多边形（讲义）-浙教版八年级数学下册（解析版）

专题4.1多边形（举一反三讲义）

【新教材浙教版】

飕题型归纳

【题型1多边形的概念】.........................................................................2

【题型2正多边形的概念辨析】..................................................................4

【题型3多边形截角后的边数问题】..............................................................6

【题型4多边形的周长与面积问题】..............................................................9

【题型5多边形对角线的条数问题】..............................................................II

【题型6对角线分成的三角形个数问题】..........................................................12

【题型7多边形内角和的计算】..................................................................15

【题型8多（少）算一个角问题】................................................................17

【题型9多边形截角后的内角和问题】...........................................................20

【题型10复杂多边形的内角和】.................................................................22

【题型11多边形外角问题的计算】................................................................27

【题型12多边形外角和的实际应用】.............................................................29

【题型13多边形的内角和外角的综合】...........................................................31

【题型14平面镶嵌】............................................................................37

举一反三

知识点1多边形的相关概念

1.在平面内，由不在同一条直线上的三条或三条以上的线段首尾顺次相接组成的图形叫作支边彩，这些线

段叫作多边形的边，线段的公共端点叫作多边形的顶点.

2.根据边的数量，多边形可以分为三角形、四边形、五边形、〃边形等.下图中的图形分别是三角形ABC、

四边形ABC。、六边形ABCDEF.三角形"C可以记作“△ABC”.

图1

3.多边形相邻两边组成的角叫作多边形的内鱼，多边形的边与它邻边的延长线组成的角叫作多边形的处鱼.

4.多边形的外角与相邻的内角互为补角.如下图，NA,NB,/BCD,N。是四边形ABC。的四个内角，

ZDCE是四边形ABCD的一个外角，ZBCD+ZDCE=180°.

D

5.连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫作多边形的对角线.如下图，AC,8。是四边形ABC。的两条对

角线.

6.和正方形类似，各边相等、各内角也相等的多边形叫作正多边形.

【题型1多边形的概念】

【例1】如图所示的多边形分别是和

(4)(5)

【答案】四边形五边形八边形四边形五边形

【分析】根据多边形的定义，数出边数即可求解.

【详解】解:如图所示的多边形分别是（1）四边形；（2）五边形；（3）八边形；（4）四边形；（5）五

边形;

故答案为：（1）四边形；（2）五边形；（3）八边形；（4）四边形；（5）五边形.

【点睛】本题考查了多边形的定义，熟练掌握多边形的定义是解题的关键.由在同一平面且不在同一直线上

的三条或三条以上的线段首尾顺次连接且不相交所组成的封闭图形叫做多边形.

【变式1・1】（24-25七年级下•全国•课后作业）下列图形中不是多边形的是（）

A.B.

一O二

【答案】C

【分析】本题主要考查多边形的定义，熟练掌握多边形的定义是解题的关键.根据多边形的定义即可得到答

案.

【详解】

解，是三地形.是多逆形,故超度A不符合B意.

1是多边形.故超＞SB，符合M意，

不是多也形,故iSBic符合M意，

是六边形，是多边形，故选项D不符合题意；

故选：C.

【变式1-2］仔细数一数图中有几人直角三角形，几个正方形，兀个长方形.

H【答案】32个直角三角形，7个正方形，4个长方形

【分析】应按照一定规律来找：先找单个的，再找两两组合的，四个组合的.

【详解】解：根据图示图中共有：32个直角三角形，7个正方形.4个长方形

【点睛】本题考查r几何图形，需注意正方形指的是四条边相等，四个角是吏角的四边形，长方形指长与宽

不相等的长方形.

【变式1-3］把图中的直角三角形和直角梯形相等的边拼合在•起，画出所有拼成的图形.

【答案】见解析

【分析】本题考杳的是图形的拼接，根据平面图形的特点进行拼接即可.

【题型2正多边形的概念辨析】

【例2】对于正多边形，下列说法正确的是（）

A.正多边形的边都相等，内角都相等；

B.各边相等的多边形是正多边形；

C.各角相等的多边形是正多边形；

D.由正多边形构成的多边形是正多边形;

【答案】A

【分析】A.由正多边形的性质可得

B.举反例判断即可

C.举反例判断即可

D.举反例判断即可

【详解】A.由正多边形的性质：各边相等，各角相等，正确

B.菱形不是正方形，错误

C.矩形不是正方形，错误

D.正方形与边长相等的等边三角形拼成的五边形不是正多边形，错误

故选：A.

【点睛】本题考查了正多边形的定义：平面内各边相等，各角相等的多边形是正多边形，准确理解定义及性

质是解题关键.

【变式2-1】下列图形中，是正八边形的是（）

A.B.

\

/

C.D.

【答案】C

【分析】根据正多边形的定义判断即可.

【详解】解•：由正八边形的定义：即正八边形有八条边，且每个边都相等，每个角都相等，由此可知，C选

项中的图形是正八边形,

故选：C.

【点睛】本题考查了正多边形的定义，正多边形就是各边相等，各角也相等的多边形.

