思维提升 培优点13 泰勒展开式与超越不等式-2026年高考数学二轮复习

培优点13泰勒展开式与超越不等式

［考情分析］随着高考的改革，压轴小题、解答题越来越巧妙，泰勒展开式与超越不等式在比较大小、证

明不等式中能起到简化，甚至“秒杀”的作用.

1.泰勒公式

如果函数/(X)在含有X0的某个开区间(4,份内具有直到(〃+1)阶的导数，则对b),

有Noy*。)华2(卜皿)吗咨(丫_4)2_・・.当用AXO)〃+/?“(X),

其中产(XO)表示/⑴在X=X0处的〃阶导数，等号后的多项式称为函数/⑴在尸出处的〃阶泰勒展开式.

2.麦克劳林公式

危)40)的号Z2+…42/+RG),

虽然麦克劳林公式是泰勒公式的特殊形式，仅仅是取xo=O的特殊结果，由于爰克劳林公式使用方便，在高

考中经常会涉及.

3.常见函数的麦克劳林展开式(。(『)是高阶无穷小量)

(1)^=I+x+：+,,,+：+o(x")；

2!n!

Y

-3丫5y2n—1

⑵sinc/L-…+(・1产)；

J!75!r(Zn—1)：

y2y4y6丫2rt

(3)COSX=1-----・・•+(-1)"-----------------^4-O(X2M)；

2!4!6!(2n)!

(4)ln(l+x)=x^^…+(公)"少o(x"),x€(-l,1］；

(5口=1+x+/+・•・+炉+。(炉)；

(6)(1+x)"=］+公+©71)/+…-a("T)••・(”-"+1)K+o(F),G(-1,1).

2!n!X

4.两个超越不等式(注意解答题需先证明后使用)

⑴对数型超越放缩：?WlnxWx-lQ>0)；

(2)指数型超越放缩：占XVI).

考点一I:徽大小

例1(1)(2022・新高考全国I卷)设a=O.le。/，bfc=-ln0.9,贝ij()

A..a<b<cB.c<b<a

C.c<a<bD.a<c<b

答案C

解析方法一(泰勒公式法)

b春0.111,

由cv=1+x+,•+：+o(.d),

2!n!

n12

可得c°」R+O.l瑶QI.105,

Ma=0.leol~0.1105,

c=-ln0.9=ln^=ln(l+J

由ln(l+x)=x『9…+(-1)'*介。3')，

得c=In(l+泥$0.1049,

所以c<a<b.

方法二(放缩法)

因为x+lvey占(0QS1),

所以1.1<c°'<—^--=>0.11<a=0.1c0J<0.lX即a<b.

1—0.11—0.19

因为Inx<1(x-：)(x>1)，

所以<?=-ln0.9=1n-^<|X揩—4)-[M<0.1]<a,即c<a.

综上所述，cy〃v6.

方法三(构造函数法)

假设a<b成立，即O.leo,<|<=>O.9eo,<l<=>ln0.9+0.1<0,

令尸0.9,则等价于证明lnx+(l・x)<0,即证明易知，当0<x<l时，lnx<x-l,即原式,得证，故

a<b成立；

假设"c成立，即O.leol<-ln0.9<=>0.1eol+ln0.9<0,

令x=0.1,则等价于证明xe叶ln(l-x)〈0,工£(0,1),

设g(A)=xev+ln(1-X)(0<A<1),

2x

则gOM+lwlp(r-l)e4-l

X—1x-1

令//(A)=ev(x2-1)+1(0<x<1),h,(x)=ev(x2+2r-1),

当(Kg夜-1时，//(x)<0,函数力⑴单调递减，

当衣-ivxvl时，〃Q)>0,函数人(x)单调递增,

又力(0)=0,所以当0<4〈鱼-1时，/i(x)<o,

所以当0<丫<我-1时，g«)>0,函数g(x)单调递增，

又0.1£(0,V2-1),所以g(0.1)>g(0),即。le01+ln0.9>0,所以假设a〈c不成立,即

综上所述，cvqvb.

[991ni

(2)已知。=而，/,=e-ioo,c=ln—,则a,b,c的大小关系为()

A..a<b<cB.a<c<b

C.c<a<bD.b<a<c

答案C

解析先用导数证明这两个重要的不等式.

①廿2x+l,当且仅当x=0时取.

设尸e、(x+l),严e'・l,

当xC(-8,0)时，y〈o,函数单调递减，当x£(o,+8)时，户0,函数单调递增，

故当尸0时，函数取得最小值0,即%(.叶1)20,

故eVx+1,当且仅当k0时取“=”；

②InxWx-l,当且仅当x=l时取“=”.

设尸Inx-(x-l)(x>0),y~1,

当x£(0,1)时，j，>0,函数单调递增，当x£(l,+8)时，NO,函数单调递减，

故当x=l时，函数取得最大值0,即lnx・(x/)W0,

故InxWx-l,当且仅当尸1时取“=”，

99QQ1

故即"”

In需器1喘，即…，

故c<a<b.

