【数学】2026届高考考前预测卷·全国一卷

【数学】2026届高考考前预测卷.全国一卷

一、选择题

1.己知集合4={%£用了44},B={^|lnx>l},则413=()

A.{4}B.{3,4)C.{2,3,4}D.{1,2,3,4}

答案：B

解析：因为A={*£Nl.r«4}={0,l,2,3,4},B={,v|lnx>1)={.Y|x>e],所以A3={3,4},

故选B.

2.已知复数z满足W=i,则|z|=()

z-3i

A.72B.X/3C.75D.2>/2

答案：C

解析：设z=a十bi(a,匹R),则五=〃—加，所以=7二-2(：心?二刀即

z-jia+bi-3\

..(2a=3—b,{a=2,

2(。一切)=〃i+而一年，即2〃—》i=3+齿，故〜解得<।所以z=2—i,

-2b=a,=

所以|z|=6.故选C.

3.若椭圆£+£=1(〃>方>0)的长轴长是短轴长的拉倍，右焦点是抛物线

a~b~

)，2=2〃Mp>0)的焦点，则巴=()

P

历

A.—B.V2C.2D.2>/2

2

答案：A

解析：由题意得，2a=®.2b，又/=尸+。2,所以〃=岳，又c=；,所以云=勺

M-=—，故选A.

P2

4.已知函数=的图象关于原点中心对称，则。=()

e-1

A.-lB.lC.-2D.2

答案：D

解析：易知。工0,所以函数/（X）的定义域为{XxwO},

因为函数/（x）的图象关于原点中心对称，所以有/（T）=-7*）,

即‘^二-——,解得4=2.故选D.

――处1—奴I

5.[2025秋•高二,山东淄博・期末]若圆C经过A（l,l）,8（2,-2）,圆心在直线工-），+1=0上,

则圆C的面积为（）

A.16兀B.25兀C.36兀D.49兀

答案：B

解析：设圆的方程为：（了-4+（丁-。）2=/，

(l-tz)2+(l-/?)2=r2

a=-3

(2-a『+(-2-份2=/,解得:

所以b"2,

a-b+\=0r=5

所以圆C的面积为冗产=25兀;

故选：B.

6.己知sin(a+/7)sin(a一0)=§,sina+sin°=m,则sina-sin〃=()

M

AB苫C.—D

'飞3m-i

答案：C

解析：由题可得,(sinacosp+cosasin£)(sinacos°-cosasin/)=一，

即sin2«cos2cos2«sin2〃=一,则sin2a(l-sin2夕)一cos2asin'p--,

33

整理得sin?a-siif夕=-,所以(5也。一5访£)(5m。+$m£)=」，

33

解得sina-sin〃=J.故选C.

3m

7.已知在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,4c,点。是AABC的外心,

且AOA8=28O-8C=3COCA，贝iJcosZAC8=()

A.BB._造C.—D._逅

331212

答案：D

解析：因为AO・A3=UAB|2,BOBC=-\BC^COCA=-|CA|2,

222

I____3一

所以$|4砌2=|8C|2二5|C4|2,即c=应〃=w，从而a:〃：c=VL血：指,

令。=咫tk>b=>/2kfc=娓k,Z>0,

由余弦定理得cosZACB==十/"=—巫.故选D.

lab12

8.若曲线y=e“m与),=]n(x+〃)+l有公共的切线，则〃一〃，的最大值为()

A.-2B.2C.-lD.1

答案：D

解析：设直线/与曲线)，=/+加相切于点(和9+",)，

则直线/：＞-炉+加=9+〃'(工-与)，

设直线/与曲线y=ln(x+〃)+l相切于点(w，ln(w+〃)+l),则直线

因为曲线)，=e'+m与y=ln(x+〃)+l有公共的切线，则两条切线的斜率、截距均相同,

e…=1,

x2+n

故，

l+/n

(1-x))e'=In(x2+〃)+1————

则m―〃+1=(£+〃)ln(%2-ln(xj+〃).

