2025-2026学年河南省新乡市部分学校高二下学期6月联考数学试题-含解析

/数学一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1.设复数，其共轭复数为，则（

）A. B. C.2 D.2.已知、，则“”是“”的（）条件A.充分不必要 B.必要不充分C.充要 D.既不充分也不必要3.已知圆O与直线l相切于点A，点P，Q同时从点A出发，点P沿着直线l向右､点Q沿着圆周按逆时针以相同的速率运动.连接OA，OQ，OP，OP与圆O交于点B，如图所示，记图中两个阴影部分的面积分别为，.当点Q运动到点A时，点P也停止运动，在这个过程中，，的大小关系是（）A. B.C. D.先，再，最后4.我们比较熟悉的网络新词，有“yyds”、“内卷”、“躺平”等，定义方程的实数根叫做函数的“躺平点”．若函数，，的“躺平点”分别为，，，则，，的大小关系为（）A. B. C. D.5.已知公差为的等差数列的前项和为是中的唯一最大项，则的取值范围为（）A. B. C. D.6.已知双曲线，，分别为左、右焦点，过且倾斜角为60°的直线与在第一象限的交点为，的平分线与线段交于点．若，则该双曲线的离心率是（）A. B. C. D.7.设随机变量的分布列为，且，则（）A.数列是等比数列 B.C.数列前7项之和为 D.8.已知函数，将图象上点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），再将所得图象向右平移个单位长度，得到函数的图象.若，总存在唯一实数，使得，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．）9.下列选项中说法正确的是（）A.函数的单调减区间为B.幂函数过点，则C.函数的定义域为，则函数的定义域为D.若函数的值域为，则实数的取值范围是10.如图，在直三棱柱中，分别为的中点，过点作三棱柱的截面，则下列结论中正确的是（）A.B.三棱柱外接球的半径为C.若交于，则为中点D.将三棱柱分成两部分，体积较大部分的体积为11.如图所示为杨辉三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列，第行的第个数可以表示为时）.在欧洲，这个表被认为是帕斯卡（1623-1662）首先发现的.我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就已经出现了这个表，这是我国数学史上的一个伟大成就.同学们开展了数学探究，则下列命题正确的有（）A.第2026行共有2026个数B.从第4行起到第19行，每一行的第4个数字之和为C.第48行的所有数字之和被7除的余数为1D.去除所有为1的项，依次构成数列，则此数列前135项的和为三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.若直线与曲线相切，则切点的横坐标为______．13.若，，则tanα＝__________．14.某双一流大学为提高数学学院学生的数学素养，特开设了“模糊数学”、“复变函数”、“微分几何”、“数值分析”、“拓扑学”五门选修学科，要求学院每位同学每学年至多选门，大一到大三三学年必须将五门选修学科选完，则每位同学的不同选修方式有__________种四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15.一个袋中装有6个同样大小的小球，编号分别为1，2，3，4，5，6，现从袋中随机取出3个小球，用X表示取出的3个小球中最大编号和最小编号的差．（1）求；（2）求随机变量X的分布列和数学期望．16.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，.（1）求角A；（2）D为外一点，且与点B位于直线AC的同侧，，，若，，求的面积.17.在斜三棱柱中，，，为菱形，，，为中点．（1）证明：平面；（2）线段上是否存在一点，使二面角为，若存在，求出的位置，若不存在，请说明理由．18.已知抛物线：与双曲线的渐近线在第一、四象限的交点分别为，，且.（1）求抛物线的方程；（2）设直线与抛物线交于，两点，为坐标原点，为的焦点.（i）若，且的中点为，求到轴距离的最小值；（ii）若已知直线：，且，设数列的前项和为，证明：.19.已知函数．（1）求的单调区间；（2）证明：；（3）设，若存在，使得，证明：．

