2025-2026学年河南省郑州市第七十四中学等校高一下学期5月阶段检测数学试题-含解析

/数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数，则（）A. B. C. D.2.某科技研发公司芯片研发、软件开发、人工智能这三个部门的员工人数分别为180，240，360．现采用分层随机抽样的方法从这780名员工中抽取65人，调研员工对工作的满意度，则人工智能部门被抽取的人数与软件开发部门被抽取的人数之差是（）A.5 B.10 C.15 D.203.在正四棱锥中，，是棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（）A. B. C. D.4.某餐馆老板为了了解顾客对餐馆的满意情况，随机抽取了12名顾客进行调查，得到他们的满意度指数分别为7，8，6，9，5，8，7，9，6，8，9，8，则这组数据的第75百分位数是（）A.6.5 B.7 C.8.5 D.95.已知复数，满足，z2=3，且，则2z1A. B. C. D.6.为了测量河对岸的塔高，某测量队选取与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D．现测得，米，在点C，D处测得塔顶A的仰角分别为，，则塔高（）A.米 B.米 C.米 D.米7.已知某圆台的上底面圆的半径，下底面圆的半径，且该圆台的上、下底面圆周上的所有点都在球O的球面上．若该圆台的体积是，则球O的表面积是（）A. B. C. D.8.已知向量，，满足a→=b→=a→+b→A. B.8 C. D.6二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知复数，（），且和均为纯虚数，则（）A. B. C. D.10.已知O是所在平面内的一点，且，直线AO与直线BC交于点E，则（）A.与反向B.C.与的面积的比值为4D.与的面积的比值为11.如图，三棱锥的所有棱长都相等，是内部一点，过点的直线与线段分别交于点，且是线段上的动点，延长，交棱的延长线于点，延长，交棱的延长线于点，连接，则下列结论正确的是（）A.若平面，则B.若平面，且，则C.存在点G，使得PG⋅D.存在点G，使得平面三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.如图，是用斜二测画法画水平放置的的直观图，轴，轴，且，，则边所对应的边_________．13.为迎接校园文化节，某校举办了经典诵读比赛，五位评委对某位参赛选手的评分分别为，，，，．已知这组数据的平均数为，方差为，则m−n=__________．14.在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且，．若，则a的取值范围是______．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.某环保小组对某市连续40天的PM2.5日均浓度（单位：）数据进行统计分析，将数据分成，，，，五组，得到如图所示的频率分布直方图．（1）求图中a的值；（2）求该市这40天中PM2.5日均浓度低于的天数；（3）估计该市PM2.5日均浓度的平均数（各组数据以该组中间值作代表）．16.如图，在棱长为4的正方体中，E，F，G分别是棱，，的中点．（1）证明：平面．（2）求三棱锥的体积．17.设向量，满足，．（1）已知向量与的夹角为．①求；②求的最小值．（2）若对任意的x，不等式xa+b≥a18.如图，在三棱柱中，，，，，D是棱的中点．（1）证明：平面．（2）在答题卡中作出二面角的平面角，并写出作法与理由．（3）在棱上是否存在一点E，使得与平面所成角的正切值为？若存在，求出的长度；若不存在，请说明理由．19.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，P是内部一点，点P到AB，BC，AC的距离分别为，记．（1）求A；（2）已知对任意的正数，，，，，，恒有，当且仅当时，等号成立，证明，并求当T取得最小值时的面积．