【变式2-2】已知正六边形的周长是36cm,则这个多边形的边长等于cm.

【答案】6

【分析】本题考查正多边形的定义，根据每条边都相等，每个内角都相等的多边形叫正多边形求解即可得到

答案，熟知在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形是解题的关键.

【详解】解：回正六边形的周长是36cm,

团这个多边形的边长为36+6=6cm,

故答案为：6.

【变式2-3】下列说法中，正确的人数是（）

①等腰三角形是正多边形：

②等边三角形是正多边形：

③长方形是正多边形；

④正方形是正多边形.

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【分析】本题考查正多边形的定义，根据各个边各个内角都相等的图形叫正多边形直接逐个判断即可得到答

案；

【详解】解：由题意可得，

等腰三角形不是正多边形，故①错误不符合题意，

等边二角形是正多边形，故②符合题意，

长方形不是正多边形，故③错误不符合题意，

正方形是正多边形，故④符合题意，

故选：B.

【题型3多边形截角后的边数问题】

【例3】把一张形状是四边形的纸片剪去其中某一个角，剩下的部分的形状不可能是（）

A.三角形B.四边形C.五边形D.六边形

【答案】D

【分析】本题考查了多边形.把一张形状是四边形的纸片剪去其中某一个角，剩下的部分的形状可能是三角

形或四边形或五边形.

【详解】解：把一张形状是四边形的纸片剪去其中某一个角，剩下的部分的形状可能是三角形或四边形或五

边形，不可能是六边形.

故选:D.

【变式3-1]（24-25七年级上•全国•课后作业）如图，从五边形纸片4BCDE中剪去一个三角形，剩余部分是

()

D

£C

AL-----------------'B

A.四边形B.五边形C.六边形D.以上都有可能

【答案】D

【分析】本题考查了多边形的截法.分为二种情况，画出图形，解答即可.

【详解】解：如图，

故选D.

【变式3-2】一个2022边形，减去一个角后，所得多边形的边数为.

【答案】2021或2022或2023

【分析】本题考查的知识点是多边形的概念，解题关键是列举出所有可能的情况.一个多边形剪去一个角后,

分三种情况：①边数可能减少1,②边数可能增加1,③边数可能不变.

【详解】解：一个2022边形，减去一个角后，所得多边形的边数为2021,2022,2023

故答案为:2021,2022,2023.

【变式3-3】如图，四边形48C0去掉NC后，剩下的新图形是几边形？请画出图形.

【答案】三角形或四边形或五边形，图形见解析.

【分析】设线段8C上一点为N（点N不与点B,点C重合），线段CO上一点为M（点M不与点C,点。重合），

分三种情况讨论：沿直线8。切割：沿直线MN切割；沿直线0N或8M切割.

【详解】设线段8c上一点为N（点N不与点8,点：。重合），线段CO上一点为M（点M不与点C,点。重合）.

①如图所示，沿直线3。切割，得到△4BD,新图形为三角形.

②如图所示，沿直线MN切割，得至IJ五边形/18NM0,新图形为五边形.

，C

③如图所示，沿直线DN或BM切割，得到四边形4BND或四边形4BMD,新图形为四边形.

综上所述，新图形是三角形或四边形或五边形.

【点睛】本题主要考查多边形，能根据题意分类讨论是解题的关键.

【题型4多边形的周长与面积问癌】

【例4】若一个正〃边形的边长为2cm,则其周长为

【答案】271cm/2几厘米

【分析】根据正九边形的周长公式即可得到结论.

【详解】解：•••正71边形的边长相等，且边长为2cm,

二只周长为2rlem,

故答案为：271cm.

【点睛】本题考查的是正多边形和圆，熟记正多边形的定义是解答此题的关键.

【变式4-1】如图，小个方格都是边长为1的正方形，图中四边形A8CD的面积为

【分析】利用大正方形的面积减去四边形周围的小三角形面积即可.

【详解】解.：四边形的面枳为：

5x5-1x4x1-1x1x1-1x4x2-1x3x4=121,

故答案为：12：.

【点睛】此题主要考查了四边形面积求法，掌握割补法是解题的关键.

【变式4-2］如图所示的方格（每人小方格面积为1）中阴影部分为两个轴对称型的汉字，图①中汉字面积

为51，图②中汉字的面积为52，则51-52的值为（）

明①峥

A.1B.2C.3D.6

【答案】D

【分析】利用割补法分别求*&和“的面积，再作差即可.

【详解】解:如图，

111

S=5x7--x2x4x2--xlxlx2--x(1+5)x4

1222

=35-8-1-12

=14,

11,、

S=4X9--X4X4X2--X(1+7)x3

222

=36-16-12

=8,

【点睛】本题主要考查不规则图形的面积，掌握割补法求不规则图形的面积是解题关键.

【变式4-3］（24-25七年级上•河南郑州•开学考试）【图形的剪切】将一个边长是30厘米的正方形，在四个

角各剪去一个边长为3厘米的小正方形，那么它的周长与原来相比（）

A.减少B.不变C.增加D.无法确定

【答案】B

【分析】本题考查了周长的求解，原正方形边长为30厘米，剪去四个角的小正方形后，虽然原边长被截短,

但新增了与原截短部分等长的边，故周长不变.

