2025-2026学年河南省周口市商水县第一高中高一下学期期末考试数学试题-含解析

/数学一、单选题1.已知i是虚数单位，则复数的虚部为（）A.1 B. C.i D.2.下列说法正确的是（）A.向量AB与向量BA是相等向量．B.向量的模是一个正实数．C.与实数类似，对于向量，b有a=b，a>bD.若两个向量是共线向量，则这两个向量所在的直线平行或重合．3.如图，下边长方体中由上边的平面图形围成的是A. B.C. D.4.已知一组数据为20，30，40，50，50，60，70，80，其平均数、第60百分位数和众数的大小关系是（）A.平均数第60百分位数众数 B.平均数<第60百分位数<众数C.第60百分位数<众数<平均数 D.平均数=第60百分位数=众数5.已知甲、乙两名同学在高一的6次数学周测的成绩统计如图，则下列说法不正确的是（）A.甲的中位数高于乙的中位数B.若甲、乙两组数据的平均数分别为，则C.甲成绩的极差大于乙成绩的极差D.甲成绩比乙成绩稳定6.某校课外活动兴趣小组设计一控制模块，电路如右图所示，当且仅当电子元件A，B至少有一个正常工作，且电子元件C正常工作，控制模块才能正常工作．已知电子元件A，B，C正常工作的概率分别为0.8，0.7，0.6，则该控制模块能正常工作的概率为（）A.0.704 B.0.644 C.0.564 D.0.3367.已知长方体,,,,则异面直线与所成角的余弦值为A. B. C.63 D.138.不透明口袋中装有编号为1，2，3的三个小球，小球除编号外完全相同．现从中有放回的抽取次小球（每次取一个），记取出的个球的最小编号为2的概率为（）A. B.C. D.二、多选题9.已知向量a=3,−1，A.a+b=19 B.C.cosa,b10.若，，，则（）A.事件A与B不互斥 B.事件A与B对立C.事件A与B互相独立 D.11.如图所示，在棱长为1的正方体中，为BD的中点，直线A1C交平面于点M，则下列结论正确的是（）A.，M，三点共线B.平面C.直线与平面ABC1DD.B1到平面的距离为2三、填空题12.在复平面内，O是原点，向量对应的复数是2＋i，若点A关于虚轴的对称点为点B，则点B对应的复数是______.13.小明为了解自己每天花在体育锻炼上的时间（单位：min），连续记录了6天数据：132，m，128，n，136，126，若该样本的中位数和平均数均为131，则该样本的标准差是______．14.已知圆柱的轴截面是周长为的矩形，其上下底面的圆都在同一球面上，当圆柱的侧面积最大时，该球的体积为_________.四、解答题15.已知复数.（1）若复数z是实数，求实数的值.（2）若在复平面内，复数z表示的点在第四象限，求实数的取值范围.16.如图，圆锥SO的侧面展开图是半径为2的半圆，AB，CD为底面圆的两条直径，P为SB的中点.（1）求证：SA//平面PCD（2）求圆锥SO的表面积.17.已知的周长为，且.（1）求边的长；（2）若的面积为，求角C的度数.18.周口市举行“高一年级π节数学竞赛”，竞赛分为初赛和决赛两个阶段，为了解初赛情况，现从某中学高一年级随机抽取了200名学生，记录他们的初赛成绩，将数据按照，，，，分成5组，制成了如图所示的频率分布直方图．（1）求频率分布直方图中a的值，并估计高一年级初赛成绩的众数和平均成绩（同一组中的数据用该组区间的中点值代替）．（2）按照分层抽样从和两组中随机抽取了5名学生，现从已抽取的5名学生中随机抽取2名，求至少有1名学生的成绩在内的概率．19.如图所示，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，∠BCD=60°，E是CD的中点，PA⊥底面ABCD，PA=2.（1）证明:平面PBE⊥平面PAB；（2）求点D到平面PBE的距离；（3）求平面PAD和平面PBE所成锐二面角的余弦值.

数学一、单选题1.已知i是虚数单位，则复数的虚部为（）A.1 B. C.i D.答案：B解析：解答过程：，所以z的虚部为.2.下列说法正确的是（）A.向量AB与向量BA是相等向量．B.向量的模是一个正实数．C.与实数类似，对于向量，b有a=b，a>bD.若两个向量是共线向量，则这两个向量所在的直线平行或重合．答案：D解析：解答过程：对于A，因为向量AB与向量BA是相反向量，不是相等向量，故A错误；对于B，因为向量的模是一个非负实数，故B错误；对于C，与实数不一样，两个实数可以比较大小，但两个向量不能比较大小，故C错误；对于D，若两个向量是共线向量，则这两个向量所在的直线可以平行，也可以重合，故D正确.3.如图，下边长方体中由上边的平面图形围成的是A. B.C. D.答案：D解析：思路：根据模型中相邻的面折成长方体以后仍相邻，即可作出判断．解答过程：解：D折成的长方体有两组对面是黑色的，一组对面是白色的．

