平面向量的概念及线性运算-高考数学重难点题型讲义（新高考地区专用）原卷版

专题5.1平面向量的概念及线性运算.重难点题型精讲

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1.向量的概念

(1)向量:既有大小又有方向的量叫做向量.

(2)数量：只有大小，没有方向的量(如年龄、身高、长度、面积、体积和质量等)，称为数量.

注：

①本书所学向量是自由向量，即只有大小和方向，而无特定的位置，这样的向量可以作任意平移.

②看一个量是否为向量，就要看它是否具备了大小和方向两个要素•.

③向量与数量的区别：数量与数量之间可以比较大小，而向量与向量之间不能比较大小.

2.向量的表示法

(1)有向线段：具有方向的线段叫做有向线段，有向线段包含三个要素：起点、方向、长度.

(2)向量的表示方法：

①字母表示法：如a，b,c,…等

(2)儿何表示法：以4为始点，8为终点作有向线段45(注意始点一定要写在终点的前面).如果用一

条有向线段A8表示向量，通常我们就说向量AB.

注：

①用字母表示向量便于向量运算；

②用有向线段来表示向量，显示了图形的直观性.应该注意的是有向线段是向量的表示，不是说向量

就是有向线段.由于向量只含有大小和方向两个要素，用有向线段表示向量时，与它的妗点的位置无

关，即同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量.

3.向量的有关概念

(1)向量的模：向量的大小叫向量的模(就是用来表示向量的有向线段的长度).

注：

①向量〃的模

②向量不能比较大小，但I”是实数，可以比较大小.

(2)零向量：长度为零的向量叫零向量.记作0,它的方向是任意的.

(3)单位向量；长度等于1个单位的向量.

注：

①在画单位向量时，长度1可以根据需要任意设定；

②将一个向量除以它的模，得到的向量就是一个单位向量，并且它的方向与该向量相同.

4.相等向量:长度相等且方向相同的向量.

注：

在平面内，相等的向量有无数多个，它们的方向相同且长度相等.

4.向量的共线或平行

方向相同或相反的外零向量，叫共线向量(共线向量又称为平行向量).规定：0与任一向量共线.

注：

①零向量的方向是任意的，注意0与0的含义与书写区别.

②平行向量可以在同一直线二，要区别于两平行线的位置关系；共线向量可以相互平行，要区别于在

同一直线上的线段的位置关系.

③共线向量与相等向量的关系：相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定是相等的向量.

5.用共线(平行)向量或相等向量刻画几何关系

(1)利用向量的模相等可以证明线段相等，利用向量相等可以证明线段平行且相等.

(2)利用向量共线可以证明直线与直线平行，但需说明向量所在的直线无公共点.

(3)利用向量可以判断图形的形状(如平行四边形、等腰三角形等)、证明多点共线等.

6.向量的加法运算

(1)向量加法的定义及两个重要法则

定义求两个向ft和的运算.叫做向量的加法.

前提已知非零向量明瓦在平面内任取•点儿

向量作法作前”.就=A,连接AC

加法结论向方证叫做。与b的和.记作a+6,即a+b=m+方寸

的三

角形

法则图形

AaR

前提已知两个不共线的向'0』,在平面内任取一点。.

向量

作法作涌=a.方力=A.以OA.OB为邻边作口。4。?.

加法

的平结论以0为起点的向量就就是向ta与b的和,即充u+瓦

行四

边形

法则图形

0aA

规定对广零向Id5任一向川我们规定o+0=0+o=a.

(2)多个向量相加

为了得到有限个向量的和，只需将这些向量依次首尾相接，那么以第一个向量的起点为起点，最后一

个向量的终点为终点的向量，就是这些向量的和，如图所示.

7.向量加法的运算律

⑴交换律：〃+%=力+〃；

(2)结合律：(a+力)+e=“+仅+c).

8.向量的减法运算

(1)相反向量

我们规定，与向量之长度相等，方向相反的向量，叫做之的相反向量，记作-7零向量的相反向量仍是

零问量.

