2025-2026学年河南省洛阳市强基联盟高一下学期6月阶段检测数学试题-含解析

/数学满分150分，考试时间120分钟．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.下列调查中，适合用普查的是（）A.调查全国居民的食品消费结构B.调查一批袋装牛奶的细菌数是否超标C.调查某款新能源汽车电池的使用寿命D.检查某载人飞船零部件的质量情况2.某小学有学生3300人，卫生部门为了解学生身体发育情况，准备从中抽取一个容量为300的样本，则适合的抽样方法是（）A.抽签法 B.随机数法C.简单随机抽样 D.分层随机抽样3.已知圆柱的侧面展开图是边长为的正方形，则该圆柱的体积为（）A. B. C. D.4.已知是两条不同的直线，表示平面，且，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件5.某校高一组建了演讲，舞蹈，合唱，绘画，英语协会五个社团，高一1500名学生每人都参加且只参加其中一个社团，学校从这1500名学生中随机选取部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如图不完整的两个统计图：则选取的学生中，参加舞蹈社团的学生数为（）A.20 B.30 C.35 D.406.如图，，直线与分别交于点和点，且，则的值为（）A. B.2 C. D.7.已知8个样本数据，，，…，的平均数为4，其中，则这8个数据的方差为（）A.18 B.20 C.24 D.288.如图，已知四棱锥的底面为矩形，平面平面，，，M为的中点，Q为上一动点，若平面平面，则（）A. B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.若，，表示不同的平面，l表示直线，则下列条件能得出的是（）A.， B.，C.， D.，10.已知一组数据，，，…，（），则下列说法正确的是（）A.该组数据的极差为B.该组数据的70%分位数为C.剔除，后得到的新数据的平均数小于原数据的平均数D.剔除，后得到的新数据的方差小于原数据的方差11.如图，在三棱柱中，四边形是边长为2的正方形，点为棱的中点，平面，则下列说法正确的是（）A.直线与直线是异面直线B.C.三棱柱的侧面积可能为10D.三棱柱的体积的最大值为2三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.某班有男生40人，女生30人，按性别进行分层，用分层随机抽样的方法从该班抽出一个容量为28的样本，如果样本按比例分配，则女生应抽取___________人.13.已知三棱锥的所有棱长均相等，E为的中点，点Q在上（不同于点E），则异面直线与所成角的大小为______．14.在三棱锥中，是边长为3的等边三角形，，则点到平面的距离为__________.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.某沙稻研究中心在沙漠试验田种植甲、乙两种水稻，随机各抽取5块试验田，其亩产量数据（单位：10kg）如下：甲水稻亩产量4751495053乙水稻亩产量4148575549（1）分别求出甲、乙两种水稻亩产量的平均数与方差；（2）若要大面积种植这两种水稻中的一种，根据（1）中计算结果，分析哪个品种更适合推广，并说明理由．16.如图所示，在四棱锥中，底面ABCD为菱形，，O，M分别为，的中点．（1）证明：平面；（2）证明：平面平面．17.某公司为了解客户对其旗下某产品的满意程度，随机抽取了200名客户进行满意度调查，并将评分（满分100分）按，，，，分成5组，绘制成如图所示的频率分布直方图．（1）求图中a的值，并估计这200名客户的满意度评分的平均数（同一组的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）已知样本中在内的评分的平均数为64.5，方差为14，在内的评分的平均数是74.5，方差是9，求落在内的评分的平均数与方差．18.如图，四棱锥中，底面ABCD，为等边三角形，，，M是PB上一点，且，N是PC的中点.（1）求证：；（2）若二面角的大小为，求三棱锥的体积.19.如图，在直三棱柱中，侧面是边长为2的正方形，，点D为的中点．（1）求证：⊥平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值；（3）若点A，B，C，D都在同一个球的表面上，求该球的表面积．