【详解】解：如图：

因为剪去一个小正方形4BC。后，剪掉了4B与北的长度，但又多出了3。与CD的长度，并且4?=CD=BD=

AC.

同样在其它的三个角剪正方形也是这样的，所以它的周长与原来相比不变，

故选：B.

【题型5多边形对角线的条数问题】

【例5】（24-25八年级上•青海西宁•期中）一个多边形从一个顶点处可以引出7条对角线，这个多边形的边数

是（）

A.6B.7C.8D.10

【答案】D

【分析】本题考查了多边形的对角线，熟练掌握对角线条数的计算.方法是解题的关键.

一个n边形从一个顶点处可以引出（n-3）条对角线，由此计算即可.

【详解】解：一个n边形从一个顶点处可以引出（九-3）条对角线，

•••n—3=7,

•••n=10,

故选：D.

【变式5-1】六边形对角线的条数是.

【答案】9

【分析】本题考查了多边形对角线条数的知识，熟练掌握以上知只是解题的关键.

根据多边形所有对角线的条数公式当且求解即可.

【详解】解：根据多边形所有对角线的条数为空衿，

同六边形的对角线的条数为铝=9.

故答案为：9.

【变式5-2］（24-25八年级上•湖南湘西•期末）过某多边形的一个顶点可以引2024条对角线，则这个多边形

的边数是条

【答案】2027

【分析】本题可根据多边形对角线的相关性质来求解多边形的边数，即根据过八边形的一个顶点可引出5-3）

条对角线这一关系建立方程求解.本题主要考查了多边形对角线的性质，熟练掌握过九边形一个顶点可引出

（n-3）条对角线是解题的关键.

【详解】解：设这个多边形的边数为〃.

团过71边形的一个顶点可以引（几-3）条对角线，且过该多边形的•个顶点可以引2024条对角线

0n—3=2024

0n=2024+3=2027

故答案为：2027.

【变式5-3］（24-25七年级下•吉林长春•期中）若一个多边形的对角线条数恰好为边数的3倍，则这个多边

形的边数为.

【答案】9

【分析】本题考查多边形的对角线，解题的关键是熟记〃边形的对角线的条数为若耳，根据多边形的对角线

条数恰好为边数的3倍，列出方程求解即可.

【详解】解•：设多边形的边数为〃，

贝隹3=3,

2n

解得：n=9.

故答案为：9.

【题型6对角线分成的三角形个数问题】

【例6】（24-25七年级上•山东枣庄•期末）在研究多边形的几何性质时，我们通常把它分割成几个三角形进

行研究.从一个多边形的一个顶点引出的所有对角线，把它分割成5个三角形，则这个多边形的边数

是.

【答案】7

【分析［本题考查了多边形的对角线，熟练掌握从〃多边形的一个顶点引出的所有对角线，把它分割成（几-2）

个三角形是解题的关键.

从〃多边形的一个顶点引出的所有对角线，把它分割成（九-2）个三角形，由此计算即可.

【详解】解：从一个多边形的一个顶点引出的所有对角线，把它分割成5个三角形，则这个多边形的边数是

5+2=7,

故答案为：7.

【变式6-1］（24-25六年级下•山东烟台•期中）自八边形一个顶点能引（）条对角线，这些对角线可将

八边形分成（）个三角形.

A.4,5B.5,6C.6,7D.7,8

【答案】B

【分析】本题考查了多边形的相关概念，解题关键是画出图形求解.

宜接画出图形求解.

自八边形一个顶点能引5条对角线，这些对角线可将八边形分成6个三角形,

故选:B.

【变式6-2】探究归纳题：

⑴如图1,经过四边形的一个顶点可以作一条对角线，它把四边形分成一个三角形；

⑵如图2,经过五边形的一个顶点可以作一条对角线，它把五边形分成一个三角形；

（3）探索归纳：对于n边形（〃>3）,过一个顶点可以作一条时角线，它把n边形分成一个三角形；（用含几的式

子表示）

⑷如果经过多边形的一个顶点可以作100条对角线，那么这个多边形的边数为

【答案】（1）1：2

（2）2；3

（3）（n-3）；（n-2）

⑷103

【分析】本题考查多边形的对角线、边及三角形分割等规律探究.

（1）根据题意画出对图中的一个顶点的对角线即可得到结论；

（2）根据题意画出对图中的一个顶点的对角线即可得到结论；

（3）根据（1）（2）中的结论，可找到规律即可得到结论；

（4）将100代入（3）的结论中即可得到答案.

【详解】（1）解：如图所示，经过1个顶点可以作1条对角线，它把四边形分为2个三角形,

故答案为：1，2；

图1

（2）解：如图所示，经过五边形一个顶点，共有2条对角线，将这个多边形分为3个三角形;

故答案为：2,3.

