2025-2026学年河南清华附中郑州学校高二下学期第三次学情调研数学试题-含解析

/数学一、单选题1.已知向量，，且与互相垂直，则的值为（）A.1 B. C. D.2.若椭圆过抛物线的焦点，且与双曲线有相同的焦点，则该椭圆的方程是（）A. B.C. D.3.已知等比数列的前4项和为30，且，则（）A. B. C. D.4.在的展开式中，各项系数与二项式系数和之比为64，则该展开式中的常数项为（）A.15 B.45 C.135 D.4055.一个盒子里有6只好的晶体管、4只坏的晶体管，任取两次，每次取一只晶体管，每一次取后不放回，在第一次取到好的晶体管条件下，第二次也取到好的晶体管的概率为（）A. B. C. D.6.已知曲线在处的切线与曲线相切，则的值为（）A.2 B. C. D.7.已知圆，直线与圆相交于，两点，当取最小值时，的值为（）A. B. C. D.8.已知四个点，，，得到的线性相关系数为，去掉后得到的线性相关系数为，则（）A. B. C. D.无法确定二、多选题9.已知随机变量，若，则（）A. B.C. D.10.羽毛球比赛结束后，4名选手和甲、乙两名裁判站成一排拍照留念，则下列说法正确的是（）A.甲、乙相邻的排法有480种 B.甲、乙不相邻的排法有480种C.甲在乙的右边（可以不相邻）的排法有360种 D.甲不在排头，且乙不在排尾的排法有504种11.已知函数，是的一个极值点，则（）A.B.若方程只有一个解，则C.的图象关于点对称D.对三、填空题12.通过市场调查，得到某种产品的资金投入x(单位:万元)与获得的利润y(单位:万元)的数据，如表所示:资金投入x23456利润y0.40.611.21.8根据表格提供的数据，用最小二乘法求线性回归直线方程为，现投入资金15万元，求获得利润的估计值（单位：万元）为_____________.13.盒中有2个红球，3个黑球，2个白球，从中随机地取出一个球，观察其颜色后放回，并加入同色球1个，再从盒中抽取一球，则第二次抽出的是红球的概率是_____．14.如图，一个质点在外力的作用下，从原点0出发，每隔1s向左或向右移动一个单位，且向右移动的概率为．若该质点共移动100次，则它位于数字______处的可能性最大．四、解答题15.已知数列的前项和为，且；等差数列满足；；（1）求和的通项公式；（2）求数列的前项和．16.已知在的展开式中，第6项系数与第4项系数之比为．（1）求的值；（2）若展开式的第项是有理项，求的取值集合；（3）记展开式中所有奇数项的系数之和为，偶数项的系数之和为，求．17.2025年，我国能源安全保障能力再上新台阶，全口径发电量占全球总发电量的，稳居世界第一，为智能算力的爆发性电力需求持续提供稳定保障.某学习小组收集了2021年至2025年我国全口径发电量相关数据，根据数据制作了如下数据表格和散点图.年份20212022202320242025年份代码12345我国全口径发电量（单位：万亿千瓦时）8.528.859.4610.0910.58（1）由散点图看出，可用线性回归模型拟合与的关系，请用相关系数加以说明；（2）建立关于的经验回归方程，并预测2026年我国全口径发电量.参考数据：.参考公式：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，相关系数.18.为深入普及国防知识，厚植青年家国情怀，某校举办了国防知识竞赛（分初赛和决赛两个阶段），初赛从6道题中任选3题作答，全部答对才能进入决赛．（1）已知初赛6道题中选手甲能答对其中4道，记甲在初赛中答对题目个数为．（i）求的分布列及其数学期望；（ii）求在甲答对至少两题的前提下，仍未进入决赛的概率；（2）已进入决赛的选手需回答3道同等难度的题目，若全部答对，获一等奖，奖励600元；仅答对2道，获二等奖，奖励200元；仅答对1道，获三等奖，奖励100元；全错则没有奖励．选手乙进入决赛后，答对每道题的概率为0.6，且每道题是否答对相互独立．求选手乙获得的奖金的数学期望．19.已知函数．（1）若函数在上是减函数，求实数m的取值范围；（2）若函数在上存在两个极值点，，且，证明：．