数学满分150分，考试时间120分钟．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.下列调查中，适合用普查的是（）A.调查全国居民的食品消费结构B.调查一批袋装牛奶的细菌数是否超标C.调查某款新能源汽车电池的使用寿命D.检查某载人飞船零部件的质量情况答案：D解析：解答过程：A选项，全国居民数量庞大，全面调查难度大､成本高，适合抽样调查，A错误；B选项，调查一批袋装牛奶的细菌数具有破坏性，适合抽样调查，B错误；C选项，调查电池使用寿命会对电池造成损坏，适合抽样调查，C错误；D选项，载人飞船零部件的质量关乎飞行安全，必须确保每个零部件都合格，适合用普查，D正确.2.某小学有学生3300人，卫生部门为了解学生身体发育情况，准备从中抽取一个容量为300的样本，则适合的抽样方法是（）A.抽签法 B.随机数法C.简单随机抽样 D.分层随机抽样答案：D解析：解答过程：由于不同年级的学生身体发育情况可能存在差异，因此适合采用分层随机抽样的方法．3.已知圆柱的侧面展开图是边长为的正方形，则该圆柱的体积为（）A. B. C. D.答案：C解析：解答过程：设该圆柱的底面半径为，高为，，，得，所以该圆柱的体积．4.已知是两条不同的直线，表示平面，且，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件答案：A解析：思路：根据充分不必要条件定义判断可得答案.解答过程：若，则存在，使得，又，所以，可得，故“”是“”的充分条件；若，且，则可能在平面内，得不到，故“”不是“”的必要条件．综上，“”是“”的充分不必要条件．故选：A．5.某校高一组建了演讲，舞蹈，合唱，绘画，英语协会五个社团，高一1500名学生每人都参加且只参加其中一个社团，学校从这1500名学生中随机选取部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如图不完整的两个统计图：则选取的学生中，参加舞蹈社团的学生数为（）A.20 B.30 C.35 D.40答案：D解析：思路：根据演讲人数及所占比求出选取的总人数，再由条形图得演讲人数即可得解.解答过程：由条形图得合唱人数为70，由饼状图得合唱人数占比，因此选取的总人数为，由饼状图得演讲及舞蹈人数和占比为，人数和为，由条形图得演讲人数为30，所以舞蹈人数为40.故选：D.6.如图，，直线与分别交于点和点，且，则的值为（）A. B.2 C. D.答案：A解析：思路：过点作直线，使得，通过平行线分线段成比例定理得出​的比值，再结合，得到​的值.解答过程：因为，直线与分别交于点和点，过点作直线，使得，交于点，所以，所以，故.7.已知8个样本数据，，，…，的平均数为4，其中，则这8个数据的方差为（）A.18 B.20 C.24 D.28答案：B解析：解答过程：因8个样本数据，，，…，的平均数为4，记为，则可得，又，则．8.如图，已知四棱锥的底面为矩形，平面平面，，，M为的中点，Q为上一动点，若平面平面，则（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：当平面平面时，可分析需满足，此时利用直角三角求解即可.解答过程：如图所示，因为平面⊥平面，平面平面，平面，，所以平面，又平面，所以，又，M为的中点，所以，因为，平面，所以平面，又平面，所以，当时，平面，所以平面，又平面，所以平面平面．因为，，所以为等腰直角三角形，则，所以．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.若，，表示不同的平面，l表示直线，则下列条件能得出的是（）A.， B.，C.， D.，答案：ABC解析：思路：根据面面垂直判定定理，结合立体几何线面、面面的位置关系判定.解答过程：根据面面垂直的判定定理，，，推出，正确.已知，由线面平行的性质，可得内存在直线满足；又，因此，结合面面垂直判定可得，正确.已知，，由面面平行的性质，推出，正确.若，，则与可以平行，也可以相交，且相交时不一定垂直，无法推出，错误.10.已知一组数据，，，…，（），则下列说法正确的是（）A.该组数据的极差为B.该组数据的70%分位数为C.剔除，后得到的新数据的平均数小于原数据的平均数D.剔除，后得到的新数据的方差小于原数据的方差答案：AD解析：思路：利用极差、百分位数、平均数和方差的定义分析计算即可.解答过程：该组数据的极差为，A正确；因为，所以该组数据的70%分位数为，B错误；原数据的平均数为，新数据的平均数为，无法确定与的大小，C错误；剔除数据，后得到的新数据的波动变小，所以方差变小，Ｄ正确．11.如图，在三棱柱中，四边形是边长为2的正方形，点为棱的中点，平面，则下列说法正确的是（）A.直线与直线是异面直线B.C.三棱柱的侧面积可能为10D.