专项突破（三）第2节 空间角与空间距离-2026年高考数学二轮复习

第2讲空间角与空间距离

探究真题明确方向-

1.(2025•全国H卷，T17)如图，在四边形/18C。中，AB//CD,NO48=90。，尸为C。的中点，点E在44上,

EF//AD,AB=3AD,CD=2AD,将四边形EP力力沿E"翻折至四边形£77)4,使得面EFD4与面EFCB所

成的二面角为60。.

(1)证明：48〃平面CO下；

(2)求面BCD，与面石五。为,所成的二面角的正弦值.

2.(2025•北京，T17)四棱锥尸-48co中，△力。与△力BC为等腰直角三角形，ZJ£)C=90°,NA4G90。，E

为BC的中点.

(1)尸为PO的中点，G为PE的中点,证明：尸G〃而P4B；

⑵若。4_1面力8。。，PA=AC,求,48与面PC。所成角的正弦值.

命题热度：

本讲是历年高考命题必考的内容，属于中档题目，主要以解答题的形式进行考查，分值约为15〜17分.

考查方向：

一是考查利用空间向量求线线角、线面角、二面角；二是考查利用空间向量解决距离问题；三是考查利用

空间向量解决探索性问题，这类问题利用向量法往往容易上手，具有操作方便的优势.

1.(1)证明因为4?〃CO,所以4E〃OE所以©E〃DF,

因为。户u平面CO户，力万0平面CO户，所以4E〃平面CPF,

因为FC〃EB,FCu平面CD户,EB(Z平面CDF,所以E8〃平面CO下，

又EBCA，E=E,EB,A'Eu平面"EB,所以平面4比?〃平面CO户，

又/TBu平面4'EB,所以46〃平面COF

(2)解方法一因为ND48=90。，所以/OJ_月仇又因为力6〃R?,EF//AD,所以MJLFC,

以尸为原点，FE,以及垂直于平面的直线分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系.

因为D'F上EF,CF±EFt面E/加彳与面EFCB所成的二面角%60。，所以NO户。=60。・

设4)=1,则8(1,2,0),C(0,1,0),。(0,y),E(l,0,0),F(0,0,0),

所以就=(-1,“，0),而=(0,-j,y),FE=(\,0,0),而=(0,y).

设平面BC7T的法向量为〃=(x,yfz),贝"

(BC-n=0,(-x-y=0,

]―>所以｛ivo令.尸V5,贝Uz=l,x=-V3,则〃=(-V5,百，1)为平面8C7T的一个法

ICD'n=0,I--y4-—z=0,

向量.

设平面E/7力⑷的法向量为"1=(X1,巾，Z|),

令则Z|=-1,X1=O,所以/M=(0,8，・1)为平面的一个法向量.

所以面与面EFO⑷所成的二面角的正弦值为J1一(S,考.

方法二由EFWE且EFLEB,

可知乙4E8即为面EFDN'与面"C8所成二面角的平面角，为60。，

不妨设力0=1,在平面内，由点4作的垂线，垂足为0,

可知40_1_平面EFC8,七03，08=1,以。为坐标原点建立如到所示的空间直角坐标系，

则40,-i,o),F(-l,-i,0),迎0,净,B(0,I，0),c(-l,I，o),D(-l,0,4

瓦=(l,0,0),EA'=(0,I，y),

c5=(l,L0),W§=(1,I，-y),

设平面EFZ//T的法向量为〃I=(xi,yi,Z1),

Fb-ni=打=0,

则有•——,173

EA・n]=-yx+—Zj=0,

<yi=-V3,则〃i=(0,-百，1)；

设平面BCD'的法向量为“2=(X2，产，Z2),

CBn2=x2+y2=0，

则有__3V3

D'B-n2=犯+5y2—工z?=0,

取少=75,则〃2=(-V5,V5,1),

设面BC。'与面卬所成的二面角为仇则有|cosq=|cos<M1,〃2〉1=1需篙|¥，故sin企竽

方法三由CZ>2/。，厂为。的中点，得DF=AD=FC.又AB〃CD,EF//AD,所以四边形EFD4为平行

四边形，又NDAB=90°,DF=<D,所以四边形EFD4为正方形,则E£J_CO,即。尸_L£F,FC1EF,所

以N。户。是面EFD/，与面ER78所成二面角的平面角，

因为面⑷与面£7(8所成的二面角为60。，所以NO户。=60。，又DF=FC,所以尸为正三角形.

