高中数学 加练 专题6　第51练　等差数列

专题6数列第51练等差数列(分值：40分)一、单项选择题(每小题5分，共15分)1.若等差数列{an}的前15项和S15=30，则a7+a8+a9等于()A.-2 B.6 C.10 D.14答案B解析∵等差数列{an}的前15项和S15=30，∴S15=152(a1+a15)=15a8=30，解得a8=2∴a7+a8+a9=3a8=6.2.已知等差数列{an}共有(2n+1)项，其中奇数项之和为290，偶数项之和为261，则an+1的值为()A.30 B.29 C.28 D.27答案B解析∵奇数项共有(n+1)项，其和为a1+a2n+12·(n+1)=2∴(n+1)an+1=290.∵偶数项共有n项，其和为a2+a2n2·n=2a∴an+1=290-261=29.3.设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1=1，Sn=nan-2n(n-1)，则()A.S6=a17+a1 B.S6=a17-a1C.S6=a17+a2 D.S6=a17-a2答案A解析当n≥2时，an=Sn-Sn-1=nan-2n(n-1)-(n-1)an-1+2(n-1)(n-2)=nan-(n-1)an-1-4(n-1)，则(n-1)an-(n-1)an-1=4(n-1)，即an-an-1=4，所以数列{an}是公差为4的等差数列.又a1=1，则an=1+4(n-1)=4n-3，Sn=1+(4n-3)2×n=n(2n所以a17=4×17-3=65，S6=6×11=66=a17+a1.二、多项选择题(共6分)4.设数列{an}的前n项和为Sn，Sn+1n+1-Snn=-1，SA.{an}是等差数列B.S3，S6-S3，S9-S6成等差数列，公差为-9C.当n=16或n=17时，Sn取得最大值D.当Sn≥0时，n的最大值为32答案AC解析由Sn+1n+1-Snn=-1，S1=32可得，数列则Snn=32+(n-1)×(-1)=-n∴Sn=-n2+33n.对于选项A，∵Sn=-n2+33n，∴当n≥2时，an=Sn-Sn-1=(-n2+33n)-[-(n-1)2+33(n-1)]=-2n+34，∵当n=1时，a1=S1=32也符合上式，∴an=-2n+34，n∈N*.∵an+1-an=[-2(n+1)+34]-(-2n+34)=-2，∴数列{an}是公差为-2的等差数列，故选项A正确；对于选项B，∵Sn=-n2+33n，∴S3=-32+33×3=90，S6=-62+33×6=162，S9=-92+33×9=216，∴S6-S3=72，S9-S6=54，则2(S6-S3)=S3+(S9-S6)，(S6-S3)-S3=-18，∴S3，S6-S3，S9-S6成等差数列，公差为-18，故选项B错误；对于选项C，∵Sn=-n2+33n=-n-3322+10894，∴当n=16或n=17时，Sn取得最大值，故选项C正确；对于选项D，令Sn=-n2+33n≥0，得0≤n≤33，n∈N*，即当Sn≥0时，n的最大值为33，故选项D错误.三、填空题(共5分)5.等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，且SnTn=3n+1n+3，则a2+答案831或解析由等差数列的性质可得a1+a21=a2+a20，b1+b21=b7+b15，S21T21=21(a1因为SnTn所以a2+a20b7+b15因为S2n-1T2n-1=(2所以anbn=S2n-1T2n-1=要使anbn的值为正整数，因为n∈N*，所以n+1为2或4，所以n=1四、解答题(共14分)6.(14分)已知数列{an}为等差数列，且满足a2n=2an+1(n∈N*).(1)若a1=1，求{an}的前n项和Sn；(6分)(2)若数列{bn}满足5b2-1b1=34，且数列{an·bn}的前n项和Tn=(3n-4)·2n+1+8，求数列{bn}解(1)当n=1时，由a2n=2an+1，则a2=2a1+1，因为a1=1，则a2=3，所以等差数列{an}的公差为a2-a1=2，即an=1+(n-1)·2=2n-1，所以{an}的前n项和Sn=n(a1+an(2)当n=1时，a1b1=T1=(3-4)×22+8=4，可得b1=4a当n≥2时，anbn=Tn-Tn-1=[(3n-4)·2n+1+8]-[(3n-7)·2n+8]=3n·2n+1-2n+3-3n·2n+7·2n=2n(6n-8-3n+7)=2n(3n-1)，将n=1代入上式，则a1b1=2×(3-1)=4=T1，综上所述，anbn=2n(3n-1)，n∈N*.a2b2=22×(3×2-1)=20，可得b2=20a由(1)可知a2=2a1