令，=42+〃，/(f)=rInz-Inr=(z-1)Inr(r>0),

则r«)=in，一！+1在(o,+8)上单调递增，且r(i)=o,

t

所以当，£(0,1)时，/⑺<0,/Q)单调递减，

当，£(1,+8)时，f(t)>0,/⑺单调递增，

所以/(Omin='"1)=°，于是有〃?一〃+120,

即〃一mW1.故选D.

二、多项选择题

9.[2025秋•高三•云南曲靖・期中校考]在矩形A88中，AB=\,BC=6以对角线

也为折痕将△4?。进行翻折，折后为△A3O,连接AC得到三棱锥A-8C。，在翻

折过程中，下列说法正确的是（）

A.三棱锥Af-BCD体积的最大值为:

B.三棱锥外接球的半径为1

C.存在点4使得仪9JLAC

D.当48_LOC时，AfC=y/2

答案：ABD

解析：如图所示，连接4C交应）于O,分别过A,C作CN1BD.

/7、

BC

对于A,当平面4成）JL平面BCD时，三棱锥A'-8C£）的高最大，

为A'M=AM=1"—>三棱锥A—BCD体积的最大值为1xV3x^-=’->A正

23224

确.

对于B,ZBAzD=ZBCD=90°,8。的中点为OfO8=QD=OC=6Z4'fO

为三棱锥A-BCD的外接球球心fBD为直径一所求半径为1fB正确.

对于C,假设存在点A使得BO_L4C,连接AN,

则3O_LA'C,CNLBD,AfC（CN=C->3。J_平面ACNf4N_L8。f与

AM_L8。相矛盾（M,N不重合）一假设错误->C错误.

对于D,AfB1DC,BCLDC,AfB8C=3fQC_L平面ABCfQC_LWC,

又A!D=&CO=1T4c=>/^=夜fD正确.

2j

10.已知双曲线C:二-±=1（00,〃>o）的左、右焦点分别为耳，工，过尸2作斜

a~b-

率为旧的直线与双曲线的右支交于A,B两点（A在第一象限），1人以=忸用，P为线

段A〃的中点，。为坐标原点，则下列说法正确的是[）

A.\AF]=2\AF2\B.双曲线。的离心率e=2

c.的面积为回D.直线OP的斜率为巨

27

答案：AD

解析：如图1所示，对于A选项，因为|AB|=|B用，所以

\AF2\=|AB|-\BF2\=\BF]-\BF2\=2a,

图1

由双曲线的定义可得MEHA8|=|AE|-2a=2a,所以ME|=4Z=2|4用,A正确.

对于B选项，已知直线4B的斜率为近，

设直线A8的倾斜角为a，则a为锐角且tana==V7»可得cosa=,则

4

正

cosZAF2F1-cos（7t-a）=-cosa-一一j,

1…121LL|21,门|2/—

■11

在△AKE中，由余弦定埋得cosNA%《=J—"工匚二

21A周•忻周4

即2/+加〃。-6/=0，所以2/+缶一6=0，又e>l,解得e=6,B错误.

对于C选项，因为cosNAg丹=-乎，耳为钝角，

则sinNA^K=Jl-cos^ZA鸟6=:号,

S»Ag周•内周小由/人心片=gx2ax2cx坐=77/,

C错误.

/

对于D选项，设A（%,y）,B（W，%），则尸土产，弓&

9

〈，Z

生出-。，…

可得%=j=~~~~»因为。=及。，WJb=y]c2—cT—a»

X+Z_（）X+Z

2

i_2L=i

2,2，，2、，2

由*b2得

i21=1才y

a2b2'

所以y二4=上&-&5=砥/”=近向F=4.=1,则无E,D正确.