由DFLEF,FC±EF,DFCFC=F,DEFCu平面CDF,得EF工平面CDF因为EFu平面EFCB,所

以平面CD'F上平面EFCB.

取R?的中点。，连接。O,则。。J_R?,

又平面S产J,平面QC8,产面C£>rnT■面QCZ^Z7。，O'Ou产面。。下，所以产面EFC。，

过O作交BE于M,则以O为坐标原点，分别以OM,OC,所在直线为->­,z轴建立如

图所示的空间直角坐标系.

设/C=2,则回(0,-1,0),£(2,-1,0),C(0,1,0),8(2,3,0),。'(0,0,V3),

则而=(2,2,0),历;=(0,-1,V3),而=(2,0,0),而;=(0,1,V3).

ni-CB-0>+2yi=0,

——»即l

{nyCD'-0,(-力+v3zi=0>

令zi=l,得xi=・K,^i=V3,则平面80的一个法向量为〃[=(-、/，，V3,1).

nj'FE=0,(2%2=0，

——•即rtM1r-

{nrFD'=0,{y2+V3z2=0,

令Z2=l,得卜2=•百，X2=0,则平面£77)⑷的一个法向量为〃2=(0，•百，1).

设面BC。与面E/管⑷所成的二面角为仇

,|ni-n2|_2_>/7

则|cos4=|cos<711,“2〉1jndlnj77x27

所以sin0=71-当则面8S与面跖。4所成的二面角的正弦值为平

2.(1)证明取尸月的中点N.P8的中点连捱FN、MN、GM,

AACD与ZXABC为等腰直角三角形，ZADC=ZBAC=90\

不妨设4D=CD=2,：.AC=AB=2>/2,

.•・«C=4,

•:E,产分别为6C,尸。的中点，:・FN《AD=T,BE=2,

：・GM《BE=\=FN,

VZDAC=45°,ZACB=45\

：,AD//BC,

:.FN"GM、

四边形bG/WN为平行四边形,

:.FG〃MN、

TEGe平面2/8,MNu平面P4B,

・・・EG〃平面PAB.

⑵解・・・P4_L平面48CD,

.♦•以,4为坐标原点，JC,AB,力产所在直线分别为羽），，z轴建立如图所示的空间直角坐标系,

设力D=CO=2,则%(0,0,0),5(0,2V2,0),C(2或,0,0),D(&,-V2,0),尸(0,0,2四),

，施=(0,2V2,0),DC=(V2,V2,0),CP=(-2^2,0,2位)，

设平面PCD的法向量为〃=(x,y,z),

Jax+y/2y=0,

**l-2V2x+2V2z=0,

取x=l,*.y=-1,z=\,/.n=(1,-1,1),

设AB与平面PCD所成的角为仇

则sin月cos〈而，M>|一詈”

_|0xl+2/x(-l)+0xl|_Q

""25/2XV12+(-1)2+12~P

即45与平面PC。所成角的正弦值为日.

考点一空间角

例1（2025•嘉兴模拟）如图，在边长为2的正三角形44c中，E,尸分别为4C,的中点，将△（?£尸

沿EF翻折至△PM,使得尸E_LN£

⑴证虬平面平面力3在1；

(2)求直线PA与平面所成角的正弦值.

(1)证明•••△48C为等边三角形，E为AC中袅，：.BELAE,

义・：PE工AE,且PE,BEu平面PBE,PECBE=E,・FE上平面PBE,

X力£u平面ABFE,I.平面尸6£J_平面ABFE.

(2)解方法一

(等体积法)

过点P作PHLBE,垂足为“,

•・•平面平面48;花，且平面PBEC平面力BFE=BE,J.PHA.^ABFE,

又・・•£,/分别为/C,8。的中点，

・••翻折后，PEG,PA=412+12=、万,

由对称性可知尸8=或，

又止J5,：./EPB=900,

则尸产詈=奈，

BEV33

设直线尸8和平面包户所成角为仇点B到平面PEF的距离为力,

由展梭诙B-PE产J核饭P-BEF得拈公尸七尸〃=1S△5E尸P/7,

又S〃X；X2X2XSin60。邛，

8r=^,

：・h=PH当sm*若.

