高中数学 加练 专题3　第28练　极值点偏移(二)

第28练极值点偏移(二)(分值：30分)极值点偏移问题的常用求解方法(1)在证明过程中出现的形式不符合和、积型结构时，通过换元构造新函数然后再进行证明.(2)比值代换法：通过代数变形，将所证的双变量不等式通过代换t=x1x2，1.(15分)已知函数f(x)=x2lnx，若方程f(x)=m有两个不相等的实根x1，x2，求证：x12+x2证明令a=x12，b=x22，则f(x1)=即x12lnx1=x22ln所以x12lnx12=所以alna=blnb，设函数g(x)=xlnx，x>0，则g(a)=g(b)，g'(x)=lnx+1，所以g'(x)>0⇔x>1g'(x)<0⇔0<x<1所以g(x)在0，1e上单调递减，在求证x12+x22>2e，即证不妨设a<b，则0<a<1e<b则2e-a>令h(x)=g(x)-g2e-x，由h'(x)=g'(x)+g'2e-x=lnx+1+ln2=ln-x-所以h(x)在0，1e上单调递减，h(x)>h所以g(a)>g2e-a，即g(b又g(x)在1e，所以b>2e-a，即a+b>故x12+x222.(15分)若函数f(x)对其定义域内任意x1，x2(x1≠x2)满足：当f(x1)=f(x2)时，恒有x1x2=m，其中m为常数，则称函数f(x)具有性质V(m).(1)若函数g(x)=2x+1x具有性质V(m)，求m；(4分(2)设函数h(x)=x-lnx，h(x1)=h(x2)(x2>x1>0)，①判断函数h(x)是否具有性质V(m)，若具有，求出m，若不具有，请说明理由；(5分)②证明：x1x22<2.(6(1)解g(x)=2x+1x的定义域为(-∞，0)∪(0，+∞)对任意的x1，x2∈(-∞，0)∪(0，+∞)且x1≠x2，有2x1+1x1=2x2即2x1-2x2+1x1-1x2=2(x1-x2)+x2-x1x1x因为x1≠x2，所以x1-x2≠0，故1x1故x1x2=12，故m=(2)①解h(x)不具有性质V(m)，理由如下：h(x)=x-lnx的定义域为(0，+∞)，h'(x)=1-1x=当0<x<1时，h'(x)<0；当x>1时，h'(x)>0，故h(x)在(0，1)上单调递减，在(1，+∞)上单调递增，且当x→0时，h(x)→+∞，当x→+∞时，h(x)→+∞，又x2>x1，故0<x1<1<x2，假设函数h(x)具有性质V(m)，即x1x2=m，所以x2=m因为x1-lnx1=x2-lnx2，所以x1-lnx1=mx1-lnmx1=mx1-ln故x1-mx1-2lnx1+lnm=0对于任意的x1∈(0，1)即x1-mx1-2lnx1+lnm恒为0，显然不可能，故假设不成立，故h(x)不具有性质V(m②证明因为x1-lnx1=x2-lnx2，所以lnx2-lnx1=x2-x1，即x2-下面证明x2-即证x2-x1x1x2>ln令x2x1=t>1，则x2x1-x1x2>lnx2x1⇒t-1令p(t)=t-1t-2lnt，t>1则p'(t)=1+1t2-2t=t2故p(t)=t-1t-2lnt在(1，+∞)上单调递增故p(t)>p(1)=0，t-1t-2lnt>0所以x2-x1lnx2-lnx1>x当1<x2≤2时，x1x22=x1x2·x2当x2>2时，h(x1)-h2x22=h(x2)-h2x22=x2-lnx=x2-lnx2-2x22+ln2-2lnx2=x2-3lnx2-2x令q(x)=x-3lnx-2x2+ln2，xq'(x)=1-3x+4x3=x3故q(x)=x-3lnx-2x2+ln2在(2，+∞)又q(2)=32-2ln2=lne32-ln4，其中e3-16>0，故所以q(2)>0，