高中数学 加练 专题5　第45练　平面向量基本定理及运算

专题5平面向量与复数第45练平面向量基本定理及运算(分值：52分)一、单项选择题(每小题5分，共30分)1.在平面直角坐标系中，向量PA=(1，4)，PB=(2，3)，PC=(x，1)，若A，B，C三点共线，则x的值为()A.2 B.3 C.4 D.5答案C解析由A，B，C三点共线，PA，PB不共线，得PC=λPA+μPB，λ+μ=1，即(x，1)=λ(1，4)+μ(2，3)=(λ+2μ，4λ+3μ)，则x=λ2.如图，在正方形ABCD中，E，F分别为边BC，CD的中点，若AG=23AB+56AD，EG=λEF，则λA.14 B.13 C.2答案C解析如图，建立平面直角坐标系，设正方形ABCD边长为6，则A(0，0)，B(6，0)，D(0，6)，C(6，6)，E(6，3)，F(3，6)，∴AG=23AB+56AD=23(6，0)+56(0，6)=∴G(4，5)，EG=(-2，2)，EF=(-3，3)，∴EG=23EF，∴λ=3.在平行四边形ABCD中，M，N分别在边BC，CD上，且满足BC=3MC，DC=4NC，若AB=4，AD=3，则△AMN是()A.锐角三角形 B.钝角三角形C.直角三角形 D.等腰三角形答案C解析∵AN·MN=(AD+DN)·(MC+CN)=AD+3=13|AD|2-316|AB|2=13×9-3∴AN⊥MN，∴△AMN是直角三角形.4.在平行四边形ABCD中，已知E，F分别为CD，AD的中点，直线BE，CF交于点O，若AB=a，AD=b，则AO等于()A.12a+34b B.35aC.13a+23b D.23a答案B解析设BO=λBE，λ∈(0，1)，则AO=AB+BO=AB+λBE=AB+λ(BC+CE)=a+λb-12a=1-λ又b=2AF，a=AC-2AF，所以AO=1-λ2(AC-2AF)+2λAF=1-λ2AC+因为F，O，C三点共线，所以1-λ2+3λ-2=1，解得λ=4所以AO=1-λ2a+λb=35a+5.如图，在△ABC中，∠BAC=π3，AD=3DB，P为CD上一点，且满足AP=mAC+14AB，若|AC|=3，|AB|=4，则AP·CD的值为A.-3 B.3 C.-32 D.答案C解析因为AD=3DB，所以AB=43所以AP=mAC+14AB=mAC+因为C，P，D三点共线，所以m+13=1，即m=2所以AP=23AC+又CD=AD-AC=34AB-所以AP·CD=23AC=316|AB|2-23|AC|2+14AB·AC=316×16-23×9+14×3×46.已知点P在△ABC所在平面内，若PA·ACAC-ABAB=PB·BCBC-BABA=0，则点A.外心 B.垂心C.重心 D.内心答案D解析在△ABC中，由PA·ACAC-得PA·ACAC=PA·AB即AP·ACAC=AP·ABAB，由PB·BC同理得BP·BCBC=BP·BA显然AP≠0，即P与A不重合，否则cos∠ABC=1，同理BP≠0，则|AP|cos∠PAC=|AP|cos∠PAB，即cos∠PAC=cos∠PAB，∠PAC=∠PAB，于是AP平分∠BAC，同理BP平分∠ABC，所以点P是△ABC的内心.二、多项选择题(每小题6分，共12分)7.在边长为3的等边△ABC中，CD=2DB，BE=2EA，则下列结论正确的是()A.AD=13ABB.AD·CE=-7C.|DE|=3D.DE·CE=|DE|2答案BCD解析因为CD=2DB，BE=2EA，所以BD=13BC，AE=对于A，AD=AB+BD=AB+13BC=AB+13(AC-AB)=1对于B，CE=AE-AC=13AB-所以AD·CE=13AC+23AB·13AB-AC=1=29AB2-13AC2-59AC·AB=29×9-13×9-59对于C，因为DE=AE-AD=13AB-13AC+所以|DE|2=19AB2+29AB·AC+19AC2=19×9+29×3×3×12+对于D，DE·CE=-13AB-13AC·13AB-AC=-=-19AB2+29AB·AC+13AC2=-19×9+29×3×38.设向量a，b，c满足a+b+c=0，|a|=|b|=1，|c|=3，则下列结论正确的是()A.a·b+b·c+c·a=-5B.〈a，b〉=2πC.|a-c|=7D.cos〈a-c，b-c〉=13答案ACD解析将a+b+c=0平方，得(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(a·b+a·c+b·c)=0，由a2=b2=1，c2=3，得a·b+b·c+c·a=-52，故A由a+b=-c平方，得(a+b)2=a2+b2+2a·b=c2，得a·b=12，又〈a，b〉∈[0，π]，所以〈a，b〉=π3，故因为a+c=-b，所以|a+c|=|b|=1，1=|a+c|2=4+2c·a，所以c·a=-32所以|a-c|2=4-2c·a=7，即|a-c|=7，故C正确；由选项C可得，b+c=-a，与C同理可得，b·c=-32，|b-c|=7则(a-c)·(b-c)=a·b-b·c-a·c+c2=132所以cos〈a-c，b-c〉=1314，故D正确三、填空题(每小题5分，共10分)9.已知非零向量a，b满足b=(3，1)，〈a，b〉=π3，若(a-b)⊥a，则向量a在b方向上的投影向量的坐标为答案3解析由已知可得，|b|=(3)因为(a-b)⊥a，所以(a-b)·a=a2-a·b=|a|2-|a||b|cosπ3=|a|2-|a|=0解得|a|=1或|a|=0(舍去)，所以向量a在b方向上的投影向量为|a|cosπ3·b|b|=110.已知点O，G分别是△ABC的外心、重心，AB=3，AC=2，则AO·AG的值为.答案13解析设BC的中点为D，连接AD，OD，由于G为△ABC的重心，则G一定在线段AD上，且AG=2GD，所以AG=23AD=23×12(AB+AC)由于O