拓展 柯西不等式 -2027高三数学拓展（含解析）

柯西不等式

L柯西不等式的二维形式：若abed都是实数，则/）卜2+/）之（4+加）2,当且仅当好="

时，等号成立.

2.柯西不等式的一般情形：⑷+慰+…+*斫+&+…+硝力地+生均+…+七”/，当且仅当

a=幼<=1,2,…时,等号成立.

3,柯西不等式的向量形式：当且仅当夕是零向量，或存在实数2,使。=印时，等号成

立.

4柯西不等式的三角形式:

⑴J(x-w『+(y-%『+-刍『+(为一%)22J(x-w『+(y-以『

\AB\=，Qi—g)2+(0一yj2

\BC\=xj(g—的)2+(加一%)2

\AC\=y(a：i-xs)2+(i/i-1/3)2

(2)\la2+b2+JcH>^(«-c)2+(Z?-J)2

\0A\=y/a2+b2

\OB\=y/c2+d2

\AB\=v(a—c)2+(6-J)2

5.反柯西不等式：（/—82）卜2-筋）工（液—"）2

1.已知正实数。，人满足a+8=1,则,+二的最小值为_________.

ab+\

2.已知3h2y+z=3,则/+y2>2z?的取最小值时，2为.

z

3.（多选）设正实数乂y满足二+2），=4,则以下说法正确的有（）

A.f+）,2的最小值为uB.4+4的最大值为“

C.x+V的最大值为4D.：+［的最小值为3+2及

4.已知x,y>0,x2+y>x3+y2,求产+丁的最大值.

I

5.（多选）若非零实数满足/+从=4,则下列结论一定成立的是（）

A.-+->lB.+b^2>/2C.ab<2D.3a+4〃K10

aba

6.已知4瓦c,deR.

⑴证明：（/一⑹卜2々2）«枇_〃『；

⑵已知x,ywR,f-4y2=1,求|Gx+2y|的最小值.

7.（多选）设实数a,b,c满足a+2〃+3c=4,a2+b2+c2=16,则（）

24

A.——<a<4B.-6<b<7

7

C.-y<c<yD.（5拒+6）权W8"12c

8.已知x,yw[O，l],求％Jl-y+yjl-%的最大值.

9.（1）若〃>0力>0,且丁;+71T=1,则a+2b的最小佰为______.

2a+bb+\

1Q

（2）已知正实数羽丫满足x+y=l,则=+r的最小值为________.

x丁

10.已知％yzcR,且满足2x+y+行z=2,求/+/+z?的最小值为.

II.已知正数满足〃+〃="+察，则a+WI勺最小值为________.

2a+l2b+\

12.求函数y=2,2x-1+J5-2%的取值范围.

13.求函数Z=x+2y+J9-F一4y2（工，y>0）的最大值.

14.若（x+l）2+（），-1尸=1,则3x+4y的最大值为____.

15.设x、y为正实数，且x+y=l.则冬;+上；•的最小值为____.

x+2y+1

16.设。，h,。为正数，且/+从+。2=1，则4（。+〃+C）的最大值为（）

A.直里B.丝C.@D.立

2222

2

拓展柯西不等式

L柯西不等式的二维形式：若都是实数，则(/+〃)(/+/)之(4+加尸，当且仅当好="

时，等号成立.

2.柯西不等式的一般情形:("+d+…+4)(#+股+…+嫡》(她+3?+…+。也了,当且仅当

q=坳(i=1,2,…时，等号成立.

3,柯西不等式的向量形式：当且仅当夕是零向量，或存在实数2,使。=印时，等号成

立.

4.柯西不等式的三角形式：

⑴J(X-々『+(y-必『+-刍『+(8一%)22-w『+()%一以『

[。(立3,如)

I<51=/⑶--2)2+(—一如)2

]/01工13cl=，(22—工3)2+(92—勿)2

A22

14cl=y/(Xi-x3)+(1/1-2/3)

I

(2)yJa2-^-b2+y/c?+d2>^(t/-c)2+(/?-J)2

A8(c,d)|OA|=y/a2+b2

A(a,b)^\^7t_______

/\OB\=^+d^

------------------A14"I=V(«—c)24-(6—J)2

5.反柯西不等式:(a2-b2)(c2-d2)<(ac-bd)2

1.已知正实数。，人满足a+8=1,则,+二的最小值为.

【答案】1/2.5

【难度】0.4

【知识点】条件等式求最值、柯西不等式求最值

【分析】将目标式转化为上14+-2,应用柯西不等式求1上+「4的取值范围，进而可得目标式的最小

a/7+1ab+\

值，注意等号成立条件.