（3）解：团经过四边形的一个顶点可以作4-3=1条对角线，它把四边形分成4-2=2个三角形;

经过五边形的一个顶点可以作5-3=2条对角线，它把五边形分成5-2=3个二角形；

经过六边形的一个顶点可以作6-3=3条对角线，它把六边形分成6-2=4个三角形；

经过七边形的一个顶点可以作7-3=4条对角线，它把七边形分成7-2=5个三角形；

团经过〃边形的一个顶点可以作5-3）条对角线，它把〃边形分成5-2）个三角形；

故答案为：伽一3）,（n-2）.

（4）回过多边形的一个顶点可以作100条对角线，

团根据（3）中结论可得，n-3=100,

0n=103,

故答案为：103.

【变式6-3］（2025•陕西西安•模拟预测）数学实践课上，小郑将五边形区域分割成若干个三角形，他在五边

形内取一定数量的点，连同五边形的5个顶点，逐步连接这些点，保证所有连线不再相交产生新的点，直

到五边形内所有区域都变成三角形.如图当五边形内有1个点怔，可分得5个三角形；当五边形内有2个

点时，可分得7个三角形（不计被分割的三角形）.当五边形内有。个点时，可分得三角形的个数

【答案】2〃+3

【分析】本题主要考查了图形变化的规律，能根据所给图形发现三角形个数变化的规律是解题的关键.根据

所绘图形，依次求出图形中三角形的个数，发现规律当五边形内有几个点时，可分得的三角形的个数为（2九+

3）个，即可解决问题.

【详解】解：由所给图形可知，

当五边形内有r个点时，可分得的三角形的个数为：5=1X2+3；

当五边形内有2个点时，可分得的三角形的个数为：7=2x2+3；

当五边形内有3个点时，可分得的三角形的个数为：9=3x2+3；

所以当五边形内有几个点时，可分得的三角形的个数为（2九+3）个.

故答案为：2n4-3.

知识点2多边形的内角和定理与外角和定理

1.多边形内角和定理：n边形的内角和为180°（n-2）,其中n23.

2.多边形外角和定理：多边形的外角和恒等于逊。，与边数没有关系.

【题型7多边形内角和的计算】

【例7】（25-26八年级上•全国•月考）一个多边形的内角和是720。，则这个多边形的边数是（）

A.4B.5C.6D.7

【答案】C

【分析】本题考查多边形内角和问题，利用多边形内角和公式求解，设边数为小则（几-2）X180。=720。,

解方程即可.

【详解】解：g多边形内角和公式为（n-2）x180°=720%

团n—2=4,

0n=6>

故选:C.

【变式7-1]（24-25八年级上•青海西宁•期中）如图，足球图片中的一块白色皮块的内角和是（）

A.180°B.360°C.540°D.720°

【答案】D

【分析】本题考查了多边形的内角和，能熟记多边形的内角和公式是解此题的关键.

根据多边形的内角和公式求解即可.

【详解】解：目白色皮块是六边形，

团内角和为（6-2）x180°=720°.

故选：D.

【变式7-2]（25-26九年级上•江苏南京•月考）如图，正八边形力BCD"GH的两条对角线4。、BE相交于点P,

△EPC的度数为。.

【答案】67.5

【分析】本题考查正多边形的内角问题，三角形的内角和定理，等边对等角，熟练掌握相关知识点，是解题

的关键.根据正多边形的一个内角的度数的计算方法，求出N48c的度数，等边对等角，求出N8AC的度数,

根据三角形的内角和定理结合对顶角相等，即可得出结果.

【详解】解:回正八边形/RCQEFGH.

^ABC=（"2）x18。°=135。，AB=BC/ABE=90°,

8

回乙CAB=^ACB=3x（180°-135°）=22.5°,

□ZFPC=AAPB=180°-4ABE-Z-CAB=67.5°；

故答案为：67.5

【变式7-3]（25-26九年级上•江苏南通•期中）如图，直线矶从正六边形4BCDEF的顶点4、C分别在直线Q、b

上，若41=40°,则42的度数是.

【答案】20°

【分析】本题主要考查了正多边形的内角问题，平行线的性质，三角形内角和定理，正确添加辅助线是解题

的关键.延长凡4与直线b交于点H,先求出正六边形的内角△F的度数，再由平行线的性质得到乙2=43,然

后根据三角形内角和定理求解即可.

【详解】解：延长凡4与直线b交于点”,

团正六边形力BCOEF,

0Z.F=(6-2)x180。=120。"||CD.

6

0Z2=乙H,

0aIIb,

0Z3=Uh

0Z2=Z3=180°-ZF-Z1=180°-120°-40°=20°.

故答案为:20°.

【题型8多(少)算一个角问题】

【例8】(24-25八年级上•四川德阳・月考)小明同学在用计算器计算某〃边形的内角和时，不小心少输入一

个内角，得到的和为2017。，则〃等于.

【答案】14

【分析】本题主要考查了多边形内角和、解一元一次方程等知识点，牢记“多边形的内角和一定是180。的整

数倍”是解题的关键.

设少输入的内角为x(00<x<180°),则(n-2)x180。=2017。+工；由2017+180=11......37结合

(n-2)X180°=2017°+不可得：x=143°,再将％=143。代入-2)X180°=2017°+X,解关于〃的方

程即可.