x；-x2\-x2X[+wa7

11.[2025春・高一・湖南邵阳・期末]下列说法正确的是]）

A.在△45C中,A>B,则sin4>sin4

B.在锐角三角形ABC中，不等式sinA>cosB恒成立

C.在△A8C44,若acosA=8cos8,则△48C必是等腰直角三角形

D.在△ABC中，若8=]，b2=ac,则△ABC必是等边三角形

答案：ABD

解析：对于A,由A>3,可得a>b,利用正弦定理可得sinA〉sinB,故A正确；

/\

对于B,在锐角三角形A8C中，ABe0,—,A+B>—,:.—>A>――B>0,

f、乙）22L

.-.sinA>sin^-Bj=cosB,因此不等式sinA〉cos3恒成立，故B正确；

对于C,在△ABC中，由acosA=8cos3,利用正弦定理可得sinAcosA=sin38s3,

jr

「.sin24=sin28,A,Be（0,n）,.,.2A=2B或2A=兀-23,A=8或A+8=1,

2

.♦.△ABC是等腰三角形或直角三角形，C错误；

7T

对丁D,Z?--,段=4,由余弦定理可得/=农・=/十/一4，

可得（4一。）2=0,解得。=。，可得4=C=B=W,故D正确.

故选ABD.

三、双空题

12.曲线>二十经过坐标原点的两条切线方程分别为,

答案：y=exy=-ex

解析：当x>0时，y=e\求导得y=e"设切点为（玉炉），则必『=9，曲线

y=e、在点（芯,叫处的切线方程为），-炉=炉"-玉），又该切线经过坐标原点，所以

-er'=ex'（-x,）,解得％=1,此时切线方程为y=W

解法一：当x<0时，y=e-\求导得歹二一右"设切点为卜2，e』），则）'1『二一。』，

曲线y=e-在点（々，e』）处的切线方程为y—e』=-e』（x—七）,又该切线经过坐标原

点，所以-e』=-ef（-£）,解得々=T，此时切线方程为y=v.

解法二：因为函数）=/为偶函数，其图象关于y轴对称，所以过坐标原点与该函数

图象相切的两条切线也关于y轴对称，所以当xvO时，曲线y=e-*的切线方程为

y=-ex.

四、填空题

13.（2瓶+的展开式中，第二、三项的二项式系数之和为21,则广2项的系数为

答案：160

解析：第二、三项的二项式系数之和为21,所以C,+C=〃+妁六=21,整理得

•>_44

n~+zz-42=(n-6)(n+7)=0,解得〃=6.故2=晨26-、；丁(()〈r«6)•令2-丁二一2

得，=3,所以4项的系数为C»3=160.

14.[2023年全国甲卷高考真题]记S”为等比数列｛q｝的前〃项和.若8s6=7耳，则｛4｝

的公比为.

答案T

解析：若q=i,

则由8s6=753得8•6《=7口％,

则4=0,不合题意.

所以#1.

当"工1时，因为8s6=7邑.

所以8.也二QI".心2,

\-q\-q

即8.（1-力=7.（1”），

即8-（+/乂1一夕3）=7（1-/）,

即8・0+力=7,

解得q=.

故答案为：-；

五、解答题

15.己知正六边形的边长为2,中心为0,现从该正六边形的所有顶点中任取两个不

同的顶点/，M记随机变量X为OMQN的值.

（1）求P（X>0）；

（2）求X的分布列与数学期望.

2

答案：（1）j

4

（2）分布列见解析•，数学期望为-彳

解析：(1)若OM-QN>()，则0M,0N的夹角小于不

故P(X>O)=Q|.

(2)由题意知0M，ON的夹角可能为工，~~>71.

JJ

当〈CM,ON)时，X=OM.ON=2x2xcos^=2,

TT।.27r

当〈OM,ON〉=7时，X=OMON=2x2xcos—=-2,

当〈OM,ON〉=TI时，X=0M-ON=2x2xcos兀=-4，

故X的所有可能取值为2,-2,-4,

"=2）哈=|,"7=导|,尸―二看6

所以X的分布列为

X2-2-4

22

P

555

2214

所以X的数学期望刈乂)=2'1+(-2"1+(-4>二二-不

16.已知函数f(x)=ex(ax-a+\).

(1)讨论〃x)的单调性；

(2)当〃〉0时，证明：f(x)>a[ex-a).

