2026年高考数学一轮练习：平面向量的数量积（附答案）

§5.3平面向量的数量积

分值：100分

I。知识过关

一、单项选择题（每小题5分，共30分）

1.（2024.葫芦岛模拟）已知向量a,b满足同=1,ab=-\,则。•（，》）的值为（）

A.4B.3C.2D.0

2.（2025•西安模拟）平面向量。与b的夹角为120。，同=2,步|=3,则依2例等于（）

A.28B.52C.2V7D.2713

3.长江流域内某地南北两岸平行，已知游船在静水中的航行速度V）的大小|m二1（）km/h,水流的速度y2的大

小Ml=6km/h,如图，设修和也所成的角为。（0<*兀），若游船从A航行到正北方向上位于北岸的码头8处,

则co$e等于（）

河流两岸示意图

4（2025・鞍山模拟）已知非零向量a,b满足同=2步向量。在向量力上的投影向量是疯儿则。与》夹角的

余弦值为（）

A.西B.匹C.立D.2

3623

5.（2024.呼伦贝尔模拟）在中，ABLAC,CD=（V2-\）BC,尼•而=6&,则AC等于（）

A.V6B.6C.2百D.3V2

6.在△48C中，设|前F-I通占2宿.（元-而），那么动点M的轨迹必通过△人〃。的（）

A.垂心B.内心C.重心D.外心

二、多项选择题（每小题6分，共12分）

7.下列关于向量a,b,。的运算，一定成立的是（）

A..（a+b）c=ac+bc

B.（ab）c=a（bc）

C.ab^\a\\b\

D.\a-b\^\a\+\b\

8.已知向量。=（-2,1）,6=（1,/）,则下列说法正确的是（）

A.若。〃从则/的值为-2

B.M+M的最小值为1

C若|。+目也询,则£的值为2

D.若。与。的夹角为钝角，贝心的取值范围是（一8,-|）U（-1,2）

三、填空题（每小题5分，共10分）

9.（2024•西安模拟）已知单位向量ei_Le2，向量。二M「2e2,b=2e\+e2f若a~Lb,则实数%=.

10.（2025•汕头模拟）已知△A8C外接圆的半径为1,圆心为O,且满足4沆=2而-3而，则ccsN

AOB=,ABOA=.

四、解答题（共26分）

11.（12分）如图，在等腰梯形ABC。中，AB//CD,\AB\=2\DC\=2,/84£胃，E是8C边的点.

（1）试用而，彳方表示荏，BC；（6；））

⑵求明.荏的值.（6分）

12.（14分）如图，在直角梯形48CQ中，AD//BC,ABLBC,AE=/AD,BC=2AB=2AD=2.

（I）若诟_L前，求实数7的值；（7分）

（2）若；=|,求刀与丽的夹角0的余弦值.（7分）

10能力拓展

13,14题每小题6分，15,16题每小题5分，共22分

13.（多选）（2024.广州模拟）已知向量m方不共线，向量。+方平分。与方的夹角，则下列结论一定正确的是

（）

A..ab=0B.（a+〃）JL（ad）

C.向曼”，力在a+b上的投影向量相等D.\a+b\=\a-h\

14.（多选）已知向量a=（V5,I）,b=（cos0,sin。），则下列说法正确的是（）

A.存在6£（0,^）,使得

B.存在夕£（0,J）,使得“〃力

C.对亍任意9£（0,2]

D.对于任意9£（0,习，\a-b\^[1,V3）

15.（2024・抚州模拟）定义:|aX例也曲sin。，其中。为向量a与》的夹角，若同=2,|*5,。山二・8,则

\aXh[=,

16.如窗，已知正六边形A8COE/的边长为1,点M满足宿带（而十而），则|宿卜若点P

是线段EC上的动点（包括端点），则丽•前的最小值是.

答案精析

l.C2.D3.B4.C

5.A|由ABLAC,得布格0,

由而二前-前二(a-1)前,

得品二仇前.

由前而二宿超丽)

=ACBD

=VZACBC=V2AC(AC-AB)

=V2|I?|2=6V2,

所以而二遍,即AC=V6.]