(2)向量减法的定义：

向量々加上Z的相反向量，叫做：与力的差，即羡力1+(-右).求两个向量差的运算叫做向量的减法.

(3)向量减法的三角形法则

如图，已知向量。力，在平面内任取一点。，作Ofl=b,则〃,4=()，丽)=白”.即4-6可以

表示为从向量7的终点指向向量：的终点的向量，这是向量减法的几何意义.

9.向量的数乘运算

(1)向量的数乘的定义

一般地，我们规定实数2与向量；的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作入；,它的长度与

方向规定如下：

①|闷=|川向；

②当2>0时，2：的方向与；的方向相同；当2Vo时，的方向与Z的方向相反.

(2)向量的数乘的运算律

设2,”为实数，那么①2(〃。『屋〃)。；②(2+4)4=2。；③2(a+b)=Aa+Ab.

特别地，我们有(-2)〃=-(2。)=/(-〃)，k[a-b)=Xa-Xb.

(3)向量的线性运算

向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运第.对于任意向量7九以及任意实数，州,〃2,恒有2(4

-►>>>>-►

a±"2b)=义“I〃±2〃26.

10.向量共线定理

（1）向量共线定理

向量氤：四）与力共线的充要条件是：存在唯一一个实数2,使力

（2）向量共线定理的应用——求参

一般地，解决向量73共线求参问题，可用两个不共线向量（如G"）表示向量/加设力=/日押），化

成关于G七的方程。⑴e产-8（1）G，由于不共线，则J嬴=。解方程组即可.

*呼1交三

【题型1平面向量的基本概念】

【方法点拨】

根据向量的基本概念，进行求解即可.

[例1]（2022全国.高三专题练习）下列命题中正确的是（）

A.两个有共同起点且相等的向量，其终点必相同

B.两个有公共终点的向量，一定是共线向最

C.两个有共同起点且共线的向量，其终点必相同

D.若方与而是共线向量，则点A,B,C,。必在同一条直线上

【变式1-11（2022・全国•高三专题练习）下列说法错误的是（）

A.向量诙与向量比长度相等B.单位向量都相等

C.6的长度为0,且方向是任意的D.任一非零向量都可以平行移动

【变式1-2]（2022・全国•高一课时练习）有下列结论：

①表示两个相等向量的有向线段，若它们的起点相同，则终点也相同；

②若益工兀则五，B不是共线向量；

③若|荏|=|觉则四边形力BCD是平行四边形：

④若沅=n,n=k,则布=%；

⑤有向线段就是向量，向量就是有向线段.

其中，错误的个数是（）

A.2B.3C.4D.5

【变式1-3]（2022.河南.高一一阶段练习）下列结论正确的是（）

A.平行向量的方向都相同

B.零向量与任意向量都不平行

C.长度相等且共线的向量是相等向量

D.平面内任一非零向量都可以用两个不共线的向量表示

【题型2向量相等或共线】

【方法点拨】

判断两向量是否共线的关键是看两向量所在的直线是否平行或重合；判断两向量是否相等不仅要看两向量

所在的直线是否平行或重合，还要看两向量的模是否相等、方向是否相同.

【例2】（2022•全国•高三专题练习）下列命题正确的是（）

A.单位向量都相等B.任一向量与它的相反向量不相等

C.平行向量不一定是共线向量D.模为。的向量与任意向量共线

【变式2/X2022•河南♦高三阶段练习（文））已知A,8,C,D为平面上四点,则“向量而'II诙”是“直线力8||CD”

的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【变式2-2］（2022•内蒙古高一期末）给出下列命题：

①两个具有共同终点的向量，一定是共线向量；

②若4B,C,。是不共线的四点，则而=反是四边形4BCD为平行四边形的充要条件；

③若d与b同向，且|,|>间，则

④3"为实数，若必=），则五与E共线.