［规律方法］涉及比较大小的问题，如果其中同时含有指数式、对数式和多项式，可考虑利用泰勒展开式

解决问题，特别注意结合赋值法，还可利用如下超越不等式或其变形公式解决问题.

V—11

—^lnx^x-l(x>0),x+1WeW启(x<l).

跟踪演练1⑴已知a=e°%6=1.012,c=ln2.02,则()

A..a>b>cB.b>a>c

C.a>c>bD.b>c>a

答案A

解析因为e"=1+x+j：+j：+二+…,

2!3!4!

所以e002=1+0.02+0?笆3+…nl^L1.0202,

26+002+L

/?=1.012=1.0201,c=ln2.02<l,

所以a>b>c.

(2)已知4=36=cos：,t=4sinp则()

J4•J

A.c>b>a

C.a>b>cD.a>c>h

答案A

解析方法一(泰勒展开式)

31.0.252

设尸0.25,贝《。一32-1-2，

.1.0.252,「0.254

%=cos宁1一：一'

424!’

..1sin1o.2S2,0.254

IsmEWWTT,

4

又竽等胃等，所以介A4.

方法二(构造函数法)

因为当x£(o,9时,x<tanx,

故94tan：>4X1=l,故1,所以c>b；

h44b

设y(x)=cosx+^M,xG(O,+0°),

/(x)=-sinx+x,/Q0=l-cosx20,所以八x)单调递增，所以/<x)>0,所以/(x)在(0,+8)上单课递增，

故/G)yo)=o，

所以cos^-^1>0,

所以b>a,所以c>b>a.

方法三(不等式放缩法)

7=4tanp

b4

因为当x£(0,5)时，sinx<r<tanx,

所以tan^>^,

即b所以06；

因为当x£(0,1时,sinx^v,取尸!得cos%l-2si吗>1-2X(、)考，故b>a,所以c>b>a.

\Z/o4o\o/6，

考点二证明不等式

例2英国数学家泰勒发现的泰勒公式有如下特殊形式：当/(、)在x=0处的〃(〃巳N")阶导数都存在时,

/(x)=A0)t/'(0)x+q%2吗吗3+…上等X”+…其中，/"(x)表示/(X)的2阶导数，即八X)的导数，

7r")(x)(〃23)表示人幻的〃阶导数，该公式也称为麦克劳林公式.

(1)写出/(幻哈的泰勒展开式(只需写出前4项)；

(2)根据泰勒公式估算s*的值(精确到0.01)：

J1

(3)证明：当x20时，ev—sinx-cosx20.

⑴解,危)*，戊尸占，尸⑴吊F/"(x尸清产

XO)=f(O)=l,八0)=2,/)(0)=6,

所以/(x)-二一।+x+f+、"….

(2)解因为(sinx)，=cosx,(cosx),=-sinx,

(-sinA)--COSx,(-cosx)-sinx,

y3ySY7

所以sinx=x----1—1-

3!5!7!

故点导!一白…吟才04&

(3)证明方法一由泰勒展开式e，=l+x+：+，卜…告

2!3：n!

易知当工20时，C'^l+X4y,

2//.

所以e'-x--sinx-cosx21+x+----sinx-cosx=1+x-sinx-cosxNx-sinx,

令gW=x-sinx,

则g«)=l-cosx20,所以我¥)在［0,+8)上单调递增,

故gW2g(0)=0，即x-sinx20,

艮P证得ev-y-sinx-cosx)0.

、_X2

方法二令G(x)=ev---sinx-cosx,

G,(x)=ev-x-cosx+sinx=e'-Y-\^2cos^x+)

易知当xw［0,F)时，尸e、x,尸-&cos(x+：)均单调递增,

所以G(x)=e'*夜cosG+9在［0,专上单调递增，

所以G(x)2G<0)=0,

所以当xe［o,引时，G(x)单调递增,

所以G(x)2G(0尸0,

当工£与，+s)时，

2J

G(x)=er-rsinx-cosx>cv-2,

令F(x)=ev-2,贝《F,(x)=ev-x>0,

则F(x)=e—2在R上单调递增，

又2空，所以当工£件，+8)时，

F(x)=ev-y-2^F(^)>F(2)=e2-4>0,

即当工£洋,+8)时，G(x)>0,

综上，当x20时，G(x)20,即原不等式得证.

［规律方法］在证明不等式或根据不等式求参数的范围时，要仔细观察，如果发现其中含有超越不等式，

需证明后再用来解决问题.如果证明的不等式与sinx,cosx,ln(l+x)等有关，可以利用泰勒展开式进行

放缩.

跟踪演练2已知函数/(x)=ln(x-1)火x-1)+1.

⑴求函数府)的单调区间;

⑵证明：…事陪〃仁N'心1).

(1)解因为/U)=ln(x-1)-〃(》-1)+1,

所以义x)的定义域为(1,+8),f(x)=-k.