故直线P8与平面PE/所成角的正弦值为学

方法二(几何法)

分别取E凡4?的中点/,N,连接PW,PN,MN,过点N作NG_LPM,

•••△/I5C为等边三角形，E,尸分别为月C,8c的中点，

:・PM工EF,MNLEF,且PMC\MN=M,PM,MNu平面PMN,则E/LL平面PMN,

EFc平面PEF,平面PMNL平面PEF,

•.・平面户WA平面尸MN=PW,又NGLPM,NGu平面PMN,••.画_1_平面/＞石厂,

・：AB〃EF,4BU平面PEF,EFu口面PEF,

・・・力8〃平面PEF,

・・・点B到平面PEF的距离即为NG的长度,

翻折后，PE=1,PA=JI2+12=V2,

由对称性可知尸8=&,

又力8=2,可知//P/?=90。，:.PN=\,

在中，PM聋,MN=yt

故尸N边上的高为J俘）2—（如当

设直线P8和平面PE/所成角为仇

..a_NG6

・・smF=T，

故直线P8与平面产跖所成角的正弦值为g

方法三（坐标法）

过点P作尸垂足为，，

「平面PBEA.平面ABFE,且平面PBEC平面ABFE=BE,PHA.平面ABFE,

又♦・•£,尸分别为月C,8。的中点,

・••翻折后，PE=\,PA=712+12=&

由对称性可知

又止V5,：・/EPB=900,

则p产冷唔与

BEv33

因此以E为坐标原点，EA,以分别为x轴、y轴建立空间直角坐标系，如图,

则邺,0,0）,8（0,V3,0）,F（-1,苧，0）,

《。,看孰而=（°,竽，鸣，

弟（W圣。），舁（。，手埼，

设平面PEF的法向量为〃=（x,y,z）,

nEF=_：x+4y=0,

则122

[nE"EPH=—Gy^」.—乃z=n0,

不妨令z=-l,则法向量〃=（乃，V2,-1）,

设直线P8和平面PEE所成角为仇则sin<9=|cos〈〃，丽〉卜."竽+当I.

V6+2+1XJ1^

故直线PB与平面PEF所成角的正弦值为号.

［规律方法］(1)用向量法求空间角的一般步骤

①建立空间直角坐标系.

②用坐标表示直线的方向向量和平面的法向量.

③利用向量的夹角公式求出向量夹角或角的三角函数值.

(2)注意两异面直线所成角的范围是(0,线面角。与直线的方向向量〃和平面的法向量〃所成的角〈明

〃〉的关系是〈4,〃〉或〈明〃〉-仇/；两平面的夹痢与其对应的两法向量的夹角不一定相等，而是

相等或互补.

跟踪演练1(2025•浙江Z20名校联盟联考)如图，四棱锥中，底面48CO是平行四边形，Z

840=60。，48=4,AD=2fPB=PD=2®且力O_LP8.

(1)证明：BC_L平面PB。；

(2)求二I川角CPA。的余弦值.

⑴证明・・・/8力0=60。，AB=4tAD=2,

:・BD=26且ND=90。,

又AD1PB,PBCBD=B,PB,BDu平面PBD,

・・・4O_L平面PB。，又•..四边形43CO是平行四边形，：,BC//ADf，8CJ_平面PBD

(2懈设4C与8。的交点为O,则。为8。中点,

♦：PR=PD=NW,J.POLRD,

•:BCL平面PBD,POu平面P8。，:.BC上PO,

又BDC\BC=B,BD,8Cu平面BCD,

平面BCD.

