2025-2026学年河北省邢台市部分校高一下学期联合测评数学试题-含解析

/数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.八棱台共有（）A.8条棱 B.16条棱 C.20条棱 D.24条棱2.复数在复平面内对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限3.下列判断错误的是（）A.经过两条相交直线，有且只有一个平面B.经过两条平行直线，有且只有一个平面C.垂直同一个平面的两条不同的直线一定平行D.垂直同一个平面的两个不同的平面一定平行4.在△ABC中，点在边上，．记，，则（）A. B. C. D.5.在△ABC中，，，，其中.以边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体记为几何体，以边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体记为几何体，则几何体与的体积的比值的取值范围是（）A. B.C. D.6.如图，在平面四边形中，，，，将△ABC沿边翻折，使点到达点的位置，且平面平面，则的长度为（）A. B.6 C.5 D.7.已知正方体ABCD−A1B1C1D1A. B.C. D.8.在四面体中，平面，，，，，O为平面内一点，且，则与平面所成角的正切值为（）A. B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.若，则（）A. B.C.的虚部为 D.为纯虚数10.如图，用斜二测画法得到四边形OABC的直观图是平行四边形O′A′B′A. B.C.OC⋅OA=−4 11.已知正方形的边长为，平面，平面，，在平面的同一侧，且，则（）A.点不在四棱锥外接球的球面上B.四棱锥内切球的表面积为C.四棱锥与四棱锥公共部分的体积为D.几何体的五个面所在平面将空间分成21个部分三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知某圆台的母线长为13，上、下底面圆的直径分别为2，12，则该圆台的高为___________.13.在正四棱柱中，E为棱的中点，则异面直线CE与所成角的余弦值为___________.14.定义：多面体顶点的曲率等于与该顶点处多面体面角之和的差（面角采用弧度制计量）.例如：正方体每个顶点均有3个面角，每个面角均为，则其各个顶点的曲率均为2π−3×π2=π2.在三棱锥中，底面，，，SA=6，∠BSC=π6四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.如图，正方形是圆柱的一个轴截面，E是下底面圆周上异于A，的点.（1）证明：；（2）若该圆柱的表面积为，以正方形为一个底面作正四棱台，该正四棱台的高为3，且，求该正四棱台的体积.16.已知向量，.（1）当时，证明：，；（2）当时，证明：为定值.（3）当时，若a与b的夹角为锐角，求y的取值范围.17.在△ABC中，，AB=2，sin∠ABC∶sin∠ACB=5∶2，平分，且（1）求的长；（2）若E为AC边上一点，且AE=3218.如图，在四棱锥中，底面是菱形，，，，且.（1）证明：平面；（2）求PA与平面所成角的大小；（3）设球O为三棱锥P−ACD的外接球，M为球O球面上的动点，求线段19.在正三棱柱中，，点在线段上，且，E是棱的中点.（1）证明：CE//平面；（2）证明：平面平面；（3）设二面角的大小为，证明：.