6.D[设线段8c的中点为。，

贝IJ南+痔2而，

因为|近|2-|而r=2奇•(冠-而),所以(元+荏).(元-而)=2而7.前，

即2ADBC=2AM-BC,

WBC(AM-AD)=O,

当丽二而时，点M和点。重合；

当而#通时,前•两二0.

即DMLBC,

所以DM垂直且平分线段BC,

因此动点M的轨迹是8c的垂直平分线，必通过△A8C的外心」

7.ACD[根据数量积的分配律可知A正确；

B中,左边为c的共线向量，右边为。的共线向量，故B不正确；

C中,根据数量积的定义可知a-h=\a\\b\cos(a,b)近|。|步|,故C正确；

D中，依济・(向+网)2=2。•尻2|a||b|W0,故|a/|2W(|a|+|b|)2,即依例0〃|+网，故D正确.]

8.BCD[选项A,a〃bQ-2/=l.lor=B,A选项错误；

选项B,\a+h\=\(-\,f+l)|=J(£+1)2+121,当且仅当/=-1时取等号，B选项正确；

选项C,方法一\a-b\=\(-3,l-z)|=/(-t+I)2+9,根据J(T+1)2+9=J(t++1，解得片2,C选项

正确；

方法二因为|〃+川二|〃-力|,则ab=0,所以ab=-2+t=0,解得t=2,C选项正确；

选项D,。与〃的夹角为钝角，则a仍=f-2<0,且两个向量不能反向共线，注意到A选项，当仁尚时，a=-2b,

于是;<2且,D选项正确.]

9.1

解析由4元=2瓦5-3赤两边平方得

\6OC2=4OA2+9OB2+\2OAOB,

依题意,16=4+9+12cosNAO8,

cos/A08=-,

所以4

AB^=(OB-^)^=^OA-OA2=cosZAOB-\=-^.

11.解⑴格而+况

=AD^AB,

2

AE=^(AB+AC)

《脚+而+途)

=-AS+-AD,

42'

BC=AC-AB=AD-^-AB-AB

2

=AD--AB.

2

(2)由题意可知,\AD\

1

-

*1函-国I)2

=--

1

n-

CDS-2

DB=AB-AD,

所以丽荏二（彳及砌•（河+海）

=^\AB\2-^\AD\2-^ABAD

=-\AB\2--|^D|2-W||A5|*COS-=-X4--X1--X2X1X-=".

424342424

12.解（1）分别以耳？，瓦5的方向为X轴、y轴的正方向，点8为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标

系，

所以A(0,1),C(2,0),D(1,1),E(2,1),

所以就二(2,-1),而二口，1),

因为屁，前,

所以而•彳？=22-1=0,

所以鸟

⑵当a芸时，|公|="22+12=而,I函=7^7!=孚,

因为丽•尼=211],

所K以hJCOS0n==B-E=A-C=-=2J—=—x/65.

\BE\\AC\65

I3.BC[如图，作向量65=a,OB=b,在口OACB中,OC=a+b,BA=a-b,

:二:

由向量。+〃平分。与〃的夹角，得rOACB是菱形，即⑷=|夙

对于A,。与力不一定垂直，A错误；

对于B,(a+b>(a-5)=，苏=(),即(a+A)_L(a/)，B正确；

对于C,。在。+方上的投影向量为也要(〃+》)邛笔(〃+力"在a+b上的投影向量为

a+op|a+o|z

b(_a+b).,bz+ab.,,.a2+ab.,.八-r论

^^m+力尸即尸母Q+"f)'c正确；

对于D,由选项A知，。仍不一定为0,则M+臼与|用"不一定相等，D错误」

14.BCD

[对于A,ab=y/3cos〃+sin42sin(。+§,若aLb,贝U2sin(。+g)=°，因为〃£(0，1),此时0无解，故

A错误；

对于B,若a//b，则V5sin0-cos0=0,

即tan,

因为姓(O%所以片，故B正确；

对于C,"力=2sin(8+§,

因为0£(0,力所以火衿碧，引，

则sin(6+K，1],

所以a6=2sin(e+?)£(l,2]，故C正确；

对于D,[a-例=](遥—cos0)2+(1—s