一元二次方程及其应用（讲义）原卷版-2024年浙江中考数学一轮复习

第二单无方嘏(做)§米等式(H)

第6钎一在二次方程4共改用

课标要求

1.理解一元二次方程的定义及一般形式立+bx+c=O(〃KO),能把一元二次方程化为一般形式；

2.掌握一元二次方程的四种解法，能选择适当的方法解一元二次方程；

3.理解一元二次方程根的判别式，会用根的判别式判断方程解的情况；了解一元二次方程根与系数的关系:

4.会用一元二次方程解如增长率问题、销售利润问题、距离问题、面积问题等实际生活中常见的问题.

fl----------a

备考指南

考点分布考查频率命题趋势

考点1一元二次方程的相关概念☆本考点内容以考查一元二次方程的相关概念、解

一兀二次方程、根的判别式、韦达定理(根与系数的关

考点2一元二次方程的解法☆☆

系)、一元二次方程的应用题为主，既有单独考查，也有

考点3一元二次方程的根与系数和二次函数结合考察最值问题，年年考查，分值为15分

☆

左右.

的关系

预计2024年各地中考还将继续考查上述的几个题型，复

习过程中要多注意各基础考点的巩固，特别是解法中公

考点4一元二次方程的应用☆☆式法的公式，不要和后续二次函数顶点坐标的纵坐标公

式记混了.

知识网络

一元二次方程及其应用

知识清单

1.一元二次方程的定义：

两边都是只含有并且未知数的最高次数是,这样的方程叫做一元二次方程.我们把—称

为一元二次方程的一般形式，其中a/,笈，。分别称为二次项、一次项和常数项，m。分别称为二次项

系数和一次项系数.

2.一元二次方程的解法：

一元二次方程的解法有,,—,—四种.

(1)开平方法：形如/=矶。20)或(》±/>)2="(。20)的，都可以用开平方法.

(2)配方法：一般步骤：①化二次项系数为一；②移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数

项；③配方，即方程两边都加上—；④化为(x±b)2=a(420)的形式，再用—求出方程的解.

(3)公式法：求根公式(其中).

(4)因式分解法：一般步骤：①将方程右边化为—；②将方程化为48=0(其中48是整式)；③令

A=0,B=0,即可解方程.

3.一元二次方程根与系数的关系：

(I)一元二次方程"2+/jx+c=0(aW0)的判别式：△=b2-4ac

①当A>0时，方程实数根.

②当A=0时，方程实数根.

③当AV0时，方程实数根.

(2)一元二次方程。必+队+。=03/0)的根与系数的关系：设方程的两个根为七，占，则占+%2=-2,

a

c

中2=~

a

4.一元二次方程的实际应用：

常见的等量问题：

(1)平均增长率(下降率)问题：

如果基数用。表示，末数用力表示，增长率(下降率)用x表示，时间间隔用〃表示，那么可用等量关

系表示为.

(2)利润问题：

利润=售价—一，利润率=，

销售价=(1+—)乂进货价.

2/9

⑶利息问题；

利息=本金XX时间，本息和=+利息.

（4）面积问题：

如图，对于矩形中有条形通道的求面积问题，通常把图①中的通道平移转化为如图②的形状，再求面

积.

①

设通道的宽为x，则S空白=

深度讲练

■考点一一元二次方程的有关概念A

◊典例1：（2023•兰溪市模拟）如果关于x的一元二次方程”2一队+1=0的一个解是x=l,则代数式2023

-a-h的值为（）

A.-2022B.2022C.2023D.2024

♦变式训练

1.（2021•永嘉县校级模拟）下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（）

2

A.2x2-x-j^=0B.x（x-2）=0C.a^+bx+c=0D.x——=8

x

2.（2021•永嘉县模拟）一元二次方程3,-2=4x可化成一般形式为（）

A.3x2-4x+2=0B.3X2-4X-2=0C.3X2+4X+2=0D.3.，+4工-2=0

3.（2023•长兴县二模）若x=・1是一元二次方程2=0（aWO）的一个根，则。一方的值是

2.

■考点二一元二次方程的解法A

◊典例2：（2021•东阳市模拟）解方程:6-3）2=（21-1）（x-3）.

