高中数学 加练 专题3　第31练　主元变换_第1页
高中数学 加练 专题3　第31练　主元变换_第2页
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文档简介

第31练主元变换(分值：30分)对于题目涉及的两个变元，已知其中一个变元在题设给定的范围内任意变动，求另一个变元的取值范围问题，这类问题我们称为“伪双变量”问题，这种“伪双变量”问题，往往会利用我们习惯将字母x作为自变量的误区来进行设计，此时，我们可以变更主元，“反客为主”，将另一个变量作为自变量，从而使问题得以解决，我们称这种方法为变更主元法.1.(15分)已知a∈R，设函数f(x)=(ax2+2ax+1)ex-2.(1)求函数f(x)的单调区间；(7分)(2)若a<-17，求证：当x≥0时，f(x)<0.(8(1)解f'(x)=(ax2+4ax+2a+1)ex，记Δ=16a2-4a(2a+1)=8a2-4a.当a=0时，f'(x)=ex>0，f(x)在(-∞，+∞)上单调递增；当a<0时，Δ>0，令f'(x)=0，得x1=-2x2=-2所以f(x)的单调递增区间为(x1，x2)，单调递减区间为(-∞，x1)和(x2，+∞)；当a>0时，若Δ≤0，即0<a≤12，f'(x)≥0，f(x)在(-∞，+∞若Δ>0，即a>12，令f'(x)=0，得x3=-2a-所以f(x)的单调递增区间为(-∞，x3)，(x4，+∞)，单调递减区间为(x3，x4).(2)证明当x≥0时，令g(a)=(ax2+2ax+1)ex-2，则g'(a)=(x2+2x)ex≥0，当且仅当x=0时取等号，所以g(a)单调递增，当a<-17时，g(a)<g-17=-1令h(x)=-17x2-27x+1则h'(x)=-17(x2+4x-5)e=-17(x+5)(x-1)ex令h'(x)=0，则x=1或x=-5(舍去)，所以h(x)在[0，1)上单调递增，在(1，+∞)上单调递减，所以h(x)max=h(1)=4e-147<0即当x≥0时，h(x)<0，得证.2.(15分)已知函数f(x)=emx-1-lnx(1)若m=1，求f(x)的单调区间；(6分)(2)若f(x)的最小值为m，求m的最小值.(9分)解(1)当m=1时，f(x)=ex-1-lnxx，f'(x)=ex-1-1-lnxx2令u(x)=x2ex-1+lnx-1，易知u(x)在(0，+∞)上单调递增，且u(1)=0，所以当x∈(0，1)时，u(x)<0，此时f'(x)<0；当x∈(1，+∞)时，u(x)>0，此时f'(x)>0，所以函数f(x)的单调递减区间为(0，1)，单调递增区间为(1，+∞).(2)依题意可得，emx-1-lnxx≥m恒成立，构造关于m的函数g(m)=emx-1-lnxx-g'(m)=xemx-1-1，令g'(m)>0，得m>1-lnx令g'(m)<0，得m<1-ln所以g(m)在1-lnxx，+∞上单调递增，在-∞，1-lnxx上单调递减，故g(m)min=而g1-lnxx=e1-lnxx·x即g(m)≥g1-lnxx依题意，不等式g(m)≥g1-lnxx=0中的等号可以取到，即方程m=1-ln令h(x)=1-lnxx(x>0)，则h'(x)

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