第1课时 余弦定理（提升练）原卷版

第六章平面向量及其应用

6.4.3第一课时余弦定理（提升练）

一、单选题（共5小题，满分25分，每小题5分）

2

1.在阿中，cosC=~,力04,叱3,则cos田（）

3

1112

A.-B.-C.—I）.一

9323

2.若^力比的内角46”所对的边3,4。满足（3+。）2—1=4,且。=60°,则数=（）

A.8-4小B.1

3.已知△/必。中，角力，B,C的对边分别为a,b,c,若a=10,6=15,6^60°,则cosA

=（）

A或B神c-亚D-哑

14141414

4.a'的内角儿B,C的对边分别为a,b,c,若^=ac且c=2a,则cos«等于（）

13

A.—B.7

44

C蛆D也

43

5.AABC中，角A，B,。的对边分别为。，b,c,则“。W；（b+c）”是“A为锐角”

的（）

A.充分非必要条件B.必要非充分条件

C.充分必要条件D.既非充分又非必要条件

二、多选题（共3小题，满分15分，每小题5分，少选得3分，多选不得分）

6.在△械7中，三内角4B,。的对边分别为a,b,c,且4+°2一/儿=才，%=也才，

则角C的大小可能是（）

5

A.一冗

6

Bc

7.在△俯。中，cos?5=%一(a,b,c分别为角儿B,C的对边)，则△仍。的形状不可能为

/jC

()

A.直角三角形B.等边三角形

C.等腰三角形D.等腰三角形或直角三角形

8.△/18。的内角/!,B,C的对边分别为a,b,c,已知3acosA=bcosC+ccosB,Z?+c=

3,则a的最小值不可能为()

B.邓

三、填空题(共3小题，满分15分，每小题5分，一题两空，第一空2分)

9.在△A3C中，已知B=60,b1=ac,则/\ABC形状为

三角形

10.在AABC中，点力在边8C上，ADLAC,sinZBAC=—,A8=3亚，AD=3,

3

则80=

11.已知AA3C的三边分别为所对的角分别为AB,C,且三边满足」=

a+bb+c

已知ZVIBC的外接圆的面积为34，设f(x)=cos2x+1(a+c)sinx+1.则a+c的取值范

围为,函数f(x)的最大值的取值范围为.

四、解答题：(本题共3小题，共45分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。)

A+r

12.设△人的内角A,B,C的对边分别为a,b：c.已知asin----=/?sinA.

2

(1)求B；

(2)若ZV14C为锐角三角形，且c=l,求。的取值范围.

13.在AA8C中，角A、B、。的对边分别为a、b、c,且满足/=/+应祀。

(1)求3的大小；

⑵求后cosA+cosC的最大值。

14.应'的内角儿/，，，的对边分别为挤b,c,已知coslg，zf)，cos/1=q.

(1)求力;

(2)若b-c=2a,证明：△/出。是直角三角形.

3

A级必备知识基础练

L［探究点一堆ZVIBC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,

若〃=0巨力=3,A=60°,则c=（）

A.lB.2C.4D.6

2」探究点二］若△43。的三边长分别为A3=7,8C=5,C4=6,则

荏•瓦的值为（）

A.19B.14C,-18D.-19

3.（多选题）［探究点一］在锐角三角形ABC中力=l,c=2,则a的

值不可以是（）

A.lB.2C.3D.4

4」探究点二］在△A8C中⑼力,c分别是内角A,B,C所对的边,

已矢口2〃cos。=2/?+8。,贝4角A等于（）

A.-B.-C.-D.-

6336

5.M果究点二］在△ABC中,A8=3乃C=jn,AC=4,则边AC上的

高为（）

A—R.—C-D.3V3

222

6」探究点三］在△A8C中，内角A,8c的对边分别为。，瓦c,且满

足c=2acos氏则△ABC的形状是.

7」探究点二］在△A3C也内角A,8,C的对边分别为〃乃。已知

8=。,28=代。，则cosA=.

8」探究点二］在5c中，角A,5,C的对边分别为《be若册3。,

则cosB的最小值是.

9」探究点二］在△A3。中，内角ARC的对边分别为么4c已知

a-b=49a+c=2b,且最大角为120°,则此三角形的最大边长

为.

10」探究点一］在△?15c中,cosC=；,c=8/=7,求：

(1"的值;

(2)角A的大小.

B级关键能力提升练

11.(多选题)设△ABC的内角A,B,C的对边分别为ahc,若

4Z=2,C=2V3,COS则b=()

2

A.2B.3

C.4D.2V2

12.L2023全国高一专题练习］在△ABC中乃=3,C=8Q,3E,则

6

cosC=()

A.立B二

22

C.--D.--

22

13.在△ABC中，角A,B,C的对边分别为。力,c若士＞0,则4

2ab

ABC{）

A.一定是锐角三角形

B.一定是直角三角形

C.一定是钝角三角形

D.是锐角或直角三角形

14.在△ABC中⑼力,c为角A,B,C的对边，且反二g则B的取值

范围是（）

A。，；］B.M

C.（o，mD.［川）

15.在5c中，若a4+〃+c,4=2c2m2+加）厕角C等于（）

A.60°B.45。或135°

C.1200D.300

16.（多选题）在钝角△ABC中，若c=8,A』,则边a的值可能为

3

（）

A.7B.9C.12D.16

17.在△ABC中,A8=31C=g,AC=4,则A=,AC边

上的高为.

18.如图，在△A5C中,已知点。在边3c上,A。J_AC于点A,sin

NBAC=毡,AB=3&,4O=3,则BD的长为.

3

19.若2Q+1,〃,2Q-1为钝角三角形的三边长,求实数a的取值范

围.

