2025-2026学年河南省开封市部分校高一下学期期末考试数学试题-含解析

/数学满分：150分，考试时间：120分钟一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.中国古代科举制度始于隋而成于唐，兴盛于明、清两朝．明代会试分南卷、北卷、中卷，按的比例录取，若某年会试录取人数为300，则北卷录取人数为（）A.140 B.105 C.70 D.302.若z=i6A. B. C. D.3.已知向量a→=1,2，b→=A. B. C. D.4.在中，若，则（）A. B.60° C.120° D.5.已知样本数据，，x3，，x5的平均数为，方差为，则x12，x22，x32，xA.17 B.18 C. D.216.如图，一个平面图形的直观图是等腰梯形，，该直观图的高为2，则原平面图形的周长为（）A. B. C. D.7.如图，在中，，，P为上一点，且满足，若，，则的值为（）A. B.3 C. D.328.已知正四棱锥的外接球O的表面积为，点P在底面ABCD的射影为，当取最大值时，正四棱锥的体积为（）A. B.或C.或 D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.为了解某地20000名学生的高三模拟考试数学成绩，从中抽取了200名学生的数学成绩进行调查分析，下列说法正确的有（）A.20000名学生的数学成绩是总体 B.200名学生是样本C.每名学生是个体 D.样本容量是20010.下列说法中正确的是（）A.在中，，则的面积为B.已知向量，则C.在中，若，则是等腰三角形D.已知向量与的夹角为钝角，则的取值范围是11.如图，在正方体中，M是线段上的一点，则下列说法正确的是（）A.B.平面C.异面直线与所成的角的取值范围是D.二面角的正弦值为33三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.光明中学举办演讲比赛，其中8人比赛的成绩为：85，86，88，89，90，92，94，98（单位：分），则这8人成绩的第60百分位数和第70百分位数的和为______．13.如图，在正三棱柱ABC−A1B1C1中，A14.在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，若为的面积，则的最大值为______．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．15.已知复数z=m+2+（1）若复数在复平面内对应的点在第四象限，求实数的取值范围；（2）若为正实数，z−4i是关于x的实系数一元二次方程的一个根，求的值．16.如图，在四棱锥中，平面平面ABCD，四边形ABCD是梯形，，，PD⊥BC，E是棱PC上的一点，且．（1）求证：平面BDE；（2）若是锐角三角形，且，求证：．17.对某高校学生参加“走进敬老院送温暖”的活动次数进行统计，随机抽取N名学生，得到这N名学生参加此活动的次数，根据此数据作出如下频率分布表和频率分布直方图.分组频数频率100.2024n140.28mp合计N1（1）求出表中N，p及图中a的值：（2）若该校有学生3000人，试估计该校学生参加此活动的次数在区间内的人数；（3）估计该校学生参加此活动次数的众数､中位数及平均数.（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表，所有结果保留一位小数）18.如图，在正三棱柱ABC−A1B1C1中，，（1）证明：平面平面；（2）若，平面与平面的锐二面角的余弦值为，求该三棱柱的体积．19.在中，设、、所对的边分别为、、，已知，且三角形外接圆半径为．（1）求的大小；（2）若的面积为，求的值；（3）设的外接圆圆心为，且满足，求的值．

数学满分：150分，考试时间：120分钟一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.中国古代科举制度始于隋而成于唐，兴盛于明、清两朝．明代会试分南卷、北卷、中卷，按的比例录取，若某年会试录取人数为300，则北卷录取人数为（）A.140 B.105 C.70 D.30答案：B解析：思路：先计算北卷录取人数占总录取人数的比例，再结合总录取人数求解北卷录取人数即可.解答过程：由题意，会试南卷、北卷、中卷的录取比例为，因此北卷录取人数占总录取人数的比例为，已知该年会试录取总人数为300，故北卷录取人数为.2.若z=i6A. B. C. D.答案：C解析：解答过程：原式z=∵z=1−i，∴z=1+3.已知向量a→=1,2，b→=A. B. C. D.答案：D解析：思路：根据平面向量垂直的充要条件是向量数量积为0，先求向量a→−b解答过程：已知a→=(1,2)，b→根据两非零向量垂直的充要条件可得：(a则(1−m)×1+1×2=0，整理得3−m4.