【详解】由题设，a="b,则1+二=」+=^=」+±-2,

ab+ia0+1ab+1

I

又（a+"1）（L工）=[6.；+7^1•=9,

ab+\y]h+\

140〃+1

+当且仅当。=，•时等号成立，

ab+\22

当且仅当〃时等号成立.

ab+\2223

.」+二的最小值为全

〃〃+12

故答案为：

2.已知3x+2y+z=3,则f+产+2z?的取最小值时，2为.

z

【答案】|

【难度】0.15

【知识点】柯西不等式求最值、条件等式求最值

【分析】利用柯四不等式求出V+V+2z2的最小值，再根据等号成立的条件求出M）'，z,进而口」求出二

z

的值.

3=3.1+2），+74.+22+（专）

【详解】由柯西不等式得:

则JW+V+2Z2之日,贝1」/+）,2+2222|,

3x+2y+z=3

241

根据等号成立条件知321，解得]=彳，、二二Z=—

一二一=丁399

5丁2z

24

—x-0

所以至—4

z_L3

9

故答案为：g

3.（多选）设正实数乂尸满足i+2y=4,则以下说法正确的芍（）

A.Y+/的最小值为三B.五+J7的最大值为"

D.：+：的最小值为3+2拉

c.x+y的最大值为4

【答案】AB

【难度】0.65

2

【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值、柯西不等式求最值、条件等式求最值

【分析】对于A：利用消元法及配方法，即可得解；对于B：利用柯西不等式进行求解即可；对于C：

利用消元法即可解决：对于D：利用基本不等式中“1的妙用”即可解决.

[详解】对于A：vx=4-2y,/.x2+.y2=(4-2,y)2+/=5.v2-16y+16=5(.v-|)2+y»

所以当y=|,X=[时，V+y2取得最小值竺，故A正确；

对于B：(a2+b2)(c2+d2)-(ac+bd)2

=a2c2+42d2+62c2+护屋一〃*一2acbd-b2d2=a2d2-Zacbd+b2c2=(ad-be)2>0

即(ac+Z?d)2<(/+从)(1+/),

当且仅当=儿时.，等号成立，

2

所以(4+4)2=(IX4+qX肉)2<[1+(4)2][(4)2+(而)2J=6,

当且仅当月=乎五，即x==g时，等号成立，

所以4+4的最大值为布，故B正确；

对于C：门=4-2必3>0,.,.N+y=4-2y+y=4-y<4,故C错误;

对于D：-+-=-(x+2y)(-+-)=-(3+^+-)>-12yX、3+2>/2

xy4xy4xy4

当且仅当包=*,即x=4后-4,》=4-2及时，等号成立,

xy

所以1+'的最小值为土匚虫，故D错误.

x了4

故选：AB.

4.已知x,>>0,x2+y>x3+y2,求灯+丁的最大值.

【答案】2

【难度】0.65

【知识点】柯西不等式求最值、条件等式求最值

【分析】解法1：根据)，24/+)，-/可得f+y2<x+)，,再由/+)，2之；(工+),)2可得(+yw2即可求解

/+)/的最值；解法2：根据柯西不等式法可得F+),24X+],再根据

A2+.V2<x+l+x2-X3=-(X-1)2。+1)+2即口r求解/+.V2的最值.

3

【详解】解法i：由题意知x,y>o,r<x2+

所以Y+V<2x2+y-x3=x+y-x（x-l）2<x+y,

又因为3+9之；。+#2,

所以;（x+y）?W（x+y）,即x+”2,

所以『+y'&2.

解法2：柯西不等式法

322222

A+y<x+y=xx+y1<+yJx+1'

即J,d+y2wJx+1,+y2<x+\,

所以f+y26+1+/一/=/一］）20+］）+242.

5.（多选）若非零实数满足/+从=4,则下列结论一定成立的是（）

A.-+->1B.a+b^l/lC.ab<2D.3t/+4/?<10

ah

【答案】BCD

【难度】0.65

【知识点】用一般形式的柯西不等式证明不等式、由」知条件判断所给不等式是否正确

【分析】应用特殊值法判断A,由基本不等式判断B、C,应用柯西不等式判断D.

【详解】由〃=/,=-亚时，满足〃2+从=4,此时，+?<0<1,A错，

ab

由〃2+/=4之"也n（a+4K8,有a+b42丘,当且仅当〃=力=拒时取等号，B对，

rtlr/2+/>2=4>2abah<2当且仅当〃=/?=±\/^时取等号，C对，

由（3〃+4〃）七（32+42）（/+从）=］00,则34+4〃工10,当且仅当4〃=3/九即〃=时取等号，D

对.

