2025-2026学年河南省郑州市外国语学校高二下学期期末数学试题-含解析

/数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1.已知集合，则（）A. B. C. D.2.已知，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件3.已知随机变量X服从正态分布，若，则（）A.0.15 B.0.2 C.0.3 D.与的取值有关4.3个男同学和3个女同学排成一列，进行远足拉练．要求排头和排尾必须是男同学，则不同的排法有（）种．A.36 B.108 C.120 D.1445.函数的导函数的图像如图所示，以下命题错误的是（）A.是函数的最小值B.是函数的极值C.在区间−3,1上单调递增D.在处的切线的斜率大于06.若随机变量X的分布列为X10Ppq其中，则（）A.， B.，C.， D.，7.某汽车4S店从甲乙丙三个车企分别采购同一款智能汽车500，400，100辆进行销售，甲乙丙三个车企生产的该智能汽车的智驾故障率分别为2%，3%，5%，某消费者从该4S店购买了一台此款智能汽车，在智驾过程中突然出现故障，则根据概率计算出甲乙丙三个车企应承担的责任比为（）A.2：3：5 B.10：12：5 C.5：12：10 D.5：4：18.若函数在区间内存在单调递减区间，则实数a的取值范围是（）A. B. C. D.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列说法中，正确的是（）A.回归直线就是散点图中经过样本数据点最多的那条直线B.可以用相关系数r刻画两个变量的相关程度强弱，r值越大两个变量的相关程度越强C.残差图中，残差点所在的水平带状区域越窄，则回归方程的预报精确度越高D.根据分类变量X与的成对样本数据，计算得到χ2=4.712，根据小概率值α=0.05的χ2独立性检验x0.05=3.84110.下列命题中的假命题是（）A.命题“，”的否定是：，B.设，则“”是“”的充分而不必要条件C.若，则的最小值为4D.11.小郡玩一种跳棋游戏，一个箱子中装有大小质地均相同的且标有的10个小球，每次随机抽取一个小球并放回，规定：若每次抽取号码小于或等于5的小球，则前进1步，若每次抽取号码大于5的小球，则前进2步.每次抽取小球互不影响，记小郡一共前进n步的概率为，则下列说法正确的是（）A.B.C.D.小华一共前进3步的概率最大三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.若，则__________.13.某校安排5位老师值班3天，要求每人需要值班1天或2天，且每天有2人值班，则不同的值班方案有_________种.14.已知，若存在，使得，则实数的取值范围是__________.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.在二项式的展开式中，所有项的系数之和为.（1）求展开式中的常数项；（2）求展开式中系数绝对值最大的项.16.近几年新能源汽车发展很快，2025年我国在世界纯电动车市场份额占，下面是某新能源汽车制造公司从2019年至2025年的利润情况表：年份2019202020212022202320242025年份代码1234567利润y/29333644485259（1）根据表中的数据，推断变量y与之间是否线性相关，计算y与之间的相关系数（精确到0.01），并推断它们的相关程度；（2）求出y关于的经验回归方程，并预测该新能源汽车制造公司2030年的利润.参考数据：，，.参考公式：对于一组数据，，，，①相关系数；②经验回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，.17.某实验室利用基因编辑技术改良一种小麦品种，使其对锈病产生抗性．实验中将100株小麦分为两组：实验组50株接受基因编辑处理，对照组50株未处理，实验后统计各组抗病情况如下表：抗病株数易感病株数合计实验组381250对照组252550合计6337100（1）依据小概率值的独立性检验，分析该小麦品种抗锈病与接受基因编辑处理是否有关联；（2）用接受基因编辑后小麦抗锈病株数的频率估计基因编辑后单株小麦抗锈病的概率，从接受基因编辑的小麦中随机选取10株，记其中抗锈病的株数为X，求X的数学期望与方差．