高中数学 加练 专题6　第53练　数列中的构造问题

第53练数列中的构造问题(分值：40分)一、单项选择题(每小题5分，共15分)1.已知数列{an}满足a1=1，an+1=an4an+1，则满足an>137A.7 B.8 C.9 D.10答案C解析因为a1=1，an+1=an4an+1所以1an+1所以1an+1-又1a1=1，所以数列1an是以所以1an=1+4(n-1)=4n所以an=14由an>137，即14n即0<4n-3<37，解得34<n<10因为n为正整数，所以n的最大值为9.2.在数列{an}中，若a1=3，an+1=an2，则an等于(A.3n B.3n-1C.33n答案D解析由a1=3，an+1=an2知an对an+1=an2两边取以log3an+1=2log3an，则数列{log3an}是以log3a1=1为首项，2为公比的等比数列，则log3an=1·2n-1=2n-1，即an=323.在数列{an}中，Sn为其前n项和，首项a1=1，函数f(x)=x3-an+1sinx+(2an+1)x+1，若f'(0)=0，则S2025等于()A.22023-2024 B.22024-2025C.22025-2026 D.22026-2027答案D解析因为f(x)=x3-an+1sinx+(2an+1)x+1，所以f'(x)=3x2-an+1cosx+2an+1，若f'(0)=0，则an+1=2an+1，所以an+1+1=2(an+1)，又a1+1=2，所以数列{an+1}是以2为首项，2为公比的等比数列，所以an+1=2n，所以an=2n-1，故Sn=2(1-2n)1-2-n=2n+1所以S2025=22026-2027.二、多项选择题(共6分)4.已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1=1，a2=2，当n≥2时，an+1=4an-3an-1，则下列说法正确的是()A.数列{an+1-an}为等差数列B.数列{an+1-3an}为等比数列C.an=3n-1+1D.Sn=3n-1答案BD解析因为当n≥2时，an+1=4an-3an-1，所以an+1-an=3(an-an-1)或an+1-3an=an-3an-1，又a1=1，a2=2，所以a2-a1=1≠0，a2-3a1=-1≠0，所以数列{an+1-an}是首项为1，公比为3的等比数列，故A不正确；数列{an+1-3an}是首项为-1的常数列，即为公比为1的等比数列，故B正确；由A，B项分析可得an+1-an=3n-1，且an+1-3an=-1，所以an=3n-1+1Sn=a1+a2+…+an=30+12+3+12+…+3n-1+12=12(1+3+3=12×1-3n1-3+n2=3n三、填空题(共5分)5.已知Sn是数列{an}的前n项和，a1=a2=1，an+an+1=2n+1(n≥2)，则S2026S2025答案1014解析因为an+an+1=2n+1(n≥2)，所以an+1-(n+1)=-(an-n)(n≥2).因为a2-2=-1，所以{an-n}从第二项起是公比为-1的等比数列，所以an=n+(-1)n-1(n≥2)，所以an=1所以S2025=1+2-1+3+1+…+2025+1=2025×1013，S2026=1+2-1+3+1+…+2026-1=2025×1014，所以S2026S2025四、解答题(共14分)6.(14分)设数列{an}的前n项和为Sn.已知a1=1，a2=32，a3=54，且当n≥2时，4Sn+2+5Sn=8Sn+1+Sn(1)求a4的值；(3分)(2)证明：数列an+1-1(3)求数列{an}的通项公式.(5分)(1)解当n=2时，4S4+5S2=8S3+S1，即4×1+32+54+a4+5×1+32(2)证明∵4Sn+2+5Sn=8Sn+1+Sn-1(n≥2)，∴4Sn+2-4Sn+1+Sn-Sn-1=4Sn+1-4Sn(n≥2)，即4an+2+an=4an+1(n≥2)，∵4a3+a1=4×54+1=6=4a2∴4an+2+an=4an+1，∵an+2-12an+1a∴数列an+1-12an是以a2-1(3)解由(2)知，an+1-12