【详解】解：设少输入的内角为3(0。VxV180。)，

回多边形的内角和一定是180。的整数倍，

0(n-2)xl8O0=2O17°+x

02017-r180=11…37,

02017=180x11+37,

0(n-2)x180°=11x180°+37°+x,

回多边形的内角和•定是180。的整数倍，

=180°-37°=143°,

0(n-2)x180°=11x180°+37°+143°,

解得：n=14.

故答案为14.

【变式8-1］在计算多边形内角和时，不小心多加了一个内角，结果为1100。，则边数为()

A.5B.6C.7D.8

【答案】D

【分析】本题考查了多边形的内角和公式,W(n-2)-180°,根据题意先得出这个多加的内角为20。,然后再

根据多边形内角和定理可得出：(n-2)x180°=1100°-20%求出〃即可得出答案.

【详解】解：11000+180。=6…20。，

这个多加的内角为20。，

设这个多边形的边数为〃，

根据多边形内角和定理可得出：(n-2)x180°=1100。一20。，

解得：n=8,

故选:D

【变式8-2】请根据对话回答问题：

什么？不可能!你看，

你错把一个外角当作内

角加在一起了！

小刚

⑴多加的外角是。；这个凸多边形的边数是

⑵求这个多边形的内角和及其对角线条数.

【答案】⑴44,13；

(2)内角和是1980。,对角线有65条

【分析】本题考查多边形的内角和与外角和以及多边形的对角线问题.

(1)根据多边形的内角和公式可得内角和•定是180的倍数，用2024除以180,得到的余数即为多加的外

角，再根据多边形的内角和公式可得边数；

(2)用2024减去多加的外角即可得到内角和；根据〃边形的对角线条数为若之求解即可.

【详解】(1)解:断边形的内角和是(n-2)X180。,

团多边形的内角和一定是180的倍数，

02024-?180=11……44,

回多加的外角是44。，

这个凸多边形的边数是11+2=13；

(2)这个多边形的内角和为2024。-44。=1980°,

对角线条数为=65(条)，

答：这个多边形的内角和是1980。，对角线有65条.

【变式8-3】马小虎在计算一个多边形的内角和时，由于粗心少算了2个内角，其和等于830。，则该多边形

的边数是()

A.7B.8C.7或8D.无法确定

【答案】C

【分析】n边形的内角和是(n-2).180%即为120。的(n-2)倍，多边形的内角一定大于0度，小于120度，

因而多边形中，除去2个内角外，其余内角和与180度的商加上2,以后所得的数值，比这个数值大1或2

的整数就是多边形的边数.

【详解】设少加的2个内角和为x度，边数为n.

则(n-2)xl80=830+x,

即(n-2)xl80=4xl80+110+x,

因此x=70,n=7或x=250,n=8.

故该多边形的边数是7或8.

故选C

【点睛】本题考杳了多边形的内角和定理，正确理解多边形内角的大小的特点，以及多边形的内角和定理是

解决本题的关键.

【题型9多边形截角后的内角和问题】

【例9】一个多边形截去一个角后，形成另一个多边形的内角和为720。，那么原多边形的边数为（）

A.5B.6或4C.5或7D,5或6或7

【答案】D

【分析】首先求得内角和为720。的多边形的边数，分类讨论即可确定原多边形的边数.

【详解】解：如图，

剪切的三种情况：

①不经过顶点剪，则比原来边数多1,

②只过一个顶点剪，则和原来边数相等，

③按照顶点连线剪，则比原来的边数少1,

设内角和为720。的多边形的边数是n,则（n-2）*180=720,

解得：n=6.

则原多边形的边数为5或6或7.

故选：D.

【点睛】本题考查了多边形的内角和定理，分三种情况讨论是关键.

【变式9-1]（24-25八年级上•湖北襄阳•期末）将一块长方形木板锯掉一个角，则锯掉后剩下的多边形木板

的内角和为（）

A.180。或360。B.180°或540°

C.360。或540。D.180°或360°或540。

【答案】D

【分析】本题主要考查了多边形的内角和，理解一个长方形锯掉一个角以后得到的多边形的形状是解题的关

键.

长方形木板锯掉一个角后可能是三角形或四边形或五边形，再根据多边形的内角和定理即可解决.

【详解】解：长方形木板锯掉一个角以后可能是：三角形或四边形或五边形，

则剩下的多边形木板的内角和是180。或360。或(5-2)x180°=540°.

故选：D.

【变式9-2】将图中的四边形剪掉一个角后得到〃边形，设〃边形的内角和为。，外角和为£.嘉嘉认为：«=

540°,0=360。.淇淇说："嘉嘉只说对了0的值，a还有其他的值."下列说法正确的是()

A.嘉嘉说的完全对

B.淇淇说的对，a其他的值一定是360。

C.淇淇说的对，a其他的值为360。或180。

D.淇淇说的不对

【答案】C

【分析】剪掉一个多边形的一个角，则所得新的多边形的角可能漕加一个，也可能不变，也可能减少一个，

根据多边形的内角和定理即可求解.

