人教版高中数学必修2 第七章《复数》同步单元必刷卷（培优卷）解析版

第七章《复数》同步单元必刷卷（培优卷）

一：单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要

求，选对得5分，选错得。分.

设“等则三

LJ,)

A.l-2iB.l+2iC.2-iD.2+i

【答案】B

【分析】由题意首先计算复数z的值，然后利用共扼复数的定义确定其共挽复数即可.

2+i_2+i_i(2+i)_2i-l

【详解】由题意可得z==l-2i,

l+i2+i51-1+i：2

则牙=1+2i.

故选：B.

2.若复数z满足(l-i)z=2i,则()

A.-2B.0C.x/2D.2

【答案】D

【分析】根据复数的运算规则进行计算即可求解.

【详解】因为（l-i）z=2i,

2i2i(l+i).

所以z=—=:~:"7+1

I-i(l-i)(l+i)

则彳=（7+i）=2,

故选：D.

3.设复数z满足|z-l|=2,z在复平面内对应的点为（xj）,则（）

A.(jr-l)2+/=2B.x2+(y-\\=2C.(x-l)2+/=4D.x2+(y-\)2=4

【答案】C

【分析】z=x+yi,根据模长公式得到J4-if+产=2,两边平方得到答案.

【详解】z=x+yi,则|z-l|=2n|（x—l）+yi|=2,

即+/=2»故（X-1）2+V=4.

故选：C

4.若z-（2+i）=3-i曲,则Z的虚部为（）

1

【答案】D

【分析】利用复数的周期性化简i202J_i，再利用复数的四则运算化简”誓求出结果即可.

2+1

【详解】因为产=(i4rxi3=-i,

所以z-(2+i)=3-i2°2，=3+i,

3+i=(3+i)(2-i)=7

所以H

Z2+i=(2+i)(2-i)=55

所以z的虚部为-g,

故选：D.

5.法国数学家棣莫弗(1667-1754年)发现了棣莫弗定理：设两个复数4=々(cosq+isin^),

z2=；2(cos^2+isin6>2)(?i，^>0),则e=/再[cos(q+a)+isin(q+/)].设n=-g-孝i,则平，的虚部为()

A.--B.—C.1D.0

22

【答案】B

【分析】变形复数z,根据题中定义进行计算，即可判定.

【详解】-4-fi=cosT+isinT

4兀X2024..4?rx2024

所以严”+isin

3--------------3

2兀..2n1G

=cos—+isin——-H——

3322

所以产的虚部衅.

故选:B.

6.复数z=a+bi(a,/)wR,i是虚数单位)在复平面内对应点为Z,设，二|。跺0是以x轴的非负半轴为始边，以OZ所

在的射线为终边的角，贝ijz=a卜历一(cosOfisin。)，把〃(cos0Iisin。)叫做复数。十〃i的二角形式，利用复数的二

角形式可以进行复数的指数运算，［〃(cose+isine)r=d(cos〃0+isimM(〃eN・)，例如:

cos—+isin—]=cos2n+isin2^l,(l+i)4(及cos：+isinn

=4©)sn+isinx)=-4，复数z满

i33)

足：Z'=l+i，则Z可能取值为()

2

5n..5兀1771..17兀

cos—+isin—cos---+isin---

【答案】D

【分析】根据复数的三角形及运算，利用复数相等可得z=V5cos（半+昌+isin]衿"丘Z,即可得解.

【详解】设2=尸（85。+15m。），

则i=l+i=>/2^cos-j+isin^=7-3（cos3^+isin3Z?）,

所以,•=啦，3H=2kn;,k£Z,即9="N+E,%eZ,

4312

所以2=屹cos（与+^）+isin（^^3,keZ

故％=2时，。=詈，故z可取蚯1。s詈+isin答），

故选：D

【点睛】关键点点睛；理解女数三角形及三角形下发:数的指数运算是解题的关键，通过三角形的运算，再利用攵数

相等，建立方程即可得出所求复数的一般形式.

7.已知。>0,b>0,复数4=1—2i,z2=^-i,23=—力在复平面内对应的点为Z1,Z2,Z3,若4，Z2,Z?三

点共线，则上1+■2的最小值为（）

ab

A.9B.8C.6D.4

【答案】B

【分析】

根据复数对应的点共线可得2。+力=1,利用均值不等式求解即可.