数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.八棱台共有（）A.8条棱 B.16条棱 C.20条棱 D.24条棱答案：D解析：解答过程：由图得，八棱台共有条棱．2.复数在复平面内对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限答案：A解析：解答过程：由，在复平面内对应的点为，位于第一象限.3.下列判断错误的是（）A.经过两条相交直线，有且只有一个平面B.经过两条平行直线，有且只有一个平面C.垂直同一个平面的两条不同的直线一定平行D.垂直同一个平面的两个不同的平面一定平行答案：D解析：思路：由平行与垂直的判定和性质判断即可.解答过程：A，B，C均正确，垂直同一个平面的两个平面可能平行，也可能相交，故D错误.4.在△ABC中，点在边上，．记，，则（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：利用平面向量的线性运算法则，结合线段的比例关系，将用BA和BC表示后整理求解即可.解答过程：点在边上，，可得.所以，即，所以.5.在△ABC中，，，，其中.以边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体记为几何体，以BC边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体记为几何体，则几何体与的体积的比值的取值范围是（）A. B.C. D.答案：B解析：思路：通过圆锥体积公式分别求解体积即可.解答过程：设几何体与的体积分别为，，则，因为，所以，故的取值范围是.6.如图，在平面四边形中，，，，将△ABC沿边翻折，使点B到达点的位置，且平面平面，则的长度为（）A. B.6 C.5 D.答案：C解析：思路：折叠问题抓住折叠过程中的不变量解题，利用面面垂直的性质，得到直角三角形由勾股定理求解的长.解答过程：取的中点O，连接.因为，所以.由已知，.所以△ABC为直角三角形.所以，又因为，所以.因为平面平面，平面平面，，所以平面.又平面，所以.则.7.已知正方体ABCD−A1B1C1D1A. B.C. D.答案：A解析：思路：先根据平面的性质确定截面的形状，再求其面积.解答过程：如图，取棱DC上更靠近的三等分点，连接PQ，.因为，，所以平面截正方体的截面为平行四边形.而BC⊥平面，则平面，又平面，则，则该平行四边形为矩形.因为，，所以该截面的面积为.8.在四面体中，平面，，，，，O为平面内一点，且，则与平面所成角的正切值为（）A. B. C. D.答案：B解析：解答过程：如图：在△ABC中，由余弦定理，.依题意可得O为△ABC设该外接圆的半径为，由正弦定理，，则.因为平面，所以与平面所成的角为，而，故与平面所成角的正切值为.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.若，则（）A. B.C.的虚部为 D.为纯虚数答案：ACD解析：解答过程：因为，所以，所以，，的虚部为，为纯虚数．10.如图，用斜二测画法得到四边形OABC的直观图是平行四边形O′A′B′A. B.C.OC⋅OA=−4 答案：BC解析：解答过程：因为∠B′O′A′=45°，，在平面直角坐标系上作出四边形OABC，如图所示，则，OA=BC=2，得四边形OABC显然不是矩形，A，D选项均错误，.由，，C−2,22，所以OA=2,0，得OC⋅11.已知正方形的边长为，平面，平面，，在平面的同一侧，且，则（）A.点不在四棱锥外接球的球面上B.四棱锥内切球的表面积为C.四棱锥与四棱锥公共部分的体积为D.几何体的五个面所在平面将空间分成21个部分答案：BCD解析：思路：由题意可将补成一个正方体，利用等体积法与内切球公式求解内切球表面积，通过割补法求解公共部分体积，并由三棱柱的几何特征直接确定空间划分个数.解答过程：将四棱锥补成一个正方体，则四棱锥的外接球为该正方体的外接球，因为点是该正方体的一个顶点，所以点在四棱锥外接球的球面上，A错误.四棱锥的体积，侧面积，表面积，则四棱锥内切球的半径，则该内切球的表面积为，B正确.连接，易知，，则四边形和四边形均为平行四边形，设，，则E，F分别为，PC的中点，设，BC的中点分别为G，，连接，，FG，，则四棱锥和四棱锥的公共部分为几何体，其体积为四棱锥和三棱柱的体积之和，即，C正确.因为几何体为三棱柱，三个侧面，，同时平行于，此时这三个平面退化为三条两两相交的直线，共分割成7个区域，剩下两个平行的平面将这七个区域再次分割成3部分，即它的五个面所在平面将空间分成个部分，D正确.