数学一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1.设复数，其共轭复数为，则（

）A. B. C.2 D.答案：A解析：思路：根据复数运算化简，并求得其共轭复数，再求的模即可.解答过程：复数，其共轭复数，，.故选：A2.已知、，则“”是“”的（）条件A.充分不必要 B.必要不充分C.充要 D.既不充分也不必要答案：A解析：思路：根据不等式的基本性质、特殊值法结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论.解答过程：当时，，即，所以，“”“”，若，不妨取，，则不成立，所以，“”“”，所以，“”是“”的充分不必要条件.故选：A.3.已知圆O与直线l相切于点A，点P，Q同时从点A出发，点P沿着直线l向右､点Q沿着圆周按逆时针以相同的速率运动.连接OA，OQ，OP，OP与圆O交于点B，如图所示，记图中两个阴影部分的面积分别为，.当点Q运动到点A时，点P也停止运动，在这个过程中，，的大小关系是（）A. B.C. D.先，再，最后答案：A解析：思路：由题意得，弧的长度与相等，利用扇形的面积公式与三角形的面积公式表示出阴影部分的面积，，比较大小即可．解答过程：解：因为直线l与圆O相切于点A，所以，所以扇形AOQ的面积，的面积.又，所以，所以，即，故选：A.4.我们比较熟悉的网络新词，有“yyds”、“内卷”、“躺平”等，定义方程的实数根叫做函数的“躺平点”．若函数，，的“躺平点”分别为，，，则，，的大小关系为（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：根据定义分别求得和，再构造函数，根据导数确定零点的取值范围即可求解．解答过程：，则，即，，则，设，则，所以在单调递增，又，所以存在，使得，即；，则，即，综上所述，，故选：A．5.已知公差为的等差数列的前项和为是中的唯一最大项，则的取值范围为（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：根据等差数列前项和最值的性质，建立不等式解出即可.解答过程：因为是中的唯一最大项，所以且，即且，又，解得，即的取值范围为．6.已知双曲线，，分别为左、右焦点，过且倾斜角为60°的直线与在第一象限的交点为，的平分线与线段交于点．若，则该双曲线的离心率是（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：通过角平分线性质定理、双曲线的定义、余弦定理求解.解答过程：因为直线的，由角平分线性质定理可知，所以，由双曲线的定义可知，所以，在中由余弦定理可得，即，整理得，两边同除以可得，解得或（舍去）．故选：C7.设随机变量的分布列为，且，则（）A.数列是等比数列 B.C.数列前7项之和为 D.答案：D解析：思路：利用累积概率与分布列关系推导出的递推公式，进而求出通项，再结合分布列概率总和为1确定首项，最后逐个分析选项即可.解答过程：因为，，则当时，，代入得，化简得;由递推式：，即;由分布列概率总和为1可得：，即.选项A，因为，所以，，所以数列不是等比数列，A错误；选项B，，B错误；选项C，因为，所以前7项和为：，C错误；选项D，期望，D正确.8.已知函数，将图象上点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），再将所得图象向右平移个单位长度，得到函数的图象.若，总存在唯一实数，使得，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：由函数图象平移及伸缩变换得到，由，结合函数图象即可求解.解答过程：将图象上点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），再将所得图象向右平移个单位长度，可得：，当，可得，则，因为存在唯一实数，使得，即是的子集，且唯一，由图像可知，，所以实数的取值范围为，故选：B二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．）9.下列选项中说法正确的是（）A.函数的单调减区间为B.幂函数过点，则C.函数的定义域为，则函数的定义域为D.若函数的值域为，则实数的取值范围是答案：BCD解析：思路：对A，先求函数的定义域，再根据“同增异减”法则，判断单调减区间；对B，先确定的值，再将已知点代入函数求出，进而计算；对C，列不等式，求解得到的定义域；对D，因为函数的值域为，所以需保证能取到所有正实数，分和两种情况讨论解答过程：对A，函数，，解得或因为复合函数同增异减，外层是增函数，内层减区间为，结合定义域得的单调减区间为，不是，因此A错误；对B，根据幂函数定义，形如的函数是幂函数，因此系数，因为函数过，所以，解得；因此​，B正确；对C，因为的定义域为，所以对，满足，解得，即的定义域为，C正确；对D，因为值域为R，所以需能取到所有正实数，当时，真数为，是一次函数，可取所有正实数，符合条件；当时，真数为二次函数，需满足开口向上，且判别式，解得，综上的取值范围是，D正确.10.如图，在直三棱柱中，分别为的中点，过点作三棱柱的截面，则下列结论中正确的是（）A.B.三棱柱外接球的半径为C.若交于，则为中点D.将三棱柱分成两部分，体积较大部分的体积为答案：BD解析：思路：对A，通过证明直线与截面α内的法向量不垂直判断；对B，将直三棱柱补为长方体，根据长方体外接球半径等于长方体体对角线的长度计算；对C，设交点为中点，共面向量定理求解验证；对D，先求三棱柱总体积，用补形法（总体积减较小部分体积）计算较大部分体积.解答过程：以为原点，分别以所在直线为轴，建立如图所示空间直角坐标系，则，，，，，，所以，，对于选项A：，，设平面的法向量为，则由，即，令，则，所以是平面的一个法向量.因为，故