【详解】由题意,4（1,-2）,Z2（a-1）,Z.（-M）,

Q-]一b1

由三点共线可得，।i二rTTT，化简可得2。+6=1，

—1—（—2）U—（一幺）

又。>0,h>0,

—F-…)*

当且仅当2=¥，即时等号成立.

ab42

故选：B

8.已知复数Z1,Z2和z满足㈤=22卜1,若31-2卜格-1卜％-z|,则|z|的最大值为（）

A.2百B.3C.D.1

3

【答案】B

【分析】先利用复数的模与加减法的几何意义，及三角形两边之和大于第三边得到忖43,再将|z|=3时各复数的取

值取出，即可得到目的最大值.

【详解】根据题意，得|z|=|(Z2-z)-z21Klz2—|+闫=区-1|+1+J+l+l=3,

当Z[=-l,z2=1,z=3时，\zl-z2\=\z[-l\=\z2-z\=2t此时wI=3,

所以1必=3.

故选：B.

二：多项选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。

全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.已知复数4z?满足：4为纯虚数，1|=2匕2-4|,则下列结论正确的是()

22

A.z,=-|z,|B.3<|Z2|<7

c.|z「Z2|的最小值为3D.|z「Z2+3i|的最小值为3

【答案】ABD

【分析】借助复数的基本概念与模长运算可得A；借助®数的几何意义计算可得B；借助圆与直线的距离可得C、

D.

【详解】对A：•.•马为纯虚数，可设4=历优工0),“2=-尸=-上卜.选项A正确；

对B：设Z2=〃?+〃i(zw,〃6=R),•「卜2T=2卜2一4,

则("7—1)一+n2=4(m-4)'+4n2,即(/w—5)'+n2=4,

则马所对应点的轨迹是以(5,0)为圆心，以2为半径的圆，

.•.34忆区7,.•.选项B正确：

对C：为纯虚数，「.z对应点在歹轴上(除去原点)，

马所对应点的轨迹是以(5,0)为圆心，以2为半径的圆，

・•.Iz-zJ的取值范围为(3,+oo),「.k-ZzI无最小值,选项C错误;

对D："z1-Z2+3i|=Kb+3)i-z1,

表示点(0,6+3)到以(5,0)为圆心，以2为半径的圆上的点的距离，

•.«十3)i(X0)为纯虚数或0,(0/+3)在y轴上(除去点(0,3)),

4

，当b=-3时|z,-z2+3i|取得最小值3,・•・选项D正确.

故选：ABD.

10.任何一个复数z=a+bi(a,beR,i为虚数单位)都可以表示成z=〃(cose+isin。)(r>0,OeR)的形式,

通常称之为及数z的三角形式.法国数学家棣莫弗发现：[r(cos〃+isinS]"=，'(cos〃0+isin〃。)(〃eND,我们称

这个结论为棣莫弗定理，则下列说法王确的有()

A.复数z=l-石°的三角形式为z=2(cosW-isinm)

B.当厂=1,0=1时，z+z2+z3+•••+z2024=0

C.当r=2,夕=§时，z3=-8

D.当/=3,。=;时，“〃为偶数”是“z"为纯虚数”的充分不必要条件

4

【答案】BC

【分析】直接利用棣莫弗定理结合三用函数值的求法逐个分析判断即可.

【详解】复数z=l-的三角形式为z=21osg+isin£),故A错误；

、1,八兀rI71..7C

当/•=1,。=一时，z=cos—+isin—=1,

222

因为i^+i软+2+i4Z+j4…=o,",

所以Z+Z2+/+…+Z2°24=。，故B正确;

当，・=2,6=色时，z=2|cos—+isin—,

3133,

z3=2cos-y+isiny^=2’(COSTI+isin兀)=一8,故C正确；

当厂=3,0='时，z=3cos—+isin-1,

4I44J

„\/n..兀(mt..〃力

z=3cos—+1sin—=3cos——Fisin—，

L\44〃I44J

〃兀

cos—=0

若z"为纯虚数，则，4，则:=5+E，所以〃=4A+2,k=Z,

.nn42

sin—工0A

4

虽然〃=4A+2,AwZ是偶数，但是偎数还有〃=4hAwZ的形式的数，

所以“"为偶数"是"z"为纯虚数”的必要不充分条件，故D错误.