附：，其中．α0.0500.0100.0013.8416.63510.82818.某商场在春节期间举行过关赢奖娱乐活动，活动设有A，B两类关卡，A，B两类关卡每一次闯关成功的概率分别为.活动参与者第一次闯关等可能的选择A，B中的一类关卡，如果闯关成功，则下一次闯关继续选择同类关卡，如果失败则选择另一类关卡，以此类推.规定A类关卡闯关成功一次得20分，B类关卡闯关成功一次得10分，闯关失败均得0分.每名活动参与者有3次闯关机会.（1）已知活动参与者甲第一次闯关成功，求甲选择的是A类关卡的概率；（2）若一名活动参与者闯关总得分不低于40分则获得现金奖励1000元，低于40分则根据分数奖励其他实物小礼品.若活动参与者有1000人，求商场支出的现金奖励总金额的期望.19.已知函数，．（1）当时，求图象在处的切线方程；（2）若不等式对恒成立，求实数的取值范围；（3）若函数有两个不同的零点，求实数的取值范围．

数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1.已知集合，则（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：先化简集合A，再根据并集的定义可得.解答过程：由不等式，可得；又因为，因此.又因为，所以.2.已知，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案：A解析：解答过程：若，则，则充分性成立；若，则满足，但不满足，故必要性不成立，故“”是“”的充分不必要条件.3.已知随机变量X服从正态分布，若，则（）A.0.15 B.0.2 C.0.3 D.与的取值有关答案：B解析：思路：根据正态分布曲线对称性可知，，即可求的值.解答过程：因为随机变量X服从正态分布，所以曲线关于对称，所以.故选：B4.3个男同学和3个女同学排成一列，进行远足拉练．要求排头和排尾必须是男同学，则不同的排法有（）种．A.36 B.108 C.120 D.144答案：D解析：思路：分步骤分析，利用排列组合的乘法原理来计算即可．解答过程：总共有3个男同学，排头必须是男同学，所以排头的选择有种，所以排尾只能从剩余2个男同学选取，有种，最后剩余4人安排在中间4个位置，有种，所以一共有种．故选：D．5.函数的导函数的图像如图所示，以下命题错误的是（）A.是函数的最小值B.是函数的极值C.在区间−3,1上单调递增D.在处的切线的斜率大于0答案：A解析：思路：根据导函数图象可判定导函数的符号，从而确定函数的单调性，得到极值点，以及根据导数的几何意义可知在某点处的导数即为在该点处的切线斜率．解答过程：根据导函数图象可知当时，，在时，，则函数在上单调递减，在上单调递增，故C正确；易知是函数的极值，故B正确；因为在上单调递增，则不是函数的最小值，故A错误；因为函数在处的导数大于0，即切线的斜率大于零，故D正确.故选：A．6.若随机变量X的分布列为X10Ppq其中，则（）A.， B.，C.， D.，答案：D解析：思路：利用两点分布的期望和方差的公式即可求解.解答过程：依题意，可知X服从两点分布，又，则q=1−p所以，.故选：D.7.某汽车4S店从甲乙丙三个车企分别采购同一款智能汽车500，400，100辆进行销售，甲乙丙三个车企生产的该智能汽车的智驾故障率分别为2%，3%，5%，某消费者从该4S店购买了一台此款智能汽车，在智驾过程中突然出现故障，则根据概率计算出甲乙丙三个车企应承担的责任比为（）A.2：3：5 B.10：12：5 C.5：12：10 D.5：4：1答案：B解析：思路：设事件分别表示购买一辆汽车是甲、乙、丙车企生产的，事件B表示智驾出现故障，由贝叶斯公式得，，即可求解.解答过程：设事件分别表示购买一辆汽车是甲、乙、丙车企生产的，则，事件B表示智驾出现故障，则由全概率公式得，由贝叶斯公式得，，，所以甲乙丙要承担的责任比为.故选：B.8.若函数在区间内存在单调递减区间，则实数a的取值范围是（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：可知在区间上有解，,等价于在区间上有解，结合存在性问题分析求解即可.