数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数，则（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：先利用虚数单位的幂次性质化简i3，再计算得到复数，最后根据共轭复数的定义求出。解答过程：由虚数单位的运算性质，，因此i3=所以z=(3+5i)z=3×(−又因为z=5−3i，所以其共轭复数为：2.某科技研发公司芯片研发、软件开发、人工智能这三个部门的员工人数分别为180，240，360．现采用分层随机抽样的方法从这780名员工中抽取65人，调研员工对工作的满意度，则人工智能部门被抽取的人数与软件开发部门被抽取的人数之差是（）A.5 B.10 C.15 D.20答案：B解析：思路：先计算分层随机抽样的抽样比，再分别求出人工智能部门和软件开发部门的抽取人数，作差得到结果.解答过程：总员工数为780，抽取样本量为65，因此抽样比，人工智能部门共360人，被抽取人数为，软件开发部门共240人，被抽取人数为，则人工智能部门被抽取的人数与软件开发部门被抽取的人数之差为.3.在正四棱锥中，，是棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：构造异面直线所成的角，利用三角形的边角关系求所成角的余弦.解答过程：如图：取中点，连接，，则，则或其补角为异面直线与所成的角.不妨设，则中，，，，所以.所以异面直线与所成角的余弦为.4.某餐馆老板为了了解顾客对餐馆的满意情况，随机抽取了12名顾客进行调查，得到他们的满意度指数分别为7，8，6，9，5，8，7，9，6，8，9，8，则这组数据的第75百分位数是（）A.6.5 B.7 C.8.5 D.9答案：C解析：思路：先将数据从小到大排序，再根据百分位数的计算规则求解第75百分位数.解答过程：将12个满意度指数从小到大排序为：5，6，6，7，7，8，8，8，8，9，9，9.因为，所以，因为为整数，所以第75百分位数为排序第9项和第10项数据的算术平均值，即，故选项C正确.5.已知复数，满足，z2=3，且，则2z1A. B. C. D.答案：D解析：思路：利用复数模的平方等于复数与其共轭复数的乘积，先由已知模长条件求出交叉项的值，再代入计算目标式的模长.解答过程：由，得z1+z2得4=1+3+z1z则2z得2z1−6.为了测量河对岸的塔高，某测量队选取与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D．现测得，米，在点C，D处测得塔顶A的仰角分别为，，则塔高（）A.米 B.米 C.米 D.米答案：C解析：解答过程：设塔高为，已知平面，则均为直角三角形，已知，则，故，已知，则，AD=h2由余弦定理得，即1600=4h2+27.已知某圆台的上底面圆的半径，下底面圆的半径，且该圆台的上、下底面圆周上的所有点都在球O的球面上．若该圆台的体积是，则球O的表面积是（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：根据圆台的体积公式及球的表面积公式求解即可.解答过程：设圆台的高为，圆台外接球的半径为，如图，则，由V圆台解得，设，则，因为,所以R2=x所以,所以.8.已知向量，，满足a→=b→=a→+b→A. B.8 C. D.6答案：B解析：解答过程：由a→可得a→即16=16+16+32cosa→所以的夹角为，如图所示，设，所以，所以，所以点在的外接圆上的优弧上运动，的最大值为外接圆直径，可知AB2所以，外接圆直径为ABsin2π二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知复数，（），且和均为纯虚数，则（）A. B. C. D.答案：AC解析：解答过程：z1+z2=.z1由为纯虚数得：2b−1=0b+2≠010.已知O是所在平面内的一点，且，直线AO与直线BC交于点E，则（）A.与反向B.C.与的面积的比值为4D.与的面积的比值为答案：ACD解析：思路：根据所给向量关系化简，确定点位置，结合平行四边形的性质逐项分析即可.解答过程：设分别是的中点，延长到点，使得，连接，如图，因为，所以，即，所以，又，，所以是的中点，且，即与重合，四边形为平行四边形，所以与反向，故A正确；所以由平行四边形加法法则知，故B错误；因为，所以∽，且，所以，故C正确；由，与的高相同，所以与的面积的比值为，故D正确.11.如图，三棱锥的所有棱长都相等，是内部一点，过点的直线与线段分别交于点，且是线段上的动点，延长，交棱的延长线于点，延长，交棱的延长线于点，连接，则下列结论正确的是（）A.若平面，则B.若平面，且，则C.存在点G，使得PG⋅D.存在点G，使得平面答案：ABD解析：思路：由线面平行性质及共面条件求解选项A.根据向量运算以及向量共线求出.根据向量运算表示出PG→,PM→解答过程：设正四面体棱长为，记，，，则，且.选项A.若平面，由线面平行性质平面，平面平面，所以.又M,E,G,F,N共面，平面平面，且选项B.由及，设，则，AC=3x=1，所以，故AE=13又，所以CG=13，所以PG=设PE→=PA因为，故PF→=设PB→=kPN→，由共线，所以解得k=34,λ选项C.设为向量起点，在线段上，故PG→=xc在延长线，在延长线，故PM→=ma→m>1则PG→选项D.在平面中，对线段上任意，可作交延长线于.为正三角形，∠MPG=60∘，直角△PGM中就有PM=2PG>PC=同理可得在延长线，满足.