方法一(坐标法)

以D为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系,

/.D(0,0,0),4(2,0,0),C(-2,2国，0),P(0,V3,3),

・••格(42V3,0),

可=(2,-V3,-3),而=(-2,0,0),

设平面P/C的法向量为/M=（X,y,z）,

m^PA=0,2x-V3y-3z=0,

即

m-AC=0,-4x+2V3y=0,

取x=V5,得〃I=(A/5,2,0),

设平面尸力。的法向量为〃=（a,〃，e）,

取h=-\/3f得〃=（O,-V3,1）,

设二面角C-尸不。的平面角为仇

•Z）_1/\I1-2网同

..cos^=|cosUn,n）|一的乂？一7，

・•・二面角C-尸力-。的余弦值为容.

方法二（几何法）

•・・?/O_L平面PBD,

，平面平面尸S。，作。〃_1_尸。，易知。〃_1_平面?月。，作OE工PA,连接£〃（图略）,

・・・NOE〃=e即为所求角，

易知。*OE*，

3百

EruH—~

EH履

cos0=~0E~~~

，二面角C-P力-。的余弦信为第.

考点二空间距离

例2（2025・汉中模拟）如图，在四棱锥EdBCO中，E为边力。的中点，AB//CD,力8_1_平面力OE,

CD=AD=2AB=2DE=4,ZADE=60°.

E

(1)求证：AELCEx

(2)求平面力6笈与平面b所成角的余弦值；

(3)设G为边1。上的点，满足8G=百，求点G到平面CE厂的距离.

⑴证明在△/£陀中，40=4,DE=2,/4DE=60。,

：.A^=Aiy+DE2-2ADDEcGSZADE=12,/.AE^+D^AD2,：.AE±DE.

—BL平面4DE,AB//CD,

••・CQ_L平面4QE,又平面力OE,：.CDLAE,又CDCDE=D,CD,DEu平面CDE,

.•・力£1_平面CDE,又CEu平面CDE,J.AELCE.

(2)解过七作直线/〃4?,

:4BL平面4DE,."_L平面力OE,

又由(1)知4EJ_DE,以E为坐标原点，直线E。，EA,/分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直

角坐标系,则坐(0,0,0),C(2,0,4),。(2,0,0),A(0,26,0),

・"(1,V3,0),

.••丽=(2,0,4),萨(1,V3,0),

设平面C£尸的法向量为m=(x,y,z),

mEF=0.__(x4->/3y=0,

则_即

m-EC-0,{2x4-4z=0,

令x=6,则加=(6,-2V3,-3).

易知平面ZB石的一个法向量为〃=(1,0,0),

./、mn62V57

..COS(7H,.“「后，—ic.

n)|m||n|V57xl19

・•・平面力BE与平面CE尸所成角的余弦值为哪.

(3)解・；力8上平面4DE,1Ou平面力

：.ABLAGt又BG=圾,力8=2,：,AG=\,

又易知N£4G=30。,

・••点G的坐标为G»0),

.•.前呜，苧,0).

・••点G到平面CEF的距离"一1•一"受二一2例_2呼

［规律方法］(1)求点到平面的距离有两种方法，一是利用空间向量点到平面的距离公式，二是利用等体积

(2)求直线到平面的距离的前提是直线与平面平行.求直线到平面的距离可转化成直线上任一点到平面的距

离.

跟踪演练2(2025•泰州模拟)如图，在直三棱柱48G461c中,AB尸BC产CAi,BCiLCAi.

(1)证明：三棱柱力4c是正三棱柱；

(2)证明：ABxlCAn

(3)设IBC平面a,8G〃平面a,若直线8G与平面a的距离为V5，求三棱柱A8C-4囱G外接球的表面

积.

(1)证明在直三棱柱/8C-45G中，

BBi=CG=M,N4BBi=NBCCi=NC44=90。,又因为《当=8。尸。］,

所以△/8丛0△4CG出△。力4,

所以,48=8。=。，

所以三棱柱4?C-481G为正三棱柱.

(2)证明取4C,4G的中点。，Di,连接8。，DDi,则8O_L4C,AAi〃DDi,因为/小_L平面力BC,

所以DD_L平面48C,

以DB,DC,所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所云的空间直角坐标系，不妨设4C=2a,

AA\=b,则

4(0,-a,0),5(V3a,0,0),C(0,a,0),4(0,-a,b),Ci(0,a,b),9(岳,0,b),

所以BC；=(-V5a,a,b),C/；=(0,-2a,b),AB；=(6a,a,b),

因为BG_LC4,所以两_1两，

所以BC「CAi=-2a2+〃2=0,所以6=、泛〃，

所以而；鬲=-2标+02=0,

所以画_1两，即力用_LC小.