【详解】解：〃边形的内角和是(九-2)•180。，外角和二360。

边数增加1,则新的多边形的内角和是:a=(4+1-2)x180°=540°,

所得新的多边形的角不变，则新的多边形的内角和是a=(4-2)x180°=360°,

所得新的多边形的边数减少1,则新的多边形的内角和是a=(4-l-2)x180°=180°,

因而所成的新多边形的内角和是540。或360。或180°,

所以淇淇说的对，a其他的值为360。或180%

故选C.

【点睛】本题主要考查了多边形的内角和的计算公式，理解：剪掉一个多边形的一个角，则所得新的多边形

的角可能增加一个，也可能不变，也可能减少一个是解决本题的关键.

【变式9-3】如图，沿着虚线将四边形纸片剪成两部分，如果所得两个图形的内角和相等，则符合条件的剪

法是()

【答案】B

【分析】根据多边形内角和定理逐一判断即可得答案.

【详解】三角形内角和为180。，四边形内角和为360。，五边形内角和为（5・2）、180。=540。,

①剪开后的两个图形是四边形，它们的内角和都是360。，符合条件，

②剪开后的两个图形是五边形和三角形，它们的内角和分别是540。和180。，不符合条件，

③剪开后的两个图形都是三角形，它们的内角和是180。，符合条件，

④剪开后的两个图形是二角形和四边形，它们的内角和分别是180。和360。，不符合条件，

团符合条件的剪法是①③，

故选：B.

【点睛】本题考查多边形的内角和定理，多边形内角和=（〃-2）X180。（应3）；熟练掌握多边形内角和公式

是解题关键.

【题型10复杂多边形的内角和】

【例10】（25-26八年级.匕全国•期中）如图，图中4A+ZB+4。+20+匕£+乙"+△6+△”+匕/的度数

为（）

C.720°D.810°

【答案】A

【分析】本题主要考查了多边形内角和定理，三角形外角的定义和性质，设4/与3C,CD分别交于点人K,DE

与G”交于点N,由三角形外角的定义得出乙4乙々C+乙C=4/KZ）,则乙力+4B+/C=

△KD.同理乙£+乙尸+乙G=〃/ND.进而转化成求五边形KONH/的内角和求解即可.

【详解】解：设力/与BC,CD分别交于点J,K,DE与GH交于点、N,

则乙力+乙B=乙A)C,Z.AJC+ZC=乙1KD,

:.Z.A+/.B+Z,C=乙IKD.同理“+42+乙。=LHND.

/力+NB+/C+/。+/E+4/+乙G+NH+4/=乙IKD+ZD+Z.HND+△/+/，=540°.

【变式10-1］如图，44+/8+4。+/0+乙£1+乙尸等于（）

【答案】C

【分析】连接8。，根据四边形内角和可得44+乙43。+。8。+匕8。。+/。。。+4。=360。，再由"8〃字三

角形可得2。8。+△。。8=4£+乙F,进而可得答案.

【详解】解：连接BD,如图，

团上4+Z.ABO+Z.OBD+Z.BDO+“DO4-zC=360°,乙OBD+Z.ODB=Z.E+zF,

团NA+Z.ABO+zF+zF+Z.CDO+zC=360°,

故选C.

【点睛】本题考查了多边形的内角和，以及“8〃字三角形的特点，正确作出辅助线是解答本题的关键.

【变式10-2］如图，已知两块三角板如图摆放，点3和点C分别在两块三角板的边上，一块三角板的顶点M在

另一块三角板的边上，且4BAC=37°,zf=60°,zF=45°,则乙48E+iEMF+4FCA=

【分析】延长8E交力C于。，延长"交8。于G,根据外角的性质得到

乙EG尸△4。9=乙4+乙48£+乙HCF,根据四边形的内角和和邻补角的定义得到

乙力BE+49用/+乙尸，4+乙4=△8£时+乙。尸"=105。,于是得到结论.

【详解】解：延长8E交4C于Z),延长C”交BZ)于G,

NBCC=NA+乙48E,

z.EGF=^-BDC+z-ACF=/-A+z.ABE+Z-ACF,

v乙EGF+乙EMF+匕MEG+Z.MFG=360°,

二乙EGF+乙EMF+180°-4E+180°一乙F=360°,

•••Z.EGF+乙EMF=Z.E4-Z.F,

vLE=60。"=45°,

:.LABE+Z-A+Z-FCA4-Z.EMF=LBEM+zCFM=105°,

•••"=37°,

£ABE+^EMF+^FCA=105°-z.A=68°.

故答案为:68°.

【点睛】本题考查了三角形的外角的性质，四边形的内角和，邻外角的定义，熟练掌握三角形的外角的性质

是解题的关键.

【变式10-3】阅读材料：

如图1,AB、C。交于点0,我们把财0。和(3BOC叫做对顶三角形.

结论：若(MOD和团BOC是对顶三角形，则财+团£>=貂+团。.

结论应用举例：

如图2：求五角星的五个内角之和，即04+E18+a4CE+EL4D8+l3E的度数.