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知某圆台的母线长为13，上、下底面圆的直径分别为2，12，则该圆台的高为___________.答案：12解析：解答过程：由题意，设上、下底面圆的半径分别为，，母线长为，圆台的高为，则，，，所以.13.在正四棱柱中，E为棱的中点，则异面直线CE与所成角的余弦值为___________.答案：解析：解答过程：取棱的中点F，连接，，.又E为棱的中点，则有EF//BD正四棱柱中，且，则四边形是平行四边形，有，所以，则为异面直线CE与所成的角（或其补角）.依题意可得底面为正方形，设，则，，所以，故异面直线CE与所成角的余弦值为.14.定义：多面体顶点的曲率等于与该顶点处多面体面角之和的差（面角采用弧度制计量）.例如：正方体每个顶点均有3个面角，每个面角均为，则其各个顶点的曲率均为2π−3×π2=π2.在三棱锥中，底面，，，SA=6，∠BSC=π6答案：19π12##解析：思路：由底面可得，SA⊥AC，进而得到tan∠BSA，tan∠CSA解答过程：如图，因为底面，底面，所以，SA⊥AC.因为，，SA=6，所以tan∠BSA=则tan∠因为∠BSA∈0,所以∠BSA+∠CSA∈0,故三棱锥在顶点处的曲率为2π−∠四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.如图，正方形是圆柱的一个轴截面，E是下底面圆周上异于A，B的点.（1）证明：；（2）若该圆柱的表面积为，以正方形为一个底面作正四棱台，该正四棱台的高为3，且，求该正四棱台的体积.答案：（1）连接BE.由题意知，BC是圆柱的母线，则平面ABE.因为平面ABE，所以.又是底面圆的直径，所以.因为，平面，所以平面.又平面，所以.（2）28解析：思路：（1）要证，只需证明直线垂直直线CE所在平面即可.（2）利用圆柱的表面积求出正方形的面积，然后由棱台的体积公式求出棱台的体积即可.（1）略（2）因为正方形是圆柱的轴截面，设，所以该圆柱的表面积为，解得，则AB=4.由棱台的体积公式，故该正四棱台的体积为.16.已知向量，.（1）当时，证明：，；（2）当时，证明：为定值.（3）当时，若a与b的夹角为锐角，求y的取值范围.答案：（1）证明：当时，由，得，解得，故，.（2）证明：当时，，所以为定值.（3）解析：思路：（1）代入给定参数后，令两向量模相等，构造关于未知数的方程，证明其有实数解即可；（2）将给定参数代入，化简数量积表达式，消去剩余变量，得到与变量无关的常数即可；（3）利用夹角为锐角的充要条件（数量积大于零且不共线），建立不等式组，解出参数的范围即可.（1）略；（2）略；（3）当时，，，因为a与b的夹角为锐角，所以且a与b不共线，则，且，解得.17.在△ABC中，，AB=2，sin∠ABC∶sin∠ACB=5∶2，平分，且（1）求的长；（2）若E为AC边上一点，且AE=32答案：（1）102（2）102思路：（1）根据正弦定理和等面积法进行计算即可.（2）根据余弦定理计算即可.（1）由sin∠ABC:因为AB=2，所以AC由等面积法得12因为，平分，所以22AD⋅AB则AD=（2）因为AE=32EC，由余弦定理得DE则DE=故的周长为102718.如图，在四棱锥中，底面是菱形，，，，且.（1）证明：平面；（2）求PA与平面所成角的大小；（3）设球O为三棱锥P−ACD的外接球，M为球O球面上的动点，求线段答案：（1）因为底面为菱形，，所以△ABC则.因为，所以,同理可得,又因为，且两直线在平面内.所以平面.（2）（3）解析：思路：（1）利用底面为菱形，可得△ABC为等边三角形，再利用的边长的数量关系及勾股定理可证明，从而得到平面.（2）方法一：取的中点E，由为等边三角形可得，由平面可得，从而得到平面，进而得到平面平面，又平面平面，所以，为直线PA与平面所成的角，再通过数量关系求出为等腰直角三角形，最后求得；方法二：等体积法，取的中点E，连接PE，则，由于平面，平面，所以，则，，所以，设点A到平面的距离为，则由，通过数量关系求出，那么，最后求得；（3）由于平面，即有一条侧棱垂直于底面的四棱棱的外接球，先找到的外心G，根据平面再找到球心O的位置，再计算出球半径，点B到球心O的距离，判断出点B与球O的位置关系，最后求出线段的长度的最大值，（1）略（2）方法一：取的中点E，连接，PE.由（1）知，为等边三角形，，则，且，又平面，平面，所以，因为，且两直线在平面内，所以平面，因为平面，所以平面平面，又平面平面，所以直线PA在平面上的射影为直线PE，则为直线PA与平面所成的角，又平面，平面，所以，因为，为等腰直角三角形，所以，即PA与平面所成角的大小为.（方法二）因为平面，平面，所以，则