(3)解因为481U平面a,8G〃平面a,

又因为8G_LC4,

所以不妨取平面a的一个法向量

〃=E=（。，-2。，V2Q）,

因为直线8G与平面a的距离为

所以点8到平面a的距离为百，

因为88；=（0,0,鱼。），

所以点B到平面。的距离2a2一品-后

所以。=苧，b=y/2a=3,

得所以正三"角形4BC的外接圆半径

2

所以正三棱柱ABC-AiBC的外接球的半径

R4+（约等,

所以三棱柱43C-48Q外接球的表面积S=4TCR2=33兀

考点三空间中的探索性问题

例3（2025•南宁模拟）等腰梯形Z4C。中，BC//AD,BC$D,4=60。，点E为力。中点（如图1）.将4

48E沿4E折起到的位置，点O,F分别为BE,的中点（如图2）.

（1）求证：平面8C0£_L平面4OC；

（2）如果8C=2,平面平面8C0E,那么侧棱4c上是否存在点P,使得62〃平面40斤？若存

在，求平面P8E与平面4。b夹角的余弦值；若不存在，请说明理由.

⑴证明连接CE（图略），因为3c〃力。且3cs。，点£为/O中点，所以BCJME,BC%E,故四边

形BCDE,BC"是平行四边形，MBE=CDt又四边形/8CQ为等腰梯形，所以48=。。，则又

4=60。，可得△4BE是等边三角形，

故四边形6C以为菱形，△BCE是等边三角形，

△46E是等边三角形，因为。为BE的中点，所以40J_8E,CO工BE,

又4OnCO=O,且40,COu平面4OC,所以8E_L平面4OC,又BEu平面BCDE,所以平面

平面A\OC.

（2）解存在点P,使得4尸〃平面小。尺

因为平面力归"平面BCDE,平面48EC平面BCDE=BE,

40工BE,小Ou平面小8M所以/Q_L平面8coE,

又COLBE,建立以O为原点，OB,OC,Om所在直线为x,j,z轴的空间直角坐标系，如图所示,

则0(0,0,0),仅1,0,0),C(0,V3,0),小(0,0,V3),E(-l,0,0),F(-|,y,0),

砧=(0,V3,-V3),m=(0,0,-V3),方=(一|,苧，0),

设审=，砧=(0,V3z,-V3r),OWzWl,

则?(0,V3r,V3-V3Z),RP=(-1,圆V3-V3/),

设平面4。b的法向量〃i=(x,y,z),

=0,Bnf-1x+^y=0,

则—»即｛22y

(m-AiO=0»—V3z=0,

令x=l,贝i]y=V5,z=0t

所以洲=(1,V3,0),

要使B尸〃平面4OF,则丽•〃尸0,

即-l+3/=0,解得z=^,

故在倒棱4c上存在点P,使得BP〃平面40凡

此时，尸(°，Tf竽｝屁=(20,0),

科(T¥)>

设平面尸的法向量〃=3，b,c).

Jn.丽=0,2a=0，

贝小一*即｛V32x/3

ji'BP=0»1-Q+7bH——c=0,

令c=l,贝！|6=-2,4=0,即〃=(0,-2,1),

设平面出化与平面4。尸的夹角为仇

所以cos>,故平面P8石与平面小Ob的夹角的余弦值为誓.

|n||m|-线2V5--誓55

［规律方法］解决立体几何中探索性问题的基本方法

(1)通常假设问题中的数学对象存在或结论成立，再在这个前提下进行推理，如果能推出与条件吻合的数据

或事实，说明假设成立，并可进一步证明，否则假设不成立.

⑵探索线段上是否存在满足条件的点时，一定注意三点共线的条件的应用.

跟踪演练3(2025・黄冈模拟)如图，在三棱锥H48C的平面展开图中，AC=\,AB=AD=yj3,AB1AC,

AB±AD,ZCAE=30°.