♦变式训练

1.（2022•永康市模拟）己知。是方程2x2-3、-5=0的一个解，则-4/+6。的值为（）

A.10B.C.2D.-40

3/9

2.（2023•临安区一模）方程（A-2）2=2、（,V2）的解是（）

A.xi=2,xi=1B.xi=2，X2=~2C.xi=2,X2=0D.x\=2,X2=-1

3.（2021•滨江区二模）解方程：x（x-5）=5-x.小滨的解答如下：

解：原方程可化简为x（x-5）=-（x-5）,

方程两边同时除以x-5,得x=-I,

小滨的解答是否正确，如不正确，写出正确的解答过程.

4.（2021•湖州模拟）解方程：x2-4=3（x+2）.

■考点三一元二次方程根的判别式A

◊典例3：（2023•龙湾区模拟）关于x的一元二次方程/+x=z有两个不相等实数根，出的取值范围是（）

11

A.k2---B.k>--C.kW一D.k<-

4444

♦变式训练

1.（2022•龙泉市一模）下列方程中，有两个相等实数根的是（)

A.x2-2x+l=0B.x2+l=0C..1-2工-3=0D.x2-2x=0

2.（2023•瓯海区四模）已知关于x的方程x2-10x+〃?=0有两个相等的实数根，则〃尸（）

A.10B.25C.-25D.±25

3.（2021•长兴县模拟）关于x的一元二次方程x2+〃?x+机-3=0.

（1）若方程的一个根为1,求〃?的值；

（2）求证：方程总有两个不相等的实数根.

■考点四一元二次方程根与系数的关系A

◊典例4：（2023•海曙区模拟）已知。为正实数，xi，也是方程的两个根，则（工”1人一1）

=()

A.2。+1B.2a-1C.-2a+\D.-2a-1

♦变式训练

1.（2023•诸暨市模拟）关于x的一元二次方程，+〃a-2=0有一个解为工=1,则该方程的另一个解为

（）

A.0B.-1C.2D.-2

2.(2022♦宁波模拟)已知方程f-3x+l=0的根是xi和贝!xi+%2-xix2=2

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■考点五一元二次方程的应用A

◊典例5:(2021•宁波模拟)某商场品牌手机经过5,6月份连续两次降价每部C：价由500()元降到3600元.且

第一次降价的百分率是第二次的2倍，设第二次降价的百分率为x,根据题意可列方程()

A.5000(1-x)(1-Zv)=3600B.3600(1-x)(1-2.r)=5000

C.5000(1-x)(1-A)=3600D.3600(1+x)(l+2x)=5000

2

2.(2021•宁波模拟)美丽的鲜花为人们传递着各种各样的情感：桔梗象征着永恒：水仙象征着尊敬；康

乃馨象征着母亲的爱；风铃草象征着知恩图报…3月里，花店里的桔梗、风铃草两种鲜花共销售了1000

朵，其中风铃草和桔梗的销量之比为3：2,且风铃草的单价是桔梗单价的

3

(1)若3月份两种鲜花的总销售额不低于360()元，则桔梗的单价至少为多少元？

(2)根据往年的经验，4月份的桔梗更美，它的进价也会有所提升，因此商家决定将桔梗的单价在(1)

中的最少单价的基础上提高加％,预计桔梗的销量将比3月份提高4m%,则4月份桔梗的销售额将比

(1)中总销售额最低时风铃草的销售额多192元，求利的值.

♦变式训练

1.(2022•衢江区二模)某超市将进价为40元件的商品按50元/件出售时，每月可售出50()件.经试销发

现，该商品售价每上涨1元，其月销量就减少10件.超市为了每月获利8000元，则每件应涨价多少元？

若设每件应涨价x元，则依据题意可列方程为()

A.(50-40+x)(500-x)=8000B.(40+x)(500-10A-)=8000

C.(50-40+x)(500-10x)=8000D.(50-A)(500-10A)=8000

2.(2023•衢州)某人患了流感，经过两轮传染后共有36人患了流感.设每一轮传染中平均每人传染了x

人，则可得到方程()

A.x+(1+x)=36B.2(14-x)=36C.1+x+x(1+x)=36D.l+x+^2=36

3.(2023•拱爨区三模)某网络学习平台2021年的新注册用户数为1()0万，2023年的新注册用户数为64

万，设新注册用户数的年平均下降率为x(x>0),则X=一(用百分数表示).

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4.（2022•德州）如图,某小区矩形绿地的长宽分别为35必15M.现计划对其进行扩充，将绿地的长、宽

增加相同的长度后，得到一个新的矩形绿地.

（1）若扩充后的矩形绿地面积为800〃落求新的矩形绿地的长与宽;

（2）扩充后，实地测量发现新的矩形绿地的长宽之比为5：3.求新的矩形绿地面积.