答案：(1)见解析

(2)证明见解析

解析：(1)由/(X)=e*(ov-a+l),得r(x)=eX(or+l),

当。=0时，/'&)>()恒成立，/(幻在R上单调递增；

当〃〉0时，若-1)，则r(X)<0,/(X)单调递减；若工€1-5，+8),则

ffM>0,单调递增.

(\\(1A

当avO时，若xe-8,——，则/'(x)>。，/(%)单调递增；若工£——，8°,则

KIaJ

(*)<(),/*)单调递减.

/(x)Na(e'-a)恒成立，等价于丹,十)—？20恒成立.

(2)证明：当。>0时,

4〉0,

则?(幻=1一二二一

ee

所以当工£(-8,hi。)时,g'(x)<0,g(x)单调递减;

当(Inq,+00)时，g'(x)>0,g(x)单调递增,

所以g(x)min=g(lna)=lna+——1,

a

令"(a)=lna+1-l,。>0,

则”（〃）=——=—，

aa~7a"

所以当〃G（0,1）时，4（。）单调递减；

当aw（l,+co）时，h\a）＞0,力（。）单调递增，

所以〃（叽=岫=0,

所以〃⑷NO,即以乩加“，

所以X+二+1-220,

ea

所以当。＞0时，f（x）＞a（ex-a）.

22

17.已知片，尼分别是双曲线C：三一二=1（。＞0，人＞0）的上、下焦点，双曲线

a~b~

C的渐近线方程是），=士也x,且F、到双曲线C的渐近线的距离是75.

5

（1）求双曲线。的方程；

（2）若过死的直线/与C交于A,B两点,其中4在第一象限，3关于原点对称的点

为M,且6A•6"=4,求直线/的方程.

22

答案：（1）=1

45

（2）V3x-y-3=0

解析：（1）因为双曲线c：5T=i（。＞0,b＞0）的渐近线方程是），=±孚工，

所以@=冬叵，即"拽从

b55

由题可知耳（0，c）,其中c=，？+从,

因为点6到双曲线。的渐近线的距离是逐，

I

所以小K产］,所以。=3,

又/=a?+〃，所以/=4,。2=5,

22

故双Ittl线C的方程为上-工=1.

45

（2）由题可知直线A5的斜率存在，

设/:y=丘-3欠＞¥^,A（%,y）,B（毛,%），则历（-林一％）•

22

工一二二1

联立直线/与。的方程，得45~,消去），得（5/一4）工2-30履+25=0,则

y=kx-3

A=400（A:2+l）＞0,且次2一4,0,

30Z25

…二E，*”目，

则乂+%=依-3+仇-3=%（王+%2）-6，

-2

y”=（处—3）（h23）=kx}x2-3k（X）+x2）+9.

易知6A二（百,y-3）,F2M=（-x2,-y2+3）,

由f；A・KM=4,得一%9一凶％+3（y+%）-9=4,

即（一1一公卜［元2+6A（x+%）—36=4,

即（一1一二）.年7+6公害7-36=4,得k=6

故直线I的方程为-y-3=0.

18.［2025届湖北•二模联考］如图，已知四边形A5CD为直角梯形，ABLBC.

AB//CD,AB=2BC=2CDf以AO所在直线为轴将四边形ABC7）旋转到四边形

AEFD,连接BE,CF,且B,C,F,E四点共面.

（1）证明：多面体ABCOFE是三棱台.

7T

（2）若NEAB=不求直线AD与平面CD尸所成角的正弦值.

（3）若AB=2,二面角八-£B-C的余弦值为一；,求平面AE/力与平面A5E夹角的

余弦值.

答案：(1)证明见解析

⑵B

3

(3)互

7

解析：(1)因为CDHAB,8仁平面45石，ABu平面ABE,所以C。〃平面ABE.

同理可得。9〃平面人用以因为CD,A/u平面C。b，CDDF—D,所以平面CE/〃

平面ABE®.

如图1,在梯形A3CZ)中，延长A。，BC交于点、H,连接可，

图1

因为HEBC,3CU平面BE7(,所以HW平面BEFC,

同理“w平面AEFQ,又平面BfFC〕平面4石尸£>=即，所以HwEF,

故直线BC,AO相交于点”②.