数学一、单选题1.已知向量，，且与互相垂直，则的值为（）A.1 B. C. D.答案：D解析：思路：利用空间向量数量积的运算律及数量积的坐标表示，列式计算即得.解答过程：已知向量，，则，，，由与互相垂直，则，解得，故D正确.2.若椭圆过抛物线的焦点，且与双曲线有相同的焦点，则该椭圆的方程是（）A. B.C. D.答案：A解析：思路：求出抛物线与双曲线的焦点坐标后，列方程组求得得椭圆方程.解答过程：抛物线的焦点为，双曲线的焦点为，所以，又，则，所以椭圆方程为.3.已知等比数列的前4项和为30，且，则（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：根据给定条件，求出等比数列的首项及公比，即可计算作答.解答过程：设等比数列的公比为，依题意，，而，解得，数列的前4项和为，即，解得，所以.故选：C4.在的展开式中，各项系数与二项式系数和之比为64，则该展开式中的常数项为（）A.15 B.45 C.135 D.405答案：C解析：思路：令可得展开式各项系数和，再由二项式系数和为，即可得到方程，求出，再写出二项式展开式的通项，令的指数为，即可求出，再代入计算可得；解答过程：解：对于，令，可得各项系数和为，又二项式系数和为，所以，解得，所以展开式的通项为，令，解得，所以；故选：C5.一个盒子里有6只好的晶体管、4只坏的晶体管，任取两次，每次取一只晶体管，每一次取后不放回，在第一次取到好的晶体管条件下，第二次也取到好的晶体管的概率为（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：由条件概率计算公式即可求解.解答过程：设事件=“第一次取到好晶体管”，事件=“第二次取到好晶体管”，所求为，由题意：，，.即在第一次取到好的晶体管条件下，第二次也取到好的晶体管的概率为.6.已知曲线在处的切线与曲线相切，则的值为（）A.2 B. C. D.答案：B解析：思路：先求在处的切线方程为；利用导数相等求出的切点横坐标；代入切线方程解得.解答过程：对求导得，当时，，，曲线在处的切线方程为.设切线与相切于点，对求导得，由切线斜率为得，解得，将切点代入切线方程得，解得.7.已知圆，直线与圆相交于，两点，当取最小值时，的值为（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：根据给定的直线方程求出定点坐标，再确定定点与圆的位置关系，求出过定点的圆的直径斜率即可得解.解答过程：直线，由，得，显然无论取什么实数，直线都过点，将化为标准形式，因为，所以点在圆内，而圆的圆心，由圆的性质知，当时，弦AB的长取最小值，又直线的斜率，所以.8.已知四个点，，，得到的线性相关系数为，去掉后得到的线性相关系数为，则（）A. B. C. D.无法确定答案：A解析：解答过程：注意到，，均在直线上．故，而不在该直线上，即四点不共线，故．于是．二、多选题9.已知随机变量，若，则（）A. B.C. D.答案：ABD解析：思路：根据正态分布的对称性及方差的性质逐项判断即可得解.解答过程：由，则，故A正确；因为，所以，所以，故B正确；，故C错误；由方差性质，，故D正确.故选：ABD10.羽毛球比赛结束后，4名选手和甲、乙两名裁判站成一排拍照留念，则下列说法正确的是（）A.甲、乙相邻的排法有480种 B.甲、乙不相邻的排法有480种C.甲在乙的右边（可以不相邻）的排法有360种 D.甲不在排头，且乙不在排尾的排法有504种答案：BCD解析：思路：用捆绑法求出总的排法，从而判断A；用插空法求出总的排法数，从而判断B；根据甲在乙的右边与甲在乙的左边各占全排列的一半，求出总的排法数，从而判断C；分当甲排在排尾和当甲不排在排尾，求出总的排法数，从而判断D.解答过程：对于A，当甲、乙相邻时，将甲、乙捆绑在一起，其排法数共有种排法，故A错误；对于B，将4名选手全排列，再将甲、乙二人插入4名选手产生的5个空中，共有种排法，故B正确；对于C，因为甲在乙的右边与甲在乙的左边各占全排列的一半，所以甲在乙的右边共有种排法，故C正确；对于D，当甲排在排尾时，乙自然不在排尾，此时有种排法；当甲不排在排尾时，甲只能排在中间4个位置中的一个，乙只能排在除排尾和甲所占的位置剩下的4个位置中的一个，其余的人全排列，共有种排法，所以一共有种排法，故D正确.11.已知函数，是的一个极值点，则（）A.B.若方程只有一个解，则C.的图象关于点对称D.对答案：BCD解析：思路：利用极值点的定义可判断A；利用三次函数图像的特点可判断B；利用可判断C；代入作差，可判断D.解答过程：求导得，由题意得，解得或，由得，故A错误；令，得或，当时，，所以函数单调递增，当时，，所以函数递减，当时，，所以函数递增.所以的极大值为，的极小值为.为三次函数，要使只有一个解，只需的极小值或的极大值.所以或，故B正确；因为函数，所以，，故，则的图象关于点对称，故C正确；易知，则，即恒成立，故D正确.三、填空题12.