此时，PG⊥GN，GM故平面，存在这样的点，D正确.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.如图，是用斜二测画法画水平放置的的直观图，轴，轴，且，，则边所对应的边_________．答案：解析：思路：根据斜二测画法的规则还原原图形，确定原三角形为直角三角形并求出两直角边长，利用勾股定理求解.解答过程：根据斜二测画法的规则，可知原平面中，，且，，所以.13.为迎接校园文化节，某校举办了经典诵读比赛，五位评委对某位参赛选手的评分分别为，，，，．已知这组数据的平均数为，方差为，则m−n=__________．答案：解析：思路：先利用平均数公式求得的值，再结合方差公式得到m−902+n解答过程：由题意，88+m+94+n+905又因为(88−90)2+(m−90设a=m−90，b=n由完全平方公式，代入得−22=20+2ab，解得再由，代入得：

a−b2=20−2×因此m−14.在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且，．若，则a的取值范围是______．答案：解析：思路：根据余弦定理对题目条件进行化简，求出边长的关系，进而根据余弦值的范围列出不等式，再构造函数，根据函数单调性，判定自变量的范围，求出结果.解答过程：由题意可知c2=4a即，因为，即，将代入得，化简得，设函数fx根据对勾函数可知，当时，单调递减，当时，单调递增，可知f8=f32=40,即，解得，即.所以a的取值范围是.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.某环保小组对某市连续40天的PM2.5日均浓度（单位：）数据进行统计分析，将数据分成，，，，五组，得到如图所示的频率分布直方图．（1）求图中a的值；（2）求该市这40天中PM2.5日均浓度低于的天数；（3）估计该市PM2.5日均浓度的平均数（各组数据以该组中间值作代表）．答案：（1）（2）天（3）解析：思路：（1）根据频率分布直方图中，长方形的面积和为1，计算a的值；（2）根据频数等于频率和总数的乘积计算即可；（3）利用每组中间值和频率的乘积之和计算平均数．（1）由可得：，故；（2）低于的组为，，，对应的频率和为：，天数为：（天）；（3）各组中间值分别为：25，35，45，55，65，．16.如图，在棱长为4的正方体中，E，F，G分别是棱，，的中点．（1）证明：平面．（2）求三棱锥的体积．答案：（1）取的中点，连接;因为分别为的中点，故，且，故为平行四边形，则；因为平面，平面，故平面；又因为分别为的中点，故，；故；因为平面，平面，故平面；因为，且平面，则平面平面；又因为平面，则平面．（2）解析：思路：(1)通过找已知平面的平行平面，利用面面平行的性质，得到线面平行；(2)利用等体积法计算体积，通过换底的方法将未知高变为已知进行计算．（1）略（2）由(1)知，平面；故到平面的距离与到平面的距离相等；则；因为，到平面的距离为，故．17.设向量，满足，．（1）已知向量与的夹角为．①求；②求的最小值．（2）若对任意的x，不等式xa+b≥a答案：（1）①；②（2）解析：思路：（1）①利用向量数量积的运算律结合其定义表达式计算即得；②先将所求的模转化为为关于的二次函数，利用其性质即可求得；（2）设向量与的夹角为，将不等式两边同时平方，整理为关于参数的一元二次不等式恒成立问题，再利用判别式小于等于0即可求出夹角的余弦值.（1），，向量与的夹角为，则a→·b→=2×3×cos则2a故2a②因a+=4−6t当时，a+tb2取得最小值3，即的最小值为.（2）设向量与的夹角为，则a→·b→xa⇔x2a也即(x可得4(x整理得x2即对任意的，不等式恒成立.则Δ=3因为对于任意的，都有3cosθ+22解得cosθ=−23，即向量与夹角的余弦值为18.如图，在三棱柱中，，，，，D是棱的中点．（1）证明：平面．（2）在答题卡中作出二面角的平面角，并写出作法与理由．（3）在棱上是否存在一点E，使得与平面所成角的正切值为？若存在，求出的长度；若不存在，请说明理由．答案：（1）取中点，连接，，，.，，由三棱柱，得，,，是等腰直角三角形..是棱的中点，.，，是的中点，,，，,由余弦定理得，得,，，得，即.由，，，得平面,平面，,，，平面，平面，，∴B1D（2）过点作，垂足为，连接.由（1）得平面.平面，,，，平面,平面，,为二面角的平面角.（3）存在，C1连接，，过点作平面，过点作平面.，平面，平面，平面.点到平面的距离等于点到平面的距离，即.∵AA1=A1B由余弦定理得，得AA1=A为等腰直角三角形，为等边三角形.由（1）得平面，是等腰直角三角形，，是的中点，得.由，得13⋅即12×4×4×22∴EO平面，∴∠EB1O为与平面所成的角.由与平面所成角的正切值为，得tan∠EB1