故由①②可知多面体ABCDFE是三棱台.

(2)方法一：如图2,连接80,ED,

设A8=28C=2C£>=2,BD=DE=y/2=AD

又NE45=],所以AB=AE=EB=2,

由ED?+BD?=EB?，ED2+AD2=EA2f得DE工BD,DEA.AD,

又BDAD=Df8。,4。仁平面人38,所以DE_L平而ABC。，

过点。作。G_LAB交AB于点G,故。C,OG,OE两两垂直.

分别以。C，DG，OE的方向为x轴、)轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系,

则0(0,0,0),A(T,1,0),8(1,1,0),£(0,0,0),

故八。二(1,一1,0),AB=(2,0,0),AE=(1,-1,啦).

设平面AEB的法向量为m=(x,y,z),

m-AB=2x=0,

所以广则X=0,

mAE=x-y+\/2z=0,

令z=l,得丁二夜，所以帆=(0,夜』),

设直线AO与平面AEB所成角为0,

万w

则sin0=|cos〈A£>,m)|=—j=——产=—,

V2xV33

又平面AE8〃平面CDF,故直线AO与平面CD尸所成角的正弦值为立.

3

方法二：如图3,连接BQ,ED,

图3

设A3=23C=2CD=2。，则=OE=亚〃=AO，

又NE4B=m，所以A5=AE=E5=%，

由ED?+BD?=EB?，ED2+AD2=EA2^得DE工BD,DE.LAD,

又BDAD=Dt区。,4。<=平面48。。，所以OE_L平面A8CD

过点。作。交AB于点M,连接EM,

因为ABu平面ABCQ,所以

又DE(DM=DfOE,OMu平面。EM,所以A51平面OEM,

又ABu平面A8E,所以平面DEM_L平面ABE.

过点D作DNLEM交EM千点、N,连接AM

又平面OEM平面=DNu平面DEM,所以£W_L平面ABE,

故/NAO就是直线AD与平面A8E所成的角.

因为。石_LDM,DM=a,DE=Oa,所以DN=逝a,

3

又AD=®a'所以sinNNAD='

\12a3

因为平面AEB//平面CDF,

所以直线AO与平面C。产所成角的正弦值为理.

(3)如图4,取砧的中点P,连接PA,PH,

图4

因为4?=2,所以BH=EH=2,即△"BE为等腰三角形，故.PH工EB,

同理可得"_1_，故NA尸〃就是二面角A-石3-C的平面角，

故cos/APH=40，+“02一8二一」,解得AP=PH=^,

2AppH72

故BP=EP=^,即8E=&.

又BD=DE=4i，故△皮汨为正三角形.

取4B的中点G,连接。G,易知短CJ.QG.

以。为坐标原点，分别以OC，DG的方向为x轴、y轴的正方向，建立如图4所示的

空间直角坐标系，其中，Dz_L平面A8CQ,

则0(000),A(-l,l,0),3(1,1,0),心;当，

b一一y(316

所以A8=(2,0,0),AE=,AO=(1,TO).

设平面ABE的法向量为班=(%,)[,4),

仃3I

m.AE=—x,——y,4-——z.=n0,，一i-

则12।2力2।令z4=1,可得叫二(0,m,1),

叫•AB=2X[=0,

设平面AEFD的法向量为％=(七,%z2),

“31"八

it,•AE=—x^——％+——z=0,人,瓜

则12-2222?令占=1，可得%=

3

%.AD=x2-y2=0,

设平面AEF。与平面ABE的夹角为a,

276

则cosa=|cos(wi],nJ|=-----3?-2fj-,

V7x------

3

故平面AEfT)与平面ABE夹角的余弦值为五

7

19.[2025届•河南驻马店•一模联考]已知数列｛q｝的首项4=1,当〃22时，

4_%=2,数列｛2｝满足log2"=〃，，数列｛4｝和｛a｝的所有项合在一起,

按从小到大的顺序依次排列构成新数列｛&｝.

(1)求。2，。9，。12♦

(2)记，为数列｛%｝的前〃项和，求使