其中假命题的个数为（）

A.1B.2

C.3D.4

【变式2-3］（2022.全国•高三专题练习）下列命题中，正确的个数是（）

①单位向量都相等；②模相等的两个平行向量是相等向量；

③若41满足|团〉|瓦，且d与否同向,则d>b

④若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合；

⑤若41花石II3贝必|工

A.0个B.1个C.2个D.3个

【题型3平面向量的加、减运算的几何意义】

【方法点拨】

根据向量加减法的几何意义，将对应向量表示出来，结合具体条件，进行求解即可.

【例3】（2022.广东•高二期中）在空间四边形48CQ中，M,G分别是3C,CO的中点，则同-荏+前=

)

A.GMB.2MGC.3GMD.3MG

【变式3・1】（2022・山东烟台・高三期中）设P是△48。所在平面内一点，BP=3AP,则无=­：）

..q..♦

A.BC+-BAB.BC--BAC.BA+~~BCD.直-遂

【变式3-2］（2022・广东•高三学业考试）在四边形A8CQ中，给出下列四个结论，其中一定正确的是（）

A.AB+BC=CAB.AB-AD=BD

C.AB+AD=ACD.~BC+CD=BD

【变式3-3］（2022.山东.高三期中）在△/BC中，已知。为力8上一点，若荷二3而，则而二（）

A.-CA+-CBB.-CA+-CBC.3CA-'CBD.CA-3CB

4444

【题型4向量的线性运算】

【方法点拨】

向量的数乘运算类似于实数运算，遵循括号内的运算优先的原则，将相同的向量看作“同类项”进行合并,要

注意向量的数乘所得结果仍是向量，同时要在理解其几何意义的基础上，熟练运用运算律.

【例4】（2022・四川绵阳•一模（理））在A/BC中，点M为边A8上一点，2箱=丽，若3丽=/165+〃丽,

则〃=（）

A.3B.2C.1D.-1

【变式4-1］（2022.湖南.高三阶段练习）△ABC中，。为8c中点，设向量而=a,AC=b,AE=|FC,则尻=

)

A.—2a+bB.2d-bC.d-2bD.—o.+2b

【变式4-2］（2022♦山东•高二阶段练习）设五，3为不共线向量，AB=a+2b,BC=-4a-b,CD=-5a-3b,则下列

关系式中正确的是（）

A.AD=BCB.AD=2BCC.AD=-BCD.AD=-2BC

【变式4-3］（2022・河北•高三阶段练习）在△力8C中，满足而=?石？+工方，CE=-CA--BC,则（）

3344

A.屁=2丽B.DE=-AB

2

C.AD=^EBD.AE=^DB

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【题型5向量共线定理的应用】

【方法点拨】

向量共线的判定一般是用其判定定理，即二是一个非零向量，若存在唯一一个实数使得力=\1则向量

力与非零向量：共线.解题过程中，需要把两向量用共同的已知向量来表示，进而互相表示，由此判断共线.

【例5】（2（）23•广东•高三学业考试）已知向量五，万不共线，若说=a+2b,BC=-3a+7b,CD=4a-5b,

贝U（）

A.4,B,C三点共线B.A,B,。三点共线

C.A,C,。三点共线D.B,C,。三点共线

【变式5-1］（2022•重庆市高三阶段练习（理））在△4BC中，点尸为48的中点，荏=2沅,BE与。尸交于点P,

且满足丽=2而，则a的值为（）

A.-B.-C.-D.-

5743

【变式5・2】（2022.全国•高三专题陈习）已知0,48,C是平面上的4个定点，不共线，若点P满足而=

0A+A（A8+AC）,其中zlWR,则点P的轨迹一定经过△力8。的（）

A.重心B.外心C.内心D.垂心

【变式5・3】（2022•湖南长沙•高二阶段练习）已知向量五,b,且同=a+2b,BC=-5a+6b,CD=7a-2b,

则一定共线的三点是（）

A.A,B,DB.A,B,CC.B,C,DD.A,C,D

【题型6向量线性运算在三角形中的运用】

【方法点拨】

结合具体条件，利用向量的线性运算，进行转化求解即可.

【例6】（2022•山西太原♦高三期中）已知点O,P在△4BC所在平面内，满