三棱柱的体积的最大值为2答案：ABD解析：思路：根据异面直线的定义即可判断A；先证明平面，再根据线面垂直的性质可得，即可判断B；设，则，求出侧面积公式结合已知即可判断C；根据结合基本不等式即可判断D.解答过程：对于A，因为平面平面，故直线与直线是异面直线，故A正确；对于B，因为四边形是边长为2的正方形，所以，又，所以，因为平面平面，所以，又平面，所以平面，又平面，所以，又点为棱的中点，所以，故B正确；对于C，设，则，所以三棱柱的侧面积，该方程无解，故三棱柱的侧面积不可能为10，故C错误；对于D，由题意得，当且仅当时等号成立，故D正确.故选：ABD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.某班有男生40人，女生30人，按性别进行分层，用分层随机抽样的方法从该班抽出一个容量为28的样本，如果样本按比例分配，则女生应抽取___________人.答案：12解析：思路：由分层抽样的方法进行求解．解答过程：女生应抽取的人数为人.13.已知三棱锥的所有棱长均相等，E为的中点，点Q在上（不同于点E），则异面直线与所成角的大小为______．答案：解析：思路：由条件证明平面，结合线面垂直定义可得，由此可得结论.解答过程：如图所示，连接，由已知，，点为的中点，，，又，平面，所以平面，又平面ABE，所以，故异面直线与所成的角的大小为．14.在三棱锥中，是边长为3的等边三角形，，则点到平面的距离为__________.答案：解析：思路：取的中点，过点作直线的垂线，垂足为，证明平面，求出即可．解答过程：是边长为3的等边三角形，所以，取的中点，则，又平面，所以平面，在中，由余弦定理得，所以，过点作直线的垂线，垂足为，则，又平面，所以，又平面，所以平面，即点到平面的距离为.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.某沙稻研究中心在沙漠试验田种植甲、乙两种水稻，随机各抽取5块试验田，其亩产量数据（单位：10kg）如下：甲水稻亩产量4751495053乙水稻亩产量4148575549（1）分别求出甲、乙两种水稻亩产量的平均数与方差；（2）若要大面积种植这两种水稻中的一种，根据（1）中计算结果，分析哪个品种更适合推广，并说明理由．答案：（1）甲种水稻亩产量的平均数为，方差为，乙种水稻亩产量的平均数为，方差为，（2）甲品种水稻更适合推广．理由如下：由可知，甲、乙两种水稻亩产量的平均数相同，由可知，甲品种的产量比较稳定，所以甲品种水稻更适合推广．解析：（1）甲品种亩产量的平均数，甲品种亩产量的方差，乙品种亩产量的平均数，乙品种亩产量的方差，（2）略16.如图所示，在四棱锥中，底面ABCD为菱形，，O，M分别为，的中点．（1）证明：平面；（2）证明：平面平面．答案：（1）证明见详解.（2）证明见详解.解析：思路：（1）连接与，根据三角形中位线性质，结合线面平行判定定理可得；（2）要证明平面平面，只需要证明平面，根据等腰三角形性质、菱形性质，结合线面垂直判定定理可证.（1）因为底面为菱形，为的中点，所以与的交点为，所以为的中点，连接，因为为的中点，．又平面，平面，平面．（2）连接，底面为菱形，，，为的中点，所以，又，平面，所以平面，平面，平面平面．17.某公司为了解客户对其旗下某产品的满意程度，随机抽取了200名客户进行满意度调查，并将评分（满分100分）按，，，，分成5组，绘制成如图所示的频率分布直方图．（1）求图中a的值，并估计这200名客户的满意度评分的平均数（同一组的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）已知样本中在内的评分的平均数为64.5，方差为14，在内的评分的平均数是74.5，方差是9，求落在内的评分的平均数与方差．答案：（1），74.5．（2）平均数为70.5，方差为35解析：（1）根据题意，，解得．，估计这200名客户的满意度评分的平均数为74.5．（2）由频率分布直方图可知评分在，的频率比为，则样本中在内的评分的平均数为，样本中在内的评分的方差为18.如图，四棱锥中，底面ABCD，为等边三角形，，，M是PB上一点，且，N是PC的中点.（1）求证：；（2）若二面角的大小为，求三棱锥的体积.答案：（1）证明见解析（2）解析：思路：（1）首先证明，再利用线面垂直的定义得，再利用线面垂直的判定定理证得面，则；（2）首先证明，再求出相关三角形面积和棱锥的高，最后利用等体积法和棱锥体积公式即可得到答案.（1）因为为正三角形,所以,又,所以.又底面，底面，所以，又，平面，所以平面，又因为平面，所以.（2）因为底面，底面，所以，由已知，又，且平面，所以平面，又平面，所以，又，所以就是二面角的平面角，所以因为，则,在中，因为是正三角形，则易知，所以在中，，因为底