故答案为：BC.

11.意大利数学家卡尔达诺(Cardano.Girolamo,1501-1576)发明了三次方程的代数解法.17世纪人们把卡尔达诺的

5

解法推广并整理为四个步骤:

第一步，把方程d+%r2+qx+/=0中的x用•来替换，得到方程d+3+q=O；

第二步，利用公式F+V+zJ?,=(x+P+z)(x+纱+6/z)(x+<y]+/z)将V+py+q因式分解;

第三步，求得V,z的一•组值，得到方程9+/+q=0的三个根：一y-z,一纱一4z,-4y-丝(其中①二二^~-

i为虚数单位)；

22

笫四步，写山方程f+4x2+qx+a0一()的根：A)--^-y-z,x2--^-coy-ajz,A3-coy-coz.

某同学利用上述方法解方程8/_12--42工+55=0时，得到号的一个值:-1+i,则下列说法正确的是()

A.=—B.yz=2C.X-,=---1-x/JD.x,=-1—V3

•223

【答案】ABC

【分析】根据三次方程的代数解法对选项进行分析，由此确定正确选项.

【详解】8x3-12x2-42x+55=0=>?--x2-—x+—=0

248

3

依题意可知心是2次项系数，所以生=-5,A选项正确.

第一步，把方程/一|--2x+|=0中的x,用x+g来替换，

zaf1Y3(1V21(\}553人(八

得x+---x+----x+-+——=X-6x+4=0,

I2)2{2)412)8

第二步，对比—6x+4—0与/+/+/—3个々=0,

>3+z3=4

可得,一3冲=-6,解得yz=2,z=-l—i,B选项正确.

>•=-1+i

所以马=号-纱-〃z=；-苫叵(T-H)『丁](1+i)=g/\C选项正确.

x3-(-h-i)+-1；BiA〉"，D选项错误.

故选：ABC

三：填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.复数z满足|"5|=|z-l|=|z+i|,则目=.

【答案】3拒

6

【分析】设2=彳+川(N/€1<)，结合复数的几何意义，列出方程组即可求解.

【详解】设更数z=x+yi(xjcR),

由I"5|二|”1|,可得复数Z对应的点在以(5,0)和(1,0)为端点的线段的垂直平分线上,所以x=3,

由|z-l|=|z+i|可得复数z对应的点在以(1,0)和(0,-1)为端点的线段的垂直平分线.匕所以y=-x,

x=3fx=3

联立，解得《、，所以z=3-3i,

y=-x(y=-3

经检验,z=3-3i满足|z-5|=|z-l|=|z+i|,

则|z|=,32+(-3『=3五.

故答案为：3VL

13.已知复数z=2cos；：：inO(夕一用的实部为0,则tan28=.

4

【答案】j

【分析】利用复数z=2c°彳:：R)的实部为0,求出tan®=-2,再利用二倍角公式得出结论.

2cosJ+isin。(2cosO+isii叫(1-i)2cos0+sinO+《inO-2cos。)

【详解】•.•复数z=(佬R)的实部为0,

(l+i)。—i)

2cos。+sin9=0,/.tan6^=-2.

2tan6^-44

tan20=---------=-----=—.

l-tan,e1-43

4

故答案为：

14.复平面上两个点4,4分别对应两个复数z，?2,它们满足下列两个条件：@z2=z,.>/3i：②两点4，心连

线的中点对应的复数为2i,若。为坐标原点，则△ZOZ2的面积为.

【答案】2百

【分析】设马=〃+6i,Z2=c+"iM,4c,dcR,依题意，列出关于a,bed的方程组，解之得4(A/J,1),Z2(-6,3),求

出|西西|,|存|,利用三角形面积公式计算即得.

c+d\=(a+b\)

【详解】设Z]=a+历,Z2=c+di,。也c,deR,依题意，，a+cb+d..，

7

-6b=c

百”"，解得，h=\厂广

即《厂.则有4(屈1)4(-6,3),

a+c=0c=-\J3

b+d=4d=3

则|西|=2,1河=26,1很|=4,

由|西F+|西『=|羽f可得△4。々为直角三角形,

故△Z0Z?的面积为'西卜|应＞$2x2/=2C.