D(P)

⑴求NRC8的余弦值;

(2)在三棱锥P-48C的棱/尸上是否存在点。，使得平面48〃和平面8c。夹角的余弦值为?？若存在,

求出点。的位置；若不存在，说明理由.

解(1)在△48。中，因为力8J_4Z),力8=42＞旧，

所以BZ)=VS,所以FB=BD=爬,

在△幺CE中，因为［七=%。=百，力。=1,ZCJE=30°,

所以CE=2+l2-*2xV3xlxCOS30°=1,所以CF=CE=T,

在△”中，由余弦定理得cosNFC比”需吟胃募2=

(2)存在点。，使得平面力和平面〃C0夹角的余弦值为誓.如图，在三棱锥P-44C中，因为

即/8_L/P,ABLAC,ACC\AP=A1AC,4Pu平面4CP,

所以,48_L平面力CR在平面力CP内作外J_4P,以力为原点，而，而，通的方向为x,y,n轴正方向,

建立空间直角坐标系，

则P(V5,0,0),3(0,0,V3),C(苧,i,0),

设。Q,0,0)(0^67^73),

故的=5，o,-V5),ec=(y,-V3),

设平面8C。的法向量〃i=(x,y,z),

m•丽=ax-V3z=0,

则

m-BC=曰x+；y-V5z=0,

取z=a,贝I，〃=(百，?Ra-3、a),

易得平面力6。的一个法向量为〃=(0,1,0),

|2V3a-3|V15

设平面48尸和平面8c0的夹角为凡贝Icos%cos5i,〃〉|：

小+(2舟-3)2+a25

解得0=V5或

故当.4。=旧或40=手时，平面48P和平面8C0夹角的余弦值为手.

专题强化练

［分值：60分］

1.（13分）（2025・宁波模拟）如图，在直三棱柱力〃C-mSG中，/B4c=90。,AB=AC=2,力小=2\@N是的

中点，P是BG与&C的交点.

（1）若。是小N的中点，证明：尸0〃平面48C；（7分）

（2）求小P与平面AxBC所成角的正弦值.（6分）

（1）证明由题意，以力为坐标原点，AC,AB,4小所在直线分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系，如

图所示，

所以小(0,0,2遮)，8(0,2,0),C(2,0,0),5(0,2,2四)，Ci(2,0,2短)，N(T,1,2迎)，P(i,1,

V2),0(pp2V2),

所以福=(0,2,-2&),BC=(2t-2,0),PQ=(-1,V2),

设平面415c的法向量为〃=(x,y,z),

n-A\B=2y-2>j2z=0,

则

nBC=2%-2y=0»

令z=l,则〃=（四,V2,1）,

故〃•而=0,又平面43C,则尸。〃平面力山C

⑵解由⑴得用=（1,1,-V2）,

设直线4P与平面力山。所成角为〃，

|n•布企同

所以sin族|cos<»,AP'>|=-

1|川|布IV5x210,

2.（15分）（2025•天津）正方体力8。。-/1出CO1的棱长为4,E,尸分别为C向的中点,CG=3GG.

(1)求证：G凡L平面厂8E；(4分)

(2)求平面E8E与平面E8G夹角的余弦值；(5分)

(3)求三棱锥D-FBE的体积.(6分)

(1)证明方法一连接G尸(图略)，在正方形8CG历中，

由条件易知tanZCiFG==7V=Kr

C\rLDD1

=tan/BiBF,

所以NCFG=NBiBF,

则NBFB+/B1BF春NBiFB+NGFG,

故NBFG=7t-(/BiFB+NC、FG)q,

即GFLBF,

在正方体中，易知。iG_L平面8CGB,且止〃9G,所以£7LL平面8CG81,

又GFu平面BCGBi,所以E/LLG凡

因为£7丫166=尸，EF,BFu平面FBE,

所以GF上平面FBE.

