高中数学 加练 专题8　第85练　非对称韦达定理

第85练非对称韦达定理(分值：30分)在圆锥曲线问题中，我们联立直线和圆锥曲线方程，消去x或y，得到一个一元二次方程，往往能够利用韦达定理来快速处理|x1-x2|，x12+x22，1x1+1x2之类的结构，但在有些问题中，我们会遇到涉及x1，x2的不同系数的代数式的运算，比如x1x2，31.(15分)已知M是一个动点，MM1与直线y=52x垂直，垂足M1位于第一象限，MM2与直线y=-52x垂直，垂足M2位于第四象限，且MM1·(1)求动点M的轨迹方程E；(6分)(2)设A1(-2，0)，A2(2，0)，过点(3，0)的直线l与曲线E交于A，B两点(点A在x轴上方)，P为直线A1A，A2B的交点，当点P的纵坐标为5106时，求直线l的方程.(9解(1)设M(x，y)，直线y=52x的倾斜角为θ则tanθ=52tan∠M1OM2=tan2θ=2tan=-45<0，∠M1OM2为钝角，所以cos∠M1OM2=-19cos∠M1MM2=cos(π-∠M1OM2)=-cos∠M1OM2=19|MM1|=52|MM2|=52所以MM1=5x-2y3·5x由于M1位于第一象限，M2位于第四象限，所以M的轨迹方程E：x24-y25=1(x(2)设l：x=my+3，A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立x化简得(5m2-4)y2+30my+25=0，5m2-4≠0，则Δ=900m2-100(5m2-4)>0，y1+y2=-30m5m2-4，y1直线AA1：y=y1x1+2(直线BA2：y=y2x2-2(联立直线AA1与直线BA2的方程可得x+2x-2=y2(方法一(和积转化)因为my1y2=-56(y1+y2)所以my1y2方法二(配凑)因为my1y2=-56(y1+y2)所以m=m=m=my1由x+2x-2=-5，可得x=43直线AA1的斜率为51064联立y消去x化简得y2-210y=0，解得y1=210，x1=6，故A(6，210)，则m=6-3210=32故直线l的方程为x=31020y即210x-3y-610=0.2.(15分)在平面直角坐标系Oxy中，已知双曲线C：y2a2-x2b2=1(a>0，b>0)的一条渐近线为y=33x(1)求C的方程；(6分)(2)设C的上焦点为F，过F的直线l交C于A，B两点，且AF=7BF，求l的斜率.(9分)解(1)由双曲线标准方程可知，其渐近线方程为y=±abx，所以33=可得b2=3a2，将点P(3，2)代入双曲线C的方程可得2a2-3解得a2=1，b2=3，所以双曲线C的方程为y2-x23(2)由(1)可知，上焦点F(0，2)，设直线l的斜率为k，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则直线l的方程为y=kx+2，联立y整理得(3k2-1)x2+12kx+9=0，则3k2-1≠0，Δ>0，所以x1+x2=-12k3k2-1，x1又AF=7BF，即(-x1，2-y1)=7(-x2，2-y2)，可得x1=7x2，方法一(倒数相加法)因为x1x所以x1x2+x2x即-12k3解得k=±255，所以直线l的斜率为±方法二(消元法)x即-3k2(3解得k=±255，所以直线l的斜率为±方法三利用焦点弦定理(此方法只能在小题中使用)：|esinα|=λ-