故答案为：26.

【点睛】思路点睛：本题主要考查复数与复平面内的点、对应向量之间的一一对应关系的应用，居于较难题.

解题思路，即是将复数对应的点或者向量在复平面内表示出来，通过图形理解，列出与复数的实部与虚部关联的方

程组，求出点的坐标，得到相应的边交和角即可.

四、解答题：本题共5小题，共77分，（15题13分，16-17题15分，18-19题17分）解答应写出文字说明、证

明过程或演算步骤。

15.计算:

」兀..兀.7T..7T

(1)3cos—+isin—x2cos——isin—

I66)I66J

flV3,Un

(3)----+-----1Xcos—

226

(4)(1cos-^-4-isin7t

6>

【答案】（1）6

⑵V2Z

⑶i

小石-16+1.

（4）—----------»

22

【分析】（1）直接利用复数的三角形式的运算法则计算得到答案.

（2）直接利用复数的三角形式的运算法则计算得到答案.

（3）直接利用复数的三角形式的运算法则计算得到答案.

（4）直接利用复数的三角形式的运算法则计算得到答案.

【详解】(1)3cos—+isin—x2(cos--isin

I66JI6

8

\§fcos--isin-

I66J

兀・・7T・

=cos—+isin—=1

22

71Tt.n兀

cos-------+sin-

46)46

及小&也x枢a工

=M2----x----------x-f।1Y_|_8-4'Kj

2222~[~2^丁丁2)\~F-1-

16.已知复数Z1=（a+i）2,z2=4-3i,其中。是正实数.

⑴若4"马，求实数。的值；

（2）若口是纯虚数，求4的值.

Z2

【答案】⑴2

（2）2

【分析】（1）根据复数的定义及复数的运算法则构建关于。的方程组，求解。的值；

（2）根据复数的除法运算求解五，利用复数的定义，构建关于。的方程组，求解。的值:

【详解】（1）解：・・・zL（a+i）2,z=4-3i,z=iz2f

a，_]=3

A（a+i）2=fl2-l+2ai=3+4i,从而＜.“，解得a=2,

2a=4

所以实数。的值为2.

（2）依题意得：五=四1）（4+2=（4/-&-4卜帽+8”3）,

z,4-3i2525

r）

因为三是纯虚数，所以：.KU，解得：。=2或4=4；

z23。~+8。-3Ho2

9

又因为。是正实数，所以a=2.

17.已知复数2=。+加，其中4/为实数且。工0.

⑴若z(z+可=2+4i,求Z；

(2)若/=z-2为纯虚数，且1WW|W2,求同的取值范围.

Z

【答案】(l)z=l+2i或-l-2i

1,1

⑵[于

【分析】(1)根据共规复数定义、复数运算法则和复数相等的条件可构造方程组求得结果；

(2)根据复数运算法则化简得到=净]+伍+；*"由纯虚数定义可构造方程求得。=2力i,由复数

Va')Ia'+b~J

模长的范围可求得结果.

【详解】(1)z=a+bi,'z=a-b\,z(z+'z)=2a(a+b\)=2a~^2ab'\=2+4i,

2/=2a=1a=-1

解得:或I.•.z=l+2i或-l-2i.

2ab=4b=2[b=-2

,、『22("历)(2a\(2b…上2

(2)\co=a+bi-------=a+bi--—―――a+bi-----r—^-=a一一r+bL+,j为纯虚数，

a+bi(a+hi)(a-b\)a+b(a~+b~)(a~+b~J

2a

ai-77=0n

，又。工0，a?+?/=2,贝!j2b工0,即b工0,

"二工。

a2+b2

二&=24，••.|同=2网«1,2],解得：＜£；同＜1,即网的取值范围为.

18.我们知道复数有三角形式，z=〃(cose+E力6),其中「为复数的模，。为辐角主值.由复数的三角形式可得出，

若OZ}=4(cosq+isin"),OZ2=r2(cosa+isin02),则

4(cosa+/•$加a).(cos4+六山冬)=[cos(a+冬)+血力(4+%)].其儿何意义是把向量西绕点。按逆时针方向旋

转角名(如果a＜o,就要把西绕点o按顺时针方向旋转角向|),再把它的模变为原来的&倍.