在中，若，则（）A. B.60° C.120° D.答案：A解析：解答过程：由正弦定理，，不妨设，，，则由余弦定理，，因为，所以．5.已知样本数据，，x3，，x5的平均数为，方差为，则x12，x22，x32，xA.17 B.18 C. D.21答案：B解析：解答过程：∵样本数据x1,x2,又∵该样本的方差为，根据方差公式可得15i将平方项展开得15将i=15x化简计算得i=1∴数据x12,6.如图，一个平面图形的直观图是等腰梯形，，该直观图的高为2，则原平面图形的周长为（）A. B. C. D.答案：A解析：解答过程：过点作于点D，故，因为，所以，，同理过点作于点E，可得，所以，所以原平面图形OABC如图所示，其中OA=6，，，，故原平面图形的周长为，故选：A．7.如图，在中，，，P为上一点，且满足，若，，则的值为（）A. B.3 C. D.32答案：C解析：思路：由已知可得，由三点共线有m=23，再用分别表示出AP、，最后应用向量数量积的运算律求即可.解答过程：因为，所以，所以，因为C，P，D三点共线，所以，即m=2所以，又，所以.故选：C8.已知正四棱锥的外接球O的表面积为，点P在底面ABCD的射影为，当取最大值时，正四棱锥的体积为（）A. B.或C.或 D.答案：B解析：思路：先由正四棱锥外接球表面积，求出外接球半径；结合正四棱锥性质，可知外接球球心O'在顶点到底面的投影O'所在直线上.设，利用勾股定理推导底面边长，再通过均值不等式求出的最大值及取等条件、；最后分球心在棱锥内部（高）和外部（高）两种情况，计算出正四棱锥的对应体积和.解答过程：设正四棱锥外接球的半径为，则有，所以.因为为点P在平面ABCD上的投影，则有平面.因为是正四棱锥，则点O一定在直线上.如图1所示，连接OA，因为，所以.设，则，所以.则.当且仅当，即时等号成立，即，．当点O在正四棱锥的内部时，即点O在线段上时，正四棱锥的高为.则正四棱锥的体积.当点O在正四棱锥的外部时，如图2所示，即点O在线段的延长线上时，正四棱锥的高为.则正四棱锥的体积．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.为了解某地20000名学生的高三模拟考试数学成绩，从中抽取了200名学生的数学成绩进行调查分析，下列说法正确的有（）A.20000名学生的数学成绩是总体 B.200名学生是样本C.每名学生是个体 D.样本容量是200答案：AD解析：思路：根据统计中总体、个体、样本、样本容量的定义，逐一判断各选项.解答过程：总体是指所要考察的对象的全体，本题考察对象为学生的高三模拟考试数学成绩，因此20000名学生的数学成绩是总体，A选项正确，又因为样本是从总体中抽取的一部分用于考察的个体，因此本题的样本为抽取的200名学生的数学成绩，而非200名学生本身，B选项错误，个体是总体中的每一个考察对象，因此本题的个体为每名学生的数学成绩，而非每名学生本身，C选项错误，样本容量是样本中所包含的个体的数目，无单位，本题抽取了200名学生的数学成绩，因此样本容量为200，D选项正确.10.下列说法中正确的是（）A.在中，，则的面积为B.已知向量，则C.在中，若，则是等腰三角形D.已知向量与的夹角为钝角，则的取值范围是答案：AC解析：思路：由三角形面积公式直接求解可判断A；根据向量坐标运算求解可判断B；记的中点为D，根据向量加法运算结合已知可得中线垂直于，然后可判断C；考虑与反向时不满足条件即可判断D.解答过程：，故A正确；，故B错误；记的中点为D，由于，因此中线垂直于，所以是等腰三角形，故C正确；与的夹角为钝角，且，故D错误.故选：AC.11.如图，在正方体中，M是线段上的一点，则下列说法正确的是（）A.B.平面C.异面直线与所成的角的取值范围是D.二面角的正弦值为33答案：ABD解析：思路：建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明判断A，B，利用线线角的向量求法判断C，利用二面角的向量求法判断D即可.解答过程：如图，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，且设正方体边长为2，故,,，，C(0,2,0)，所以，，对于A，B(2,2,0)，，故，，因为，共线，所以，故，故，而，所以，故A正确，对于B，而，化简得，故，，而，，设面的法向量为n=(x,y所以，令，解得，故，则，可得平面，故B正确，对于C，，，设异面直线与所成的角为，θ∈0,π2所以，当时，，而时，令，因为，可得，故，得到，故C错误，对于D，已知面的法向量为，设面的法向量，所以，故，令b=0，解得，故，设二面角为，，故，而，而，解得，故D正确.