若左WO,则八x)>0,於)为增函数;

若矽，则八的匕产卜一勺】)]

当l<v<i+l时，/(x)>0,")在(1，£+1)上单调递增；

当时，/(x)vo,/(x)在(}+L+8)上单调递减.

综上，当ZWO时，火幻的单调递增区间为(1,+8),无单调递减区间；

当公>0时，火外的单调递增区间为(1,1+1),单调递减区间为(：+1,+8).

(2)证明当代1时，由(1)可知{x)的单调递增区间为(1,2),单调递减区间为(2,+oo),

所以尸0在(1,+8)上恒成立，

且/(X)在(2,+8)上单调递减，

即ln(x-l)<x-l-l在(2,+8)上恒成立.

令x-\=n2,则Inn2<n2-1,

即21nn<(n-1)(//+1),

所以詈苧〃GN*且〃>1),

所以吧+皿+㈣+……

71345n+122224

即竽竽孕…心1)成立.

JQDR十1*T

专题强化练

［分值：50分］

单选题每小题5分，共20分

1.设b=l吟,c=cos1,则（）

A.a<b<cB.b<c<a

C.c<b<tiD.c<a<b

答案A

y23n+l

解析4=0.2,由ln（l+x）=A>Kr>…+（-1）右r大）（炉与，

i5n+1

得〃=14ln（l+§

*粤埠201Aa,

由/得c=cos9cos^=1=0.5>b,

/.a<b<c.

2.已知a=sin：,/产c=L则（）

33Tx

A..c<b<aB.a<b<c

C.a<c<bD.c<a<b

答案D

.r3rSy2n-1

解析由sinx=x-4-----+(-|)H-'-——H-^X271-1),

□：□!(4H-1J：

可得C.Fvsinx<x(.r>0),

所以Sigw(瑞，I),所以中6,

而等3.06<3』4<兀，

所以髭，

即s吟吟所以c<a，故c<a<b.

3.已知o=e°」-e*°J,Z)=ln1.21,c=0.2»贝1j()

A.b<a<cB.c<b<a

C.a<c<bD.b<c<a

答案D

解析设火力巧9办,

则八x)=e'+e-J220,从而儿丫)在R上单调递增，

贝(犬0.1)=*%。」-0.2》0)=0,即a>ct

设g(A)=2v-2ln(l+x),x>0,

则g'(x尸2*=^>0,g(x)在(0,+8)上单调递增，

则g(0.0=0.2-21n1.1=0.2-ln1.21>g(0)=0,即c>bt所以b<c<a.

4.已知a=ln1.01,反黑，〈磊，则()

K.a<b<cB.a<c〈b

C.c<b<aD.c<a<b

答案D

解析由4“知

1.01-11

In1.01>

1.01ioT

In1.01<1,01-l=0.01=^,

30e30x390100100’

:.b>Q,故6>a>c.

5.(13分)已知函数儿■尸必吴5_],g(x尸cos旧vM.

⑴若4=1,求证：当x20时，/(%)20；(5分)

(2)若/(x)+g(x)20在[0,+8)上恒成立，求a的取值范围.(8分)

⑴证明当。=1时，.危尸^*2_工_],

•・”20,・・・，。)20,

...八用在［0,+8)上单调递增，.•・/】>)五八o尸o,

・\/(外在［0,+8)上单调递增，・,・火力2/(0尸0.

(2)解令/7(x)=/(x)+g(x),

贝h(x)=(ex—1x2—ax-l)+(cosx+|x2-l^=ev+cosx-ax-2.

•・・〃(x)20在［0,+8)上恒成立，

即/心尸e'+cosx-ax-220,即e'+cosx-22ax恒成立，

当尸0时，0)0,贝iJaWR,

当x>0时，aW------------,

X

由泰勒公式知，

当X>0时，0r>1+x+^-,cosx>1

4・4・

/.e^+cosx>1+x+'+1>2+x,

2;

.ex4-cosx-22+x-2..,

*——・・*1.

・・・。的取值范围为(-8,1].

6.(17分)(2025•哈尔滨模拟)在高等数学中，我们将产/⑺在尸枇处及其附近用一个多项式函数近似表示，

具体形式为xo)tf(xo)(x-xo)妗R(X-XO)2+・••+”；，。)(工-工0)"+…，其中/")(')(〃13)表示/(X)的〃次导数，以

上公式我if]称为函数/(x)在x=xo处的泰勒展开式.例如sinx在x=0处的泰勒展开式为sin-工-二-/十二一9.

0•3•

/_i\n-l

...।、')丫2"-［+…

(2n-l)!,

⑴分别求COSX和C*在X=0处的泰勒展开式；(5分)

(2)若上述泰勒展开式中的X可以推广至复数域，试证明：加+1=0(其中i为虚数单位)；(5分)

(3)当x£(0,|)时，求证：esin»x+l.(7分)(参考数据：In*0.9)

(1)解因