解：连接C。，由对顶三角形的性质得：07?+0£=01+02,

在EACQ中，^A+^ACD^^ADC=120°,

即M+团3+团1+02+附=180°,

^A+^ACE+^B+^E+ADB=180°

即五角星的五个内角之和为180°.

解决问题：

(1)如图①，0A+@B+团。+@。+同£物尸=_；

(2)如图②，IM+0H+团C+0O+团印3尸+0G=_;

(3)如图③，国A+R14+团C+0O+团七福F+SG+[3，=_；

(4)如图④，国A+回4+团。短。+团/以命'+0G+团〃+(W+团N=_；

请你从图③或图④中任选•个，写出你的计算过程.

AN

H

【答案】(1)360”;(2)540w;(3)720"；(4)1080";过程见解析

【分析】(1)连接CQ,由对顶角三角形可得04+团8=团5。。+M。。，再由四边形的内角和定理得出结论;

(2)连接EO,由对顶角三角形可得财+国8=团8E。+财。£,再由五边形的内角和定理得出结论；

⑶连接8”、DE,由对顶角三角形可知配方H+或汨。=团”。£+团3£。，再根据五边形的内角和定理得出

结论；

(4)连接NO、NE,由对顶角三角形可知[31+132=[3NG”+[3E”G,再由六边形的内角和定理得出结论.

【详解】解：(1)连接CQ,由对顶角三角形可得财+[38=(38QC+MC。，则国4+(38+团。+皿)+0七+13户

=360°；

(2)连接£7九由对顶角三角形可得财+鲂=团8七。+财。£：,则财+团B+(3C+团。+团E+团/+时；=540°；

(3)连接DE,

回由对顶角三角形可知团石财月。=团小》：+财丘。，

回财+勖+团C+团。+团E+团产+团G+(3”=五边形CO£FG的内角和+财/汨的内角和=540°+180°=720°：

(4)连接NO、NE,

团由对顶角三角形可知胤1+团2=酰6"+配：/心，

能次+鲂+团。+皿)+团£：+跖+团G+(3”+l2M+回N=六边形8c尸GHM的内角和+0AN。的内角和+I2NOE的

内角和=(6-2)X180°+360°=：1080°.

故答案为:360°；540°：720°：1080°.

【点睛】本题考查的是三角形内角和定理，根据题意作出辅助线，利用MOD和勖OC叫做对顶三角形的性

质及多边形的内角和定理解答是解答此题的关健.

【题型11多边形外角问题的计算】

【例11】（25-26八年级上•云南曲靖・期中）一个多边形的所有内角与它的外角和的和是1080。

⑴求该多边形的边数；

（2）若该多边形为正多边形，求每一个外角的度数.

【答案】⑴该多边形的边数为6

（2）60°

【分析】本题考查了多边形内角和与外角和.

（1）设该多边形的边数为71,根据多边形的内角和5-2）x180。与外角和360。可得方程，解之即可；

（2）利用（1）的结论，根据多边形的外角和定理进行计算即可解答.

【详解】（1）解:设该多边形的边数为几，

由题意可得:（n-2）xl80o+360°=1080°,

解得：n=6»

同该多边形的边数为6；

（2）解：由（1）可得该多边形是正六边形，

二每一个外角的度数=号=60。.

6

【变式11-1］（25-26九年级上•江苏无锡•月考）如图，正六边形与正方形有两个顶点重合，且中心都是点O.若

△40B是某正多边形的一个外角，贝M的值为（）

【答案】D

【分析】本题考查了正多边形的内角和外角性质，先求出乙力。8的度数，即可得出〃的值，熟练掌握正多边形

的性质是解此题的关键.

【详解】解：如图，连接。。，

B

贝IJ/BOC=360°4-4=90°,Z-AOC=360°+6=60°,

^/.AOB=乙BOC-/-AOC=30°,

团ZA08是某正多边形的一个外角，

勖i=360。+30。=12,

故选:D.

【变式11-2】一个多边形的内角的是五边形外角和的3倍，则这个多边形是边形.

【答案】八

【分析】根据多边形的内角和等于（n-2）•180。，外角和等于360。，结合题意列方程求解即可.

【详解】解：设多边形的边数是九，则这个多边形的内角和为（几-2）•180。，

（3五边形的外角和为360。，且这个多边形的内角和是五边形的外角和的3倍，

0（n-2）-180°=3x360°,

解得〃=8,

团这个多边形为八边形.

故答案为：A.

【点睛】本题主要考查了多边形的内角和与外角和，熟记多边形的内角和公式和外角和为360。是解题的关键,

要注意“八〃不能用阿拉伯数字写.

【变式11-3］按要求回答下列各小题.

⑴若一个〃边形的内角和的1比一个四边形的内角和多360。，求〃的值；

⑵一个正多边形的所有内角与它的所有外角之和是1620。，求该正多边形的边数及一个外角的度数.

【答案】⑴14

⑵该正多边形的边数为9,一个外角的度数是40。

【分析】（1）〃边形的内角和为（71-2）•180。，结合已知条件，列出关于〃的一元一次方程，即可求解：

（2）正〃边形的内角和为（九-2）•180。，外角和为36形,则（九-2）•180。+360。=1620。，解方程即可.