方法二如图，连接GQ,以。为坐标原点，D4,DC,。。所在直线分别为x,八z轴，建立空间直角坐

标系，

则8(4,4,0),E(2,0,4),F(2,4,4),G(0,4,3),

所以而=(0,4,0),丽=(2,4,-4),而=(-2,0,-1),

设平面”上的法向量为/w=(a,b,c),

mEF=4b=0,

则,_

Im•丽=2Q+4b-4c=0,

令。=2,则〃=0,c=l,所以/〃=(2,0,1),

易知而=-m,则闲也是平面心E的一个法向量，所以Gb_L平面网£

(2)解同上方法二建立的空间直角坐标系，

则科(-2,4,-1),礴(40,3),

由(1)知而=(-2,0,-1)是平面F8E的一个法向量，设平面欧G的法向量为〃=(x,y,z),

nEG=-2x+4y—z=0»

所以

n-BG=-4x+3z=0,

令尸6,则z=8,y=5,即〃=(6,5,8),

设平面FBE与平面EBG的夹角为a,

则cosa=|cos(TO,加|-鬻晨晨T，即平面用E与平面破G夹角的余弦值为g.

(3)解因为£7口_平面6CC归FBu平面BCCiBi,所以EFLFB,

易知S〃B昌EFFB孕4XJ4?+2、=4圾

又。(0,0,0),则屁=(2,0,4),故点。到平面FBE的距离为d」需嗓,

由棱卷的体积公式知

/三检俅£>-尸8舄SyXd=1x4而乂言・

3.(15分)(2025•河南豫东名校模拟)如图1,在边长为4的菱形/BC。中，ND4B=60。，点M,N分别是边

BC,CO的中点，ACC\BD=Oi,力。0历2=6.沿A/N将翻折到△PM/V的位置，连接P4PB,PD,

得到如图2所示的五棱锥P-ABMND.

(1)在翻折过程中是否总有平面P8Z)J_平面HG?证明你的结论；(5分)

(2)若平面PWNJ_平面MNDB,线段PA上是否存在一点0(异于点A),使得平面QDV与平面PMN夹角的

余弦值为华？若存在，试确定点。的位置.；若不存在，请说明理由.(10分)

XJ

解⑴是.证明如下：

折叠前，因为四边形48co是菱形，所以1CJ_8D,由于“，N分别是边8C,CZ)的中点，

乐以MN//BD、所以MN_LAC,

折叠过程中，"N_LGP,"ALLG4GP(\GA=G,GP,GNu平面/MG,

所以,WN_L平面P/fG,所以&)_L平面P4G,

由于BOu平面尸80,所以平面尸BO_L平面Pz4G

(2)存在，理由如下：

当平面PA/NJ_平面MNDB时，由于平面PA/ND平面MNDB=MN,GPu平面PMN,GP工MN,

所以GPJ"平面MNDB,

以G为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，依题意可知G(0,0,0),P(0,0,V3),D(V3,-2,0),

伏遮，2,0),M。，-1，0)，/(3VL0,0),G?=(0,U,V3),?S=(V3,2,-V3),

P4=(3V3,0,-V3),

设所=/l而(0W/K1),则的=碎+同=而+/1两=(0,0,V3)+(3V3；,0,-V3A)=(3V3z,0,则

2(3732,0,V3-V3A),

易得平面AWN的一个法向量为〃尸(1,o,0),

DQ=(3V3A-V3,2,V3-V3A),DN=(-V3,1,0),

设平面QDN的法向量为〃2=(x,y,z),

则(明•丽=(3V3A-V3)x+2y+(V5—V3A)z=0,

\n2-DN=—V3x+y=0,

取〃2=(九1,V3z-V3,3x+l),

设平面QDN与平面尸MN的夹角为仇

由于平面QDN与平面夹角的余弦值为萼，

所以COSQ|COS〈〃1,〃2〉MTI

2213

网”的1J（^-I）2+（V3A-V3）+（3A+1）

解得腐，

所以当。是尸4上靠近点尸的三等分点时，平面QDV与平面PMN夹角的余弦值为誉.

K思维创新

(共17分)

4.(17分)(2025•包头模拟)如图，在四棱锥中，4)_L平面SC。，AB//CD,BC=SD,AB=2CD=6,

SC=4)=4,点£在棱SQ上，且不与S和。重合，平面48E交棱SC于点E

(1)求证：CD//EF,(3分)

(2)若石为棱SO的中点，求二面角。-4E-B的正弦值；(7分)

(3)记点O,S到平面力BE的距离分别为力，di，求dd的最大值.(7分