20.设AABC是锐角三角形,力,c分别是内角A,8,C所对的边,

且sin2A=sin(-+B^sin^--B)+sin2B.

33

(1)求A的值;

(2)若b,c的值.

C级学科素养创新练

21.在△ABC中,3C=Q,AC=0,且a,b是方程X2-2A/3X+2=0的两

根,2cos(A+5)=l.

(1)求角。的大小；

(2)求A3的长.

参考答案

1.C由余弦定理，得"=/+C2-20CCOSA,即13=9+/-3。.即/-304=0,解得c=4(负值舍去).

2.D设△ABC的内角A,8,C的对边分别为a,b,c,依题意，得a=5,Z>=6,c=7.：.AB•

FC=|AB|-|8C卜cos(兀・8)=・ac・cos8.由余弦定理得b2=a2+c2-2ac-cosB,：・-ac-cos

B=1(/?2.^.C2)=1(62,52.72)=.j.近=/9.

3.ACD若a为最大边，则〃+c2.a2>o,即a2<5^

若c为最大边阳即a2>3,a>V3,V3<a<>/5.

4.D,?2«cosC=2》+返c,・••由余弦定理的推论，程2a•起W=2/?+Kc,化简可得

Lab

b1+c1-a2=-y/3bc,

b2+c2-a2_V3

/.cosA=■

2bc2

又A£(()#,・•・A二二故选D.

6

5.B在△ABC中/B=3,8C=g4C=4,由余弦定理的推论，得cos4=丝架咨

2ABAC

32+42-13_1

2x3x4—2

・・・A=60°.

・••边AC上的高h=ABs\nA=3sin600二拳.故选B.

6.等腰三角形Vc=2acosB,c=2a-a'b,

2ac

・二a1=b1,:.a=b,

•••△48C的形状是等腰三角形.

八222俘af+隰

7.-由B=C,得b=c=—a,由余弦定理的推论，得cosA:::“=----气万----=

322bcV33

o2TaTa

2>/2由人在［由坦„a2+c2-b2-j九缶-(3b)2+c2-b28b2+c24,

8o.—由余弦里得cosB=-----,又o=3b,所以cosBD=————=———=-x-+

32Uc2(3b)cGbc3c

当且仅当：X2=JxE即C=2y/2b时，等号成立.

3cbb

所以cosB的最小值是衅.

9.14已知a-b=4,则a>b且。=/?+4.又a+c=2b,则〃+4+c=24所以力二c+4,则〃>c,从而知

所以a为最大边，故A=120o,/?=a-4,c=2/?-〃=a-8.由余弦定理，得a2=b2+c2-2bccos

4=/>2+c24-Z>c=(i7-4)2+(i7-8r+(t7-4)(t7-8),^l7。2-18。+56=0,解得。=4或«=14.又/?=。-4>0,所以

4=14,即此三角形的最大边长为14.

10.解(l)«=7,cosC=；,c=8,

不I用c2=a2+b2-2abcosC,

整理得户2川5=0,解得b=5或-3(负值舍去),

故b=5.

(2)因为cos4=:

LOCL

且AW(0K),所以A=*

11.AC由余弦定理，得cr^+cr-lbccosA,，4=〃+12-6仇即后68+8=0,；・0=2或/尸4.经

检脸力=2与44均符合题意.

12.D由题意，在△A8C中力=3,c=百。,8=；,

由余弦定理b2=a1+c2-2accosB,

得9=〃+3/-2ax倔吟即片=9,。=3,

故即，

A=5=76

所以C=7t-/V8=F，则cosC=-J.故选D.

r2n2h2

13.C由：:>0得・cosC>0,所以cosC<0,从而C为钝角，因此aABC一定是钝角三角

2ab

形.

22222

-.AD_a+c-d(a-c)+ac(a-c)11..nD.D(=nl

14.AcosR=----------=-----------=——+->:，・0</?<7t,../?e(0-.

ZacZacZaciL\3J

15.B•：a4+b4+c4=2c2(a1+b\

：.(^+/?2)2-2?(«2+^)+?-2^2=0,

222222

(a+b-c)-2ab=0y

/.(a2+b2-c2+V2ab)(a2+b2-(r-V2ab)=0,

/.a2+b2-c2+>/2ab=0或a2+b2-cz-\/2ab=().

222

..「a+b-c.V2x-V2

・cosC=———,・・cosrC=—或

V00<C<l80°,...C=135°或45。故选B.

16.AD・・・c=8,4苦，

由余弦定理iz2=/?2+c2-2/?ccosA,得a2=b2-8b+M=(/?-4)2+48.

若B为钝角，由余弦定理将COS8=次产2<0,即22_222_

Zaca+ch<Qa<hM

则庐昉+64<户64勘>128力>16.

结合二次函数的性质可知/>(16-4)2+48=192,。>88,a=16符合题意.

若为名电角则〃由于则。》

C.<8.5<“<b<a

由余弦定理得cos户64V0,46462,

ZuoZab

即庐眇+64<64方力2-4/x0,0<Z?<4,此时48</<64,即48<。<8,所以a=7符合题意.故选

AD.

222

--n3V3HAA乂整A-TQAAC+AB-BC42+32-(V13)21

17天—由余弦定理的推论，可付COSA=2"3=2X4X3=5,

又0<A<兀,:.A=：sinA二孚

则AC边上的高/?=A8sin4=3x曰=苧.

18.75因为sin/B4C=浮，且AD1AC,

所以sin(y+乙BAD)=半，所以cos/BAQ二铮.

在△84。中，由余弦定理，得

BD=yjAB2+AD2-2ABADcos^BAD

=J(3V2)2+32-2x3