6.已知。，仇c,deR.

⑴证明：,2_/）卜2mM（一加汽

⑵已知x,ywR,x2-4y2=1,求|Gx+2H的最小值.

【答案】（1）

4

由（万一/）卜2一/）一（W：-bd）2=-b2c2+2abed-a2d2=-（be-nd）2<0,

所以（/-6）卜2一〃2）工3」儿/）2,当且仅当儿=〃时取等号.

⑵立

【难度】0.85

【知识点】用柯西不等式求参数取值范围、柯西不等式证明

【分析】（I）根据题意，结合作差比较法，即可求解；

（2）由（1）得（国+2），）222,得至lj|Jir+2y卜亚，进而得到答案.

【详解】（I）略

⑵解:由（1）可得［/一（2），）*便『一（一1）24［岛一（一2），汗，所以（瓜+2），）2之2,即|瓜-2），上拉,

当且仅当2），・G=（T）・x时取等号，

又由卜;二2卡\,解.得％=_如正或.逅一走.

x--4y-=l2424

7.（多选）设实数a,b,c满足a+2〃+3c=4,/+〃+°2=16,则（）

?4

A.------<a<4B.-6<b<7

7

C.-y<c<yD.（5x/2+6）Z?c<8Z?+12c

【答案】AD

【难度】0.4

【知识点】用柯西不等式求参数取值范围

【解析】结合柯西不等式（/+3（，+/）“好+”『依次代换即可求解a,。，范围，对D,代换°得关

于b.C的表达式，再利用重要不等式即可求解

【详解】对A,力+3c=4-a,b2+?=16-«2,则（2?+3?）9?+可“2。+34，

即13（16-/）之（4-解得—故A正确；

对B,a+3c=4-23/+/=16-从，（l2+32）（a2+c2）^（fl+3c）2,即1006-"）“4一2》『，解得

4-2x/130,，^4+2x/l30.n*日

--——<b<——-——,故B错误；

对C,4-3c=a+2bA6-c2=a2+b2,则+2）苏+从”（“+2〃『，即5（16-/）之（4-女f,

5

6-2而

解得故C错误;

-7-

对D,由/+从+/=]6判断，a<4t则28+3cN0,即b,C不能同时为负,

若b“一正一负，则卜上+6)仪YOW4(2"3c)；

2

若b,c>0,2/?+3c=4-«,b'+c^=\6-aJ4+fl=8—(2/?+3c).

又16—a?=(4十〃)(4-〃)=[8-(2A+3c)](2b+3c),化简得8(2"+3c)=5必+|Oc2+121)c,

BP8/;+12c=1(5Z>2+10c:+121)c)>1(2x/50Z>c+12bc),化简得(5及+6)bcW汕+12c,故D正确.

故选：AD

8.已知x,ye[0,1],求xjl-y+yJl-x的最大值.

【答案】最大值为1

【难度】0.15

【知识点】柯西不等式求最值、已知两角的正、余弦，求和、差角的正弦、求含sinx(型)函数的值域和

最值

【分析】方法一：应用三角换元法，再结合三角函数值域及两角和正弦公式得出最大值：方法二：应用

柯西不等式计算求解.

JT

【详解】法—：(三角换元)令y=cos%,x=cos2^,(a,Be0,—),

xj-y+yyJ\-x=cos2/?sin«+cos2«sin/?

<cosQsina+cosarsin/?

=sin(a+/?)<1,

当且仅当a=0,或者/=0,时等号成立，故最大值为1.

法二：(柯西不等式)

x/^y+yy/T^<^(\-y+y2)(\-x+x2)<1,

当且仅当x=0,y=1或4=1,)，=()时等号成立.

A-y/l-y+y\l\-x的最大值为1.

9.(1)若。〉0/>0,且:71T+」=1,贝1]。+2〃的最小值为_______.

2a+bb+\

6

1Q

（2）已知正实数x，），满足x+y=l,则r+二的最小值为.

【答案】28+127

2

【难度】0.65

【知识点】柯西不等式求最值

【分析】（I）（2）根据给定条件，利用权方和不等式求出最小值.

【详解】二元形式的权方和不等式：已知x,y,外力eR+，则有：，2之及上®（当且仅当x：y=/：6

xyx+y

时取等号）;

“用（》产

一般形式的权方和不等式：设册2eR+（ieN）,实数巾＞0,则£出产——（当且仅当

-6（为尸

1=1

,比=…4时取等号）•

，+二，+」之。+可

⑴a>0,b>0,,贝l]2a+4b+3N(l+6「,

2a+bb+\2a+b3(/?+1)2a+4/»+3

1二6

因此〃+2心迫11,当且仅当2a+b3(b+l),即〃=q_[力=立时取等号,

211323

-----4-----=I

2a+bb+\

所以。+2〃的最小值为迈F.