解答过程：由，得，若在区间上存在单调递减区间，则在区间上有解，可得在区间上有解，又因为在区间上单调递增，则，可得，所以实数的取值范围是.故选：D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列说法中，正确的是（）A.回归直线就是散点图中经过样本数据点最多的那条直线B.可以用相关系数r刻画两个变量的相关程度强弱，r值越大两个变量的相关程度越强C.残差图中，残差点所在的水平带状区域越窄，则回归方程的预报精确度越高D.根据分类变量X与的成对样本数据，计算得到χ2=4.712，根据小概率值α=0.05的χ2独立性检验x0.05=3.841答案：CD解析：思路：本题考查经验回归直线的性质、样本相关系数的意义、残差图的作用以及独立性检验的应用.解答过程：A中，线性回归直线在散点图中可能不经过任一样本数据点，所以A错误:B中，相关系数是用来刻画两个变量的相关程度强弱，r值越大两个变量的相关程度越强，所以B错误;C中，在残差图中，若残差点所在的水平带状区域越窄，则回归方程的预报精确度越高，所以C正确;D中，因为χ2=4.712>3.841=x0.05，所以可判断10.下列命题中的假命题是（）A.命题“，”的否定是：，B.设，则“”是“”的充分而不必要条件C.若，则的最小值为4D.答案：BCD解析：思路：利用全称量词命题的否定判断A；举例说明判断BCD.解答过程：对于A，命题“，”的否定是：，，A正确；对于B，取，满足，而，则“”不是“”充分条件，B错误；对于C，取，满足，而，C错误；对于D，当时，，D错误.故选：BCD11.小郡玩一种跳棋游戏，一个箱子中装有大小质地均相同的且标有的10个小球，每次随机抽取一个小球并放回，规定：若每次抽取号码小于或等于5的小球，则前进1步，若每次抽取号码大于5的小球，则前进2步.每次抽取小球互不影响，记小郡一共前进n步的概率为，则下列说法正确的是（）A.B.C.D.小华一共前进3步的概率最大答案：BC解析：思路：根据题意直接求概率判断选项A，然后根据题意求出递推公式即可判断选项B，根据递推公式判断数列是首项为，公比为的等比数列，求通项公式判断选项C，分类讨论求解概率通项的最大值判断D.解答过程：根据题意，小郡前进1步的概率和前进2步的概率都是，所以，，故选项A错误；当时，其前进几步是由两部分组成：先前进步，再前进1步，其概率为，或者先前进步，再前进2步，其概率为，所以，故选项B正确；因为，所以，而，所以，即，故选项C正确；因为当时，，所以，又，所以数列是首项为，公比为的等比数列.所以，所以.当n为奇数时，为偶数，则，此时数列单调递增，所以；当n为偶数时，为奇数，则，此时数列单调递减，所以；综上，当时，概率最大，即小华一共前进2步的概率最大，故选项D错误.故选：BC三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.若，则__________.答案：1120##0.55解析：思路：根据题意，求得，得到，结合条件概率的计算公式，即可求解.解答过程：因为，所以，所以，所以，所以.故答案为：1113.某校安排5位老师值班3天，要求每人需要值班1天或2天，且每天有2人值班，则不同的值班方案有_________种.答案：180解析：思路：根据题意，先确定总值班人次，确定恰有1人值班两天，再对剩余4人，分配情况讨论即可求解.解答过程：总值班人次为3×2=6，每人需要值班1天或2天，因此唯一可能的分配是其中1人值班2天，另外4人各值班1天，先从5人中选出值班两天的1人，有种，假设选出的1人为甲，需要值班2天，另外4人各值班1天，第一步，先确定甲值班哪两天：，第二步，从另外4人中，确定两人值班剩下的那一天，，第三步，剩下两人分别和甲组合值班，，所以不同的值班方案有，故答案为：18014.已知，若存在，使得，则实数的取值范围是__________.答案：解析：思路：先对已知等式变形构造函数，根据其单调性与特殊值确定，再参变分离构造函数，分析其单调性与值域得到的取值范围.解答过程：由题意可得：，即，令，即存在使得，构造，，由，可得t<0，由，可得，所以在单调递减，在0,+∞单调递增，又，所以方程存在唯一解，所以存在使得，等价于存在，使得，参变分离得到，令，，，易得当时，h′x<0，当时，，所以，在单调递减，在单调递增，最小值为，当时，，所以，的值域为：，所以实数的取值范围是.