故选：ABD方法提示：关键点点睛：本题考查立体几何，解题关键是建立空间直角坐标系，然后表示出关键点的坐标，由线线角的向量求法表示出线线角．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.光明中学举办演讲比赛，其中8人比赛的成绩为：85，86，88，89，90，92，94，98（单位：分），则这8人成绩的第60百分位数和第70百分位数的和为______．答案：182解析：思路：根据百分位数的求法求得正确答案.解答过程：8×0.6=4.8，所以第60百分位数是.8×0.7=5.6，所以第70百分位数是92.所以第60百分位数和第70百分位数的和为90+92=182.13.如图，在正三棱柱ABC−A1B1C1中，A答案：##解析：思路：根据给定条件，作出直线与直线所成的角，再借助余弦定理求出余弦值即可求解.解答过程：在正三棱柱ABC−A1B1C1中，连接交于O点，取A显然是的中点，则，是与所成的角或其补角，在中，，，，，，所以直线与直线所成角的正切值为.故答案为：14.在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，若为的面积，则的最大值为______．答案：##解析：思路：应用正弦定理边角关系、和角正弦公式可得，根据三角形性质有，再应用余弦定理、三角形面积公式以及基本不等式求目标式的最大值，注意取最大值的条件.解答过程：由题设及正弦定理边角关系，，即，而，故，又sinA≠0，则，故，而，，所以，当且仅当时等号成立，故的最大值为.故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．15.已知复数z=m+2+（1）若复数在复平面内对应的点在第四象限，求实数的取值范围；（2）若为正实数，z−4i是关于x的实系数一元二次方程的一个根，求的值．答案：（1）（2）19解析：思路：（1）根据对应点所在象限列不等式，由此求得的取值范围.（2）先求得，然后根据虚根成对以及根与系数关系求得，进而求得.（1）若复数在复平面内对应的点在第四象限，则m+2>0m2+2m（2）由于为正实数，所以m2+2m−3=0m+2>0而z−4i=3−4所以3+4i也是方程的一个根，所以3+4i+3−4i所以a+16.如图，在四棱锥中，平面平面ABCD，四边形ABCD是梯形，，，PD⊥BC，E是棱PC上的一点，且．（1）求证：平面BDE；（2）若是锐角三角形，且，求证：．答案：（1）证明见解析（2）证明见解析解析：思路：（1）连接AC，交BD于点F，连接EF，即证，得，进而得，利用线面平行的判定定理即可求证；（2）过点P作DC的垂线，垂足为O，由平面平面ABCD，利用面面垂直的性质定理得PO⊥平面ABCD，进而得，由线面垂直的判定定理得BC⊥平面PDC，即BC⊥（1）连接AC，交BD于点F，连接EF，如图所示．因为，所以，所以，又，所以，所以，又EF⊂平面BDE，平面BDE，所以平面BDE；（2）在中，过点P作DC的垂线，垂足为O，如图所示．因为平面平面ABCD，，，PO⊂平面PDC，所以PO⊥平面ABCD又BC⊂平面ABCD，所以，又PD⊥BC，，PO，平面PDC，所以BC⊥平面PDC又平面PDC，所以BC⊥DE又，PB∩BC=B，PB，BC⊂平面PBC，所以17.对某高校学生参加“走进敬老院送温暖”的活动次数进行统计，随机抽取N名学生，得到这N名学生参加此活动的次数，根据此数据作出如下频率分布表和频率分布直方图.分组频数频率100.2024n140.28mp合计N1（1）求出表中N，p及图中a的值：（2）若该校有学生3000人，试估计该校学生参加此活动的次数在区间内的人数；（3）估计该校学生参加此活动次数的众数､中位数及平均数.（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表，所有结果保留一位小数）答案：（1），，（2）（3）众数是，中位数的为18.1，平均数是18.3解析：思路：（1）根据频率、频数和样本容量之间的关系即可求解；（2）根据区间内频率，可估计该校学生参加“走进敬老院送温暖”活动的次数在区间内的人数；（3）众数即最高矩形的底边中点的横坐标，中位数利用左右两侧直方图的面积相等计算即可，平均数是每个小矩形的面积与小矩形底边中点横坐标乘积的和.（1）由分组对应的频数是10，频率是0.20，可知，所以，所以，解得，所以，；（2）估计该校学生参加此活动的次数在区间内的人数为人；（3）估计该校学生参加此活动次数的众数是.因为，所以估计该校学生参加此活动次数的中位数x满足，解得，所以该校学生参加此活动次数的中位数的为18.1，由，所以估计该校学生参加此活动次数的平均数是18.3.18.如图，在正三棱柱ABC−A1B1C1中，，