心到切点的距离相等且为球的半径，作出截面，在截面中求半径；二是利用等体积法直接求内切球的半径.一、单项选择题(每小题5分，共20分)1.已知圆台的高为3，上、下底面圆的半径分别为1和2，它的两个底面圆周在同一个球的球面上，则该球的表面积为()A.20π B.16π C.20π3 D.答案A解析设球心到上底面圆的距离为x，则球心到下底面圆的距离为|3-x|，由勾股定理得x2+12=|3-x|2+22，解得x=2，则外接球的半径R=x2+12=5，表面积为4π2.在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB=AC=1，PA=2，∠BAC=120°，则三棱锥P-ABC的外接球的半径为()A.2 B.3 C.5 D.6答案A解析在△ABC中，AB=AC=1，∠BAC=120°，所以∠ABC=∠BCA=30°，设△ABC外接圆的半径为r，则2r=ABsin∠ACB=112=2因为PA⊥平面ABC，设三棱锥P-ABC外接球的半径为R，则R2=r2+PA22，所以R=3.已知正四棱锥P-ABCD的侧棱长为5，底面边长为2，则该正四棱锥的内切球的体积为()A.433 B.43π27 C.答案B解析如图，设O为正四棱锥的底面中心，E为BC的中点，连接PO，OE，PE，则PO为四棱锥的高，PE为侧面△PBC的高，因为BC=2，PB=5，故PE=5-1=2，则PO=4-1=3，设该四棱锥的内切球半径为r，则13S四边形ABCD·PO=13(S四边形ABCD+4S△PBC)即13×4×3=13(4+4×12×2×2)r，解得r=33，故内切球的体积V=43π4.在边长为6的菱形ABCD中，∠BAD=π3，现将菱形ABCD沿对角线BD折起，当三棱锥A-BCD的体积最大时，三棱锥A-BCD外接球的表面积为(A.24π B.48π C.60π D.72π答案C解析在边长为6的菱形ABCD中，由∠BAD=π3△ABD和△BCD为等边三角形，如图所示，取BD的中点E，连接AE，CE，则AE⊥BD，AE=CE=33，当平面ABD⊥平面BCD时，三棱锥A-BCD的体积最大，故AE⊥平面BCD，由于△BCD为等边三角形，故三棱锥A-BCD外接球球心O在平面BCD内的投影为△BCD的外心O1，即OO1⊥平面BCD，故OO1∥AE，过点O作OH⊥AE于点H，则H为△ABD的外心，则OO1∥HE，即O，O1，E，H共面，则OH∥O1E，则四边形OO1EH为矩形，则在Rt△OHA中，OH=O1E=13CE=3AH=23AE=23所以外接球半径R=OH2+AH2=15，则外接球表面积二、多项选择题(每小题6分，共12分)5.已知A，B，C三点均在球O的表面上，AB=BC=CA=2，且球心O到平面ABC的距离等于球半径的13，则下列结论正确的是(A.球O的半径为3B.球O的表面积为6πC.球O的内接正方体的棱长为6D.球O的外切正方体的棱长为6答案BD解析设球O的半径为R，△ABC的外接圆圆心为O'，半径为r，则r=22sin60°=2因为球心O到平面ABC的距离等于球半径的13，所以R2-19R2=r2，得R2=32，R=6所以球O的表面积S=4πR2=4π×32=6π，B设球O的内接正方体的棱长为a，则满足3a=2R，解得a=2，C不正确；设球O的外切正方体的棱长为b，则满足b=2R，解得b=6，D正确.6.已知半径为R的球与圆台的上下底面和侧面都相切.若圆台上下底面半径分别为r1和r2，母线长为l，球的表面积与体积分别为S1和V1，圆台的表面积与体积分别为S2和V2.则下列说法正确的是()A.l=r1+r2 B.R=rC.S1S2=V1答案ABC解析由切线长定理易得l=r1+r2，A正确；由勾股定理知(2R)2=(r1+r2)2-(r1-r2)2=4r1r2，解得R=r1r2因为S1S=4πR22π(设圆台的高为h，易知h=2R，V1V2=43πR313π(r因为S1S2=2r1r2r12+这与圆台的定义矛盾，故D错误.三、填空题(每小题5分，共10分)7.已知圆锥的内切球半径为1，底面半径为2，则该圆锥的表面积为.答案8π解析过圆锥的轴以及内切球球心的截面图如图所示.设圆锥的高为h，母线的长为l，底面半径为r，圆锥的内切球半径为R，则在Rt△SO1B中有h2+r2=l2，即h2+2=l2， ①又由△SDO∽△SO1B得Rr=h即l=2(h-1)， ②所以由①②得l=32，h=4(h=0，l=-2舍去)，所以圆锥的表面积为S=S底+S侧=πr2+πrl=2π+6π=8π.8.现将一个棱长为2的正方体魔方放入一个正四面体的盒子中，若该魔方可以在正四面体内自由转动，则这个正四面体棱长的最小值为.答案62解析由