不平行于平面，A错误；对于选项B：直三棱柱中，，可补为棱长为2的正方体，设外接球的半径为，则外接球直径等于正方体体对角线，即，解得，B正确；对于选项C：若为中点，则坐标为，，且四点共面，则，，即，所以，方程组无解，所以不是中点，C错误；对于选项D：设与交点，则，由得，所以，解得，即.三棱柱总体积，体积较小部分可分割为四棱锥和三棱锥，对四棱锥，顶点，底面四边形顶点，底面四边形面积，高为到平面的距离，所以；对三棱锥，顶点，底面顶点，底面三角形面积，高为到平面的距离，所以，所以体积较小部分的体积为，所以体积较大部分的体积为，D正确.方法提示：本题以直三棱柱为载体，综合考查空间线面平行判定、外接球半径计算、截面交点定位、空间几何体体积计算，核心方法是空间直角坐标系+向量法，将几何问题代数化，同时结合补形、分割等体积计算技巧.11.如图所示为杨辉三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列，第行的第个数可以表示为时）.在欧洲，这个表被认为是帕斯卡（1623-1662）首先发现的.我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就已经出现了这个表，这是我国数学史上的一个伟大成就.同学们开展了数学探究，则下列命题正确的有（）A.第2026行共有2026个数B.从第4行起到第19行，每一行的第4个数字之和为C.第48行的所有数字之和被7除的余数为1D.去除所有为1的项，依次构成数列，则此数列前135项的和为答案：BCD解析：思路：根据杨辉三角的性质即可求解A，根据组合数的性质化简即可求解B，利用二项式定理求解第48行的所有数字的和，进而根据二项式定理，根据整除的性质即可求解C，根据二项式的和，结合等比数列以及等差数列的性质，即可求解D.解答过程：对于A，第2026行共有2027个数，故A错误，对于B,由题意可得,B正确，对于C,第48行的所有数字之和为,由于能被7整除，故第48行的所有数字之和被7除的余数为1，C正确，对于D,第行的和为，当时，第行中去除为1的项的和为，第0行为1，故前行中去除为1的项的和为，故前17行中去除为1的项的和为，去除所有为1的项后，则从第一行开始，则剩下的每一行的个数为0，1，2，3，4，……，可以看成一个首项为0，公差为1的等差数列，前行共有个数，当时，，因此前17行中，去掉为1的项，共有136项，且第17行中，去掉为1的项后，最后一项为则此数列前135项的和为.三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.若直线与曲线相切，则切点的横坐标为______．答案：##解析：思路：根据导函数的几何意义和函数求导的运算法则，求出函数导数，设出切点坐标，根据切线的性质，求出切点的横坐标.解答过程：设切点为，由，得，则，解得．故答案为：.13.若，，则tanα＝__________．答案：##解析：思路：由商数关系，二倍角公式变形后求得，再由同角关系式求得，．解答过程：因为，所以，因为，所以，所以，解得，所以，所以．故答案为：．14.某双一流大学为提高数学学院学生的数学素养，特开设了“模糊数学”、“复变函数”、“微分几何”、“数值分析”、“拓扑学”五门选修学科，要求学院每位同学每学年至多选门，大一到大三三学年必须将五门选修学科选完，则每位同学的不同选修方式有__________种答案：解析：解答过程：由题意可知三年修完门学科，则每位同学每年所修课程数为，，或，，或，，，1.将门学科分成数量为，，的三组共有种不同方式，再将这三组课程分配到三个学年，共有种不同分配方式，由乘法原理可得共有