2

\__2

_L+W>91=27,当且仅当71?

（2）乂）是正实数,x2Vf),2-*+»即x=5，y=§时取等号，

x+y=1

8

所以下+二的最小值为27.

xy

故答案为：迪里；27

2

10.已知x,y,z£R,且满足2x+y+Gz=2,求/+)'+z?的最小值为.

【答案】”

【难度】0.4

【知识点】柯西不等式求最值

【分析】结合题意并利用柯西不等式求解即可.

7

【详解】由题意得2x+y+石z=2xx+lxy+>/5xz=2,

则由柯西不等式得(V+V+Z2)X[22+12+(石丹>(2x4-y+底>=22=4,

2

可得(Y+y2+z2)xlOZ4,解得d+y'+z'N-,

5

当且仅当3=丁=4时取等，此时X=2,),=LZ=@,

2V55,55

2

可得/十的最小值为1.

2

故答案为：j

11.已知正数满足4+八誓7+竺】，则。十七的最小值为________.

2。+12b+\

【答案】近

【难度】0.65

【知识点】用柯西不等式求参数取值范围

11

【分析1根据分离常量法可得〃+〃=]+3结合权方和不等式计算可得5+〃-1)(〃+方+1)之1,即

功+i

(a+b)2>2,即可求解.

【详解】〃>0*>0,

-(2fl+l)+-i(2Z>+!)+-!-

,4+1b+\

a+h=-------+--------22।221+---+--—

2a+12/?+12a+12b+i2a+I2b+1

1i超+/

所以79I22II

a+b-\=--—+--->---------=------

2。+12b+\2a+\+2b+\a+b+\

当且仅当2=2即。—初寸等号成立,

2«+1-2b+\

所以(a+b-IXa+b+lAl,得(a+H22.

所以a+&或“+拉(舍去)，

即。+人的最小值为

故答案为：鼻

12.求函数y=2g-1+J5-2=的取值范围.

【答案】[2,275]

8

【难度】0.65

【知识点】柯西不等式求最值、由导数求函数的最值（不含参）、复杂（根式型、分式型等）函数的值

域

【分析】先求出定义域，由柯西不等式得到27^7=T+X/TWW2石，求导得到函数单调性，从而求出

）=2J2%一1+，5-2工的最小值为2,得到答案.

【详解】由题意得Ed解得上上力，

[3-Zx2U22

由柯西不等式得（2?+尸）（岳二T+J5-2/）>（2V2X-1+75-2x）2,

即（2J2x-1+J5-2x5x4=20,所以2四-1+j5-2x42后,

当且仅当/=：=下』，即户孺时取等号，

x/2x-ix/5-2x10

/=21_2V5-2x-V2x-l

\j2x-I-2,，2x-1J5-2x

,_________21

令）/=。得2j5-2x=J12x-1,即x=正，

当八。得T流〉当y得t蓄）

,_________（IC15、

所以），=2>/1二T+xk/T右在xeK，a上单调递增，在xe示,不上单调递减，

且当X=封，y=，5-1=2>当工=:时，y=2xV5-1=4,

所以y=2>/2x-l+\/5-2x的最小值为2,

所以y=27^7=T+x/TW的取值范围为[2,26].

13.求函数Z=x+2y+版-/一4声（x,y>0）的最大值.

【答案】3百

【难度】0.65

【知识点】柯西不等式、柯西不等式求最值

【分析】根据柯西不等式求解即可.

【详解】根据柯西不等式得

9

2222222222

1+2.y+加-—一厅)<x+4y+^9-x-4y)(l+1+l)=3x+4y+(^9-x-4y

22

即Z=A-+2y+79-A-4/W6.+4),2+^9_v2_4y2j=3n,

当％=正，)，=暂时等号成立，

所以函数Z=x+2y+79-x2-4y2(X31>0)的最大值为3G.

14.若"+1)'+()，-1)'=1,则以十4)，的最大值为.

【答案】6

【难度】0.85

【知识点】柯西不等式求最值

【分析】由柯西不等式即可得到答案.

【详解】3x+4y=[3(x+l)+4(y-l)]+l<732+42-^(^+1)2+|>-1)2+1=6»

_2

3(v-l)=4(x+l)>0x=-7

当且仅当\2,J，即0时取

口+])+(),_])=19

I5

所以3x+4y的最大值为6.

故答案为：6

22

15.设X、y为正实数，且x+y=l.则高r下+WV