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.在二项式的展开式中，所有项的系数之和为.（1）求展开式中的常数项；（2）求展开式中系数绝对值最大的项.答案：（1）（2）解析：思路：（1）利用二项式的展开式的通项公式计算即可.（2）利用数列最大项的求法列不等式，解不等式即可.（1）二项式的展开式中，所有项的系数之和为.，解得.二项式的展开式通项公式为.令，得.所以展开式中的常数项为.（2）设第k+1，解得，又，..即展开式中系数绝对值最大的项是.16.近几年新能源汽车发展很快，2025年我国在世界纯电动车市场份额占，下面是某新能源汽车制造公司从2019年至2025年的利润情况表：年份2019202020212022202320242025年份代码1234567利润y/29333644485259（1）根据表中的数据，推断变量y与之间是否线性相关，计算y与之间的相关系数（精确到0.01），并推断它们的相关程度；（2）求出y关于的经验回归方程，并预测该新能源汽车制造公司2030年的利润.参考数据：，，.参考公式：对于一组数据，，，，①相关系数；②经验回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，.答案：（1），可以推断变量y与线性相关且相关程度很强.（2），83亿元.解析：思路：（1）计算相关系数，根据相关系数的绝对值大小判断相关程度；（2）求出线性回归方程，利用回归方程估计即可.（1）由题设，且，，，，由于，可以推断变量y与线性相关且相关程度很强.（2）因为，，所以y关于的经验回归方程为，当2030年对应的年份代码时，y=5×12+23=83，即预测该新能源汽车制造公司2030年的利润为83亿元.17.某实验室利用基因编辑技术改良一种小麦品种，使其对锈病产生抗性．实验中将100株小麦分为两组：实验组50株接受基因编辑处理，对照组50株未处理，实验后统计各组抗病情况如下表：抗病株数易感病株数合计实验组381250对照组252550合计6337100（1）依据小概率值的独立性检验，分析该小麦品种抗锈病与接受基因编辑处理是否有关联；（2）用接受基因编辑后小麦抗锈病株数的频率估计基因编辑后单株小麦抗锈病的概率，从接受基因编辑的小麦中随机选取10株，记其中抗锈病的株数为X，求X的数学期望与方差．附：，其中．α0.0500.0100.0013.8416.63510.828答案：（1）可以认为该小麦抗锈病与接受基因编辑处理有关联．（2）数学期望7.6；方差1.824解析：思路：（1）代入卡方检验公式计算统计量，将计算结果和小概率值对应的临界值对比，即可得到对应的独立性检验结论．（2）首先用样本频率估计总体概率，得到单株抗病概率p=0.76，由每株抗病结果相互独立，符合二项分布的特征，即X（1）零假设：小麦抗锈病与接受基因编辑处理无关联．由列联表的数据，得χ2依据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，可以认为该小麦抗锈病与接受基因编辑处理有关联．（2）由题意，估计经过基因编辑处理的单株小麦抗锈病的概率为p=随机变量X的可能取值为0，1，2，…，10，由题知X∼B10,0.76DX18.某商场在春节期间举行过关赢奖娱乐活动，活动设有A，B两类关卡，A，B两类关卡每一次闯关成功的概率分别为.活动参与者第一次闯关等可能的选择A，B中的一类关卡，如果闯关成功，则下一次闯关继续选择同类关卡，如果失败则选择另一类关卡，以此类推.规定A类关卡闯关成功一次得20分，B类关卡闯关成功一次得10分，闯关失败均得0分.每名活动参与者有3次闯关机会.（1）已知活动参与者甲第一次闯关成功，求甲选择的是A类关卡的概率；（2）若一名活动参与者闯关总得分不低于40分则获得现金奖励1000元，低于40分则根据分数奖励其他实物小礼品.若活动参与者有1000人，求商场支出的现金奖励总金额的期望.答案：（1）（2）96000元解析：思路：（1）根据全概率公式求解甲第一次闯关成功的概率，进而利用条件概率公式即可求解；（2）先求解一个参与者得分大于等于40分的概率，即可根据，由二项分布的期望公式求解.（1）设事件表示“第i次选择