通过市场调查，得到某种产品的资金投入x(单位:万元)与获得的利润y(单位:万元)的数据，如表所示:资金投入x23456利润y0.40.611.21.8根据表格提供的数据，用最小二乘法求线性回归直线方程为，现投入资金15万元，求获得利润的估计值（单位：万元）为_____________.答案：解析：思路：根据线性回归方程过样本数据中心点，可求出b，代入即可求解.解答过程：由表中数据可得，所以过点，代入可得，所以，当时，，即获得利润大约为万元.故答案为：方法提示：本题主要考查了线性回归方程，样本数据中心点，线性回归方程的应用，属于中档题.13.盒中有2个红球，3个黑球，2个白球，从中随机地取出一个球，观察其颜色后放回，并加入同色球1个，再从盒中抽取一球，则第二次抽出的是红球的概率是_____．答案：解析：思路：先计算第一次分别抽出红球、黑球、白球的概率，对应三种互斥的事件，针对第一次抽球的每种结果，计算对应情况下第二次抽出红球的条件概率，结合全概率公式求得最终结果.解答过程：从盒中任取1球，是红球记为，黑球记为，白球记为，则，，彼此互斥，设第二次抽出的是红球记为事件B，则，，，，，，.14.如图，一个质点在外力的作用下，从原点0出发，每隔1s向左或向右移动一个单位，且向右移动的概率为．若该质点共移动100次，则它位于数字______处的可能性最大．答案：解析：思路：根据题意，设质点向右移动的次数为，可知服从二项分布，然后求得取最大值时的值，即可得到结果.解答过程：设质点向右移动的次数为，则服从二项分布，即，则质点最终的位置等于向右移动的次数减去向左移动的次数，即，由二项分布的概率公式可得，设最大，则，由可得，即，化简可得，解得，由可得，即，化简可得，解得，即，且，则时，最大，则质点最终的位置为.故答案为：方法提示：关键点睛：本题主要考查了二项分布概率最大值问题，难度较大，解答本题的关键在于结合二项分布的概率公式计算，从而得到结果.四、解答题15.已知数列的前项和为，且；等差数列满足；；（1）求和的通项公式；（2）求数列的前项和．答案：（1），（2）解析：思路：（1）借助与的关系计算可得数列的通项公式，再利用等差数列定义计算即可得数列的通项公式（2）借助错位相减法计算即可得.（1）由已知，当时，，即，，当时，，，两式相减，得，即，，∴数列是首项，公比的等比数列，∴数列的通项公式为，则，则，设等差数列的公差为，则，所以；（2）由（1）得，∴设，①①，得，②∴①②，得，．16.已知在的展开式中，第6项系数与第4项系数之比为．（1）求的值；（2）若展开式的第项是有理项，求的取值集合；（3）记展开式中所有奇数项的系数之和为，偶数项的系数之和为，求．答案：（1）（2）（3）解析：思路：（1）根据展开式的通项公式求出第6项系数与第4项系数，根据题意列方程即可求出答案；（2）根据且求出，即可求出答案；（3）根据二项式的展开式列出，设，则，，通过赋值法求出和即可求出答案.（1）展开式的通项公式为，由题意得，即，解得.（2）由（1）得展开式的第项为，所以由题意得且，解得，所以的取值集合为.（3）由（1）得展开式的第项为，所以，，设多项式，其系数，则，，令，则，令，则，所以.17.2025年，我国能源安全保障能力再上新台阶，全口径发电量占全球总发电量的，稳居世界第一，为智能算力的爆发性电力需求持续提供稳定保障.某学习小组收集了2021年至2025年我国全口径发电量相关数据，根据数据制作了如下数据表格和散点图.年份20212022202320242025年份代码12345我国全口径发电量（单位：万亿千瓦时）8.528.859.4610.0910.58（1）由散点图看出，可用线性回归模型拟合与的关系，请用相关系数加以说明；（2）建立关于的经验回归方程，并预测2026年我国全口径发电量.参考数据：.参考公式：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，相关系数.答案：（1），可用线性回归模型拟合与的关系（2），（万亿千瓦时）解析：（1）因为，所以，所以，故可用线性回归模型拟合与的关系；（2），则，则经验回归方程为，令，则，故预估2026年我国全口径发电量为（万亿千瓦时）18.为深入普及国防知识，厚植青年家国情怀，某校举办了国防知识竞赛（分初赛和决赛两个阶段），初赛从6道题中任选3题作答，全部答对才能进入决赛．（1）已知初赛6道题中选手甲能答对其中4道，记甲在初赛中答对题目个数为．（i）求的分布列及其数学期望；（ii）求在甲答对至少两题的前提下，仍未进入决赛的概率；（2）已进入决赛的选手需回答3道同等难度的题目，若全部答对，获一等奖，奖励600元；仅答对2道，获二等奖，奖励