15m

35m

真题演练

I.（2022•婺城区模拟）如果关于x的一元二次方程af+bx+ln。的一个解是x=l,则代数式2022-a

的值为（）

A.-2022B.2021C.2022D.2023

2.（2021•丽水）用配方法解方程f+4x+l=0时，配方结果正确的是（）

A.（x-2）2=5B.（x-2）2=3C.（x+2）2=5D.（x+2）2=3

3.（2023•浦江县模拟）一元二次方程4/3=0的解是（）

A.xi=3，X2=lB.x\=-3,X2=lC.xi=3，X2=-1D.x\=-3,X2=-1

4.（2022•温州）若关于x的方程/+6x+c=0有两个相等的实数根，则c的值是（）

A.36B.-36C.9D.-9

5.（2021♦台州）关于x的方程/-4升〃1=0有两个不相等的实数根，则〃?的取值范围是（）

A.m>2B.m<2C.m>4D.m<4

6.（2023•黄岩区一模）神舟十五号载人飞船搭载3名宇航员于2022年II月29日进入太空，在中国空间

站进行了很多空间实验，计划今年6月返回.太空中水资源有限，要通过回收水的方法制造可用水，即

将宇航员的汗液、尿液和太空水收集起来，经过特殊的净水器处理成可用水循环使用.净化水的过程中,

每增加一次过涯可减少水中的杂质x%,经过2次过滤可使水中的杂侦减少到原来的64%,根据题意可

列方程为（）

A.1-2x=64%B.（1-x）2=64%

C.2（1-X%）=64%D.（1-,r%）2=64%

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7.(2022•婺城区模拟)我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除算法》中提出这样一个问题；直田积八百

六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步.意思是：矩形面积864平方步，宽比长少12步，

问宽和长各几步.设长为x步，则可列方程为()

A.x(x-12)=864B.x(x+12)=864C.x(12-x)=864D.2(lx-12)=864

8.(2022•浦江县模拟)如图，要设计一幅宽100〃，长15c〃?的图案，其中有两横两竖的彩条，横、竖彩

条的宽度比为3：2.如果要使彩条所占面积是图案面积的四分之一，设横彩条的宽度是则可列

方程为()

ra

A.4xXI0+6xX15=Ax10X15B.(10-6x)(15-4.v)=W_XI0X15

44

C.4xX10+6xX15=-lx10X15-ZvX3.rX4D.(1()-6x)(15-4.r)=_lxi()X15

44

9.(2023•武义县一模)若一元二次方程2?-4"1=0的两根分别为M，冷，则代数式xi+x2=—.

10.(2022•金华模拟)关于x的一元二次方程队・2019=0的一个根为x=l,写出满足条件的实数a,

b的值.

11.(2021•嘉善县一模)新能源汽车节能环保，越来越受到消费者的喜爱，各种品牌相继投放市场.某地

2018年新能源汽车的销售量为50.7万辆，销售量逐年增加,到2020年为125.6万辆.若年增长率x不

变，则x的值是多少？根据题意可列方程为.

12.(2022•衢州)将一个容积为360“/的包装盒剪开铺平，纸样如图所示.利用容积列出图中x)满

足的一元二次方程：(不必化简).

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13.（2022•仙居县二模）已知关于x的一元二次方程aFibxicn。（a,b,c为常数，且a#0）,此方程的

解为制=2,.口=3.则关于x的一元二次方程9a/-3bx+c=0的解为.

14.（2021•南河区模拟）设阴，】2是方程2?+3「4=0的两个实数根，则4靖+4界-2x2的值为.

15.（2021•婺城区模拟）解方程：（x-1）（2x+3）=（2x+3）.

16.（2023•杭州）设一元二次方程工2+以+°=0.在下面的四组条件中选择其中一组力，c的值，使这个方

程有两个不相等的实数根，并解这个方程.

（l）b=2,c=1；

②力=3,c=1；

③6=3,c=-1；

④b=2,c=2.

注：如果选择多组条件分别作答，按第一个解答计分.

17.（2023•舟山一模）在学习一元二次方程的根与系数关系一课时老师出示了这样一个题目：已知关于x

的方程x2-（2〃L1）x+〃，=o的两实数根为内，4，若（xi+1）（工2+1）=3,求〃？的值.波波同学的

解答过程如右框：波波的解法是否正确？若正确请在框内打“J”；若错误请在框内打“义”，并写出你

的解答过程.

勺+盯=2m-1

X|.x=m2