已知圆O半径为1,圆O的内接正方形/14CO的四个顶点均在圆。上运动，建立如图所示坐标系，设A点所对应的

复数为4，6点所对应的复数为Z2,C点所对应的复数为4，。点所对应的发数为Zq.

10

(2)如图，茗〃(2,0),以产月为边作等边△40,且。在”上方.

(i)求线段。。长度的最小值；

(ii)若理=赤+)历(孙"R)，求x+»的取值范围.

【答案】(l)z,=」+正i,23=-立，

22322

(2)®1；②工+y€[^^-2及,^^+2夜

【分析】(1)由题意，根据复数的乘法运算即可求解：

(2)(D解法一：设4,根据三角恒等变换化简和复数的乘法计算求出％分,进而表示。。的坐标，结合模长公式

计算即可；解法二：连接。力，设尸月=。。=。＜=/，Z.OPA=。，求出cosa,sina,进而。行=匚+勺16—一5)+-,

222

利用换元法化简计算即可求解；

(ii)设4,则。(sin，,-cc»),利用向量的线性运算和三角恒等变换化简可得x+y=2力sin(办y),进而

求解.

【详解】(1)z?=4-(cos90°+isin90]=|曰+；i・i=-g+乎i,

z3=z,-(cos90+isin90)=--+l-i=———i.

\/

(2)(i)解法一：设Z]=cos9+isin夕，＜9G[0,2H),

中所表示的更数为Z5,而所表示的更数为Z6

有Z5=cos^-2+isin^,

II

故°cos^-^J+l,sin夕一9+G

3

=^5+2>/3sinyj+2cos0-：=j+4sin0-\ip

其中tan0=弓，故线段。。长度的最小值为1.

解法二：连接04,设|「力|=|尸。|=|。/|=1,Z.OPA=a,

由|。力|=1可得cosa=^=。，则sma=Q^=JE五，

气虫4t

当\OQ[=\0P[+|P0f-2|9「卜pQ|cos。+其71|]时.,

化简得|。0(=[+曰J16_(/_5)+:，令/一5=485小夕目0,可.

则与.4sin〃+3

=2cos/+2瓜in/?+5=4sin(6+V5>I.

/\

同理可得：当|。。『=|。尸|2+|尸。『一2|9尸产。|85时,

IJ/

cK4cosQ+56A.a5

OQ~=------:--------------45111/7+-

=2cos^-2V3sin/I+5=4sin夕一£卜521

(ii)设N[=cos0+isin。，则为=sin6-icos。，即。点坐标为(sin®,-cos。)，

此时PO—cos-l,sin(yj+,O力=(cosO,sin。)，00=(sin6,-cose).

由也二四+j历(x,ycR)得:

12

cos0——-l,sin3--+-\§-=x^os^,sin^-y(in。,-cos。),

3J3

cos^-yj-1=xcosO+ysin。x=cos。-cos夕+V5sin夕

即</\，解得《

sin0--+6=xsinO-ycos。y=sin--sin6^-6cos。

3

故x+y=一(1+石卜os0+(VJ-1卜inO，

+2在sin(8+y)，其中tan7=-,十；,

可得x+ye

【点睛】方法点睛•：“新定义''主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定

义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质,

它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不•定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.

19.现定义“〃维形态复数景"：z0=cos〃0+isin/。其中i为虚数单位，〃eN「"0.

⑴当。=；时，证明：“2维形态复数”与“1维形态复数”之间存在平方关系；

(2)若“2维形态复数”与“3维形态复数”相等，求sinR+；)的值；

(3)若正整数〃？，〃(加满足z0,=Z1,zn=z；,证明：存在有理数夕，使得机=夕・〃+1-2r

【答案】(1)证明见解析；

⑵当

(3)证明见解析.

【分析】(1)当。=:时，z"=cos:〃+isin；〃/=XZ(l+i),z2=i,由Z2=z；,即可证明“2维形态复数”与“1

维形态复数”之间存在平方关系；

⑵由“2维形态复数”与“3维形态复数”相等，可得cos2d+isin29=cos3d+isin39,利用复数相等的条件得到

夕=2E(%wZ),即可求sinZ+色］；