【详解】（1）解：〃边形内角和为（九一2）•180。,四边形的内角和为360。,

由题意得,-(n-2)180°-3600=360%

解得n=14,

即n的值为14；

(2)解：正〃边形的内角和为(n-2)•180。,所有外角都相等且外角和为360。,

由题意得,(n-2)-180°+360°=1620°,

解得九=9，

360°4-9=40°,

即该正多边形的边数为9,一个外角的度数是40。.

【点睛】本题考查多边形的内角和与外角和，解题的关键是掌握〃边形内角和为(九-2)•180。,外角和为360。.

【题型12多边形外角和的实际应用】

【例12】规定：各边相等，各角也相等的多边形叫正多边形.

一个机器人以2m/s的速度在平地上按如下要求行走，

⑴该机器人从开始到停止所走过的路程形成的图形是：

(2)该机器人从开始到停止所需时间为s；

⑶若机器人还差4m就第几次回到点。处，则它所走过的路程为.

【答案】(1)正九边形；

(2)18；

(3)(36n—4)m.

【分析】本题考瓷了正多边形的外角和定理，理解经过的路线是正多边形是关键.

(1)该机器人所经过的路径是一个正多边形，利用360。除以40。，即可求得正多边形的边数;

(2)求出多边形的周长，利用周长除以速度即可求得所需时间；

(3)求出〃次的路径长减去4即可.

【详解】(1)解：由题意得，该机器人所经过的路径是一个正多边形，

多边形的边数为：360。+40。=9,

所以，该机器人从开始到停止所走过的路程形成的图形是正九边形,

故答案为：正九边形；

(2)解：该机器人所走的路程是：4x9=36m,

则所用时间是:36+2=18s.

故答案为：18；

(3)解：已知机器人〃次I口I到原点的路程为：nx36=36n,

还差4m,即：(36n-4)m.

故答案为：(36九一4)m.

【变式12-1](24-25七年级下•甘肃天水•期末)如图，图①是我国古代建筑中的一种窗格，称为“冰裂纹”.图

②是从图①冰裂纹窗格图案中提取的由五条线段组成的五边形，匕1、42、43、/4、乙5分别是这个五边形

的外角，则41+42+43++45的度数为

【答案】360

【分析】本题考查的是多边形的外角，掌握多边形的外角和等于360。是解题的关键.根据多边形的外角和等

于360。解答即可.

【详解】解：由多边形的外处和等于360。可知，41+42+/3+44+乙5=360。，

故答案为：360.

【变式12-2](24-25七年级下•山东聊城・期末)参加创客兴趣小组的同学给机器人设定了如图所示的程序，

机器人从点。出发，沿直线前进2米后左转18。，再沿直线前进2米，又向左转18。......照这样走下去，机器

人第一次回到出发地0点时，一共走的路程是米.

【答案】40

【分析】本题考查了多边形的内角和与外角，熟知任意多边形的外角和都是360。.由题意可知机器人所走的

路线为•个正多边形，根据多边形的外角和即可求出答案.

【详解】解：由题意，得每一个外角是18。，

360。+18。=20,

20x2=40米，

故答案为：40.

【变式12-3］（24-25八年级上•山西朔州•期末）石墨烯在材料学、微纳加工、能源、生物医学和药物传递等

方面具有重要的应用前景.它的分子结构如图所示，六边形ABCDE"的外角和为（）

A.360°B.540°C.720°D.900°

【答案】A

【分析】本题考查了多边形的外角定理，根据多边形的外角和为360。即可求解，掌握多边形的外角和为360。

是解题的关键.

【详解】解：六边形A8CDEF的外箱和为360。，

故选:A.

【题型13多边形的内角和外角的综合】

【例13】（25-26八年级上•河北廊坊•期中）已知九边形（nN3且九为整数）的内角和公式为（几-2）x180。,

n边形的外角和为360。.

⑴一个多边形的内角和比它的外角和的2倍少180。，求这个多边形的边数;

⑵如图，G8,GC分别平分乙DCB,乙力=4。=120°,求尤的值.

【答案】⑴5

（2）120度

【分析】本题考查多边形的内角和和外角和问题，熟练掌握几边形的内角和公式以及几边形的外国和为360。，

是解题的关键：

（1）根据题意，列出方程进行求解即可；

（2）根据四边形的内角和为360度，求出，A8C+4BCD的度数，再根据角平分线的定义和三角形的内角和

定理，进行求解即可.

【详解】（1）解：设这个多边形的边数为n,依题意，（九一2）x1800=3600x2-180。，

解得九=5,

这个多边形的边数为5.

（2）解：四边形力BCD的内角和为（4一2）X180。=360。，

vZ.A=Z.D=120°,

Z.ABC+乙DCB=360°-LA-LD=120°,

又GQGC分另U平分乙4ZJC,乙DCB,

团4GBC=\乙ABC,乙GCB=\乙BCD,

•••Z.GBC+乙GCB=+乙DCB）=60°,