种；2.将门学科分成数量为，，的三组共有种不同方式，再将这三组课程分配到三个学年，共有种不同分配方式，由乘法原理可得共有种；3.将门学科分成数量为，，的三组共有种不同方式，再将这三组课程分配到三个学年，共有种不同分配方式，由乘法原理可得共有

种．所以每位同学的不同选修方式有种．四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15.一个袋中装有6个同样大小的小球，编号分别为1，2，3，4，5，6，现从袋中随机取出3个小球，用X表示取出的3个小球中最大编号和最小编号的差．（1）求；（2）求随机变量X的分布列和数学期望．答案：（1）（2）分布列见解析，．解析：思路：（1）根据题意，由概率公式代入计算，即可求解；（2）有题意可得，X的取值分别为2，3，4，5，分别求得其对应概率，再由期望的公式代入计算，即可得到结果；（1）当时，这3个球的编号分别有两个为1和6，另一个为2或3或4或5，可得；（2）随机变量X的取值分别为2，3，4，5，有，，，随机变量X的分布列为：X2345P则．16.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，.（1）求角A；（2）D为外一点，且与点B位于直线AC的同侧，，，若，，求的面积.答案：（1）（2）解析：思路：（1）根据正弦定理边化角，结合三角恒等变换即可求得；（2）在中，结合余弦定理得，结合正弦定理得，进而求得，最后根据面积公式求解即可.（1）解：因为，所以，，，因为，所以，所以，即，又，则有，所以.（2）解：因为，，，所以在中，，所以，即，因为在中，，所以，因为，所以，所以，所以.17.在斜三棱柱中，，，为菱形，，，为中点．（1）证明：平面；（2）线段上是否存在一点，使二面角为，若存在，求出的位置，若不存在，请说明理由．答案：（1）法一：如图，连接，交于，取中点，连接，．为中点，且，又且，且，所以四边形为平行四边形，，，平面，平面，平面．法二：如图，连接，交于，连接．分别为中点，，平面，平面，平面．（2）不存在，理由：四边形为菱形，，又，为等边三角形，为中点，，又，，，平面，平面，，又，，，平面，平面，如图，以为原点，在平面内过点作的平行线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示空间直角坐标系．得，，，，，，．设，，，，，设平面法向量，且，，，令，解得，，而设平面法向量，则，由题意得二面角为，得到，化简得．故不存在点满足二面角等于．解析：思路：（1）法一作出符合题意的图形，结合中位线定理得到四边形为平行四边形，进而得到，最后利用线面平行的判定定理求解；法二直接利用中位线定理证明，最后利用线面平行的判定定理求解即可.（2）结合题意与线面垂直的判定定理得到平面，再建立空间直角坐标系，求出关键点的坐标和关键平面的法向量，结合二面角的向量求法建立方程，求解参数，最后判断点的存在性即可.（1）略（2）略18.已知抛物线：与双曲线的渐近线在第一、四象限的交点分别为，，且.（1）求抛物线的方程；（