故选：D．方法提示：本题考查了图形的折叠，考查空间想象能力是此类题目的目的．4.已知一组数据为20，30，40，50，50，60，70，80，其平均数、第60百分位数和众数的大小关系是（）A.平均数第60百分位数众数 B.平均数<第60百分位数<众数C.第60百分位数<众数<平均数 D.平均数=第60百分位数=众数答案：D解析：思路：从数据为20，30，40，50，50，60，70，80中计算出平均数、第60百分位数和众数，进行比较即可.解答过程：解：平均数为，，∴第5个数50即为第60百分位数.众数为50，∴它们的大小关系是平均数=第60百分位数=众数.故选：D.方法提示：本题主要考查平均数、百分位数、众数的求法，属于基础题.5.已知甲、乙两名同学在高一的6次数学周测的成绩统计如图，则下列说法不正确的是（）A.甲的中位数高于乙的中位数B.若甲、乙两组数据的平均数分别为，则C.甲成绩的极差大于乙成绩的极差D.甲成绩比乙成绩稳定答案：C解析：思路：根据甲、乙两名同学在高一年级的6次数学周测的成绩统计的折线图，根据中位数，平均数，极差和数据的波动性，逐项分析判断，即可求解.解答过程：由甲、乙两名同学在高一年级的6次数学周测的成绩统计的折线图，对于A中，由统计的折线图知，甲同学的中位数大于，乙同学的中位数小于，所以甲的中位数高于乙的中位数，所以A正确；对于B中，由统计的折线图知，甲同学只有第2次的周测成绩低于乙同学，其他次的周测成绩都高于乙同学，可得，所以B正确；对于C中，因为极差为样本数据的最大值与最小值的差，由统计的折线图知，甲同学的周测成绩的极差小于乙同学周测成绩的极差，所以C不正确；对于D中，由统计的折线图知，甲同学周测成绩的波动性小于乙同学成绩的波动性，所以甲同学的周测成绩比乙同学的周测成绩更稳定，所以D正确.故选：C.6.某校课外活动兴趣小组设计一控制模块，电路如右图所示，当且仅当电子元件A，B至少有一个正常工作，且电子元件C正常工作，控制模块才能正常工作．已知电子元件A，B，C正常工作的概率分别为0.8，0.7，0.6，则该控制模块能正常工作的概率为（）A.0.704 B.0.644 C.0.564 D.0.336答案：C解析：思路：先根据互斥事件和对立事件的概率公式，求得元件A与B至少有一个正常工作的概率，再结合独立事件的概率乘法公式，即可求解.解答过程：由题意，电子元件A与B至少有一个正常工作的概率为：所以该控制模块能正常工作的概率为.故选：C.7.已知长方体,,,,则异面直线与所成角的余弦值为A. B. C.63 D.13答案：B解析：思路：画出长方体,由长方体性质可知AB与所成的角即为异面直线与所成角,即为.根据线面垂直关系及线段长度,即可求得.解答过程：画出长方体如下图所示:在长方体中，，则AB与所成的角即为异面直线与所成角,即为或其补角，因为AB⊥平面，平面，所以AB⊥BC因为,，所以，故选:B方法提示：本题考查了异面直线夹角的求法,长方体的几何性质的应用,属于基础题.8.不透明口袋中装有编号为1，2，3的三个小球，小球除编号外完全相同．现从中有放回的抽取次小球（每次取一个），记取出的个球的最小编号为2的概率为（）A. B.C. D.答案：C解析：思路：列出事件包含的所有情况，再利用对立事件的概率公式计算求解.解答过程：每次取球，取到每个球的概率均为13若取出的个球的最小编号为2，则所有球的编号均为2或3，且至少有个编号为2，取出的个球的编号均为2或3的概率为；取出的个球编号全部为3的概率为；故取出的个球的最小编号为2的概率为.故选：C二、多选题9.已知向量a=3,−1，A.a+b=19 B.C.cosa,b答案：BD解析：解答过程：对于A，因为a+b=对于B，若两个向量可作为基底，则这两个向量不共线.因为a=3,−1，对于a与b，因为3×2−1×−1=6+1=7≠0，所以a与b不共线，则a与对于C，根据向量夹角余弦值的计算公式，所以cosa对于D，因为5a→−根据两向量垂直，则它们的数量积为0.因为5a所以5a10.若，，，则（）A.事件A与不互斥 B.事件A与对立C.事件A与互相独立 D.答案：ACD解析：思路：根据互斥事件和对立事件的概念，以及积事件的概念，判断选项A，B正误；根据事件相互独立的概念，判断选项C的正误，根据和事件概率的求法，判断选项D的正误；解答过程：已知，即事件同时发生的概率不为，所以事件A与不互斥，所以A正确；已知事件A与不互斥，则事件A与不对立，所以B错误；已知，则，因为，所以，所以事件A与互相独立，所以C正确；可知，所以D正确；故选：ACD.11.如图所示，在棱长为1的正方体中，为BD的中点，直线A1C交平面于点M，则下列结论正确的是（）A.C1，M，三点共线B.平面C.直线与平面ABC1DD.B1到平面的距离为2答案：ABC解析：思路：利用正方体的特征证得点M在A1C上可知A项正确；利用线面垂直的判断定理可得平面，故项正确；首先找到线面角，然后利用三角函数值确定线面角的大小即可；由三棱锥的等体积法可得点面距离．解答过程：由于A1C为正方体A1C在平面ACC1A1内，据此可得平面又A1C交平面于点M，故点M在A1C很明显平面ACC1A1，平面ACC同理，，于点，故平面，故项正确；设正方体的棱长为1，直线A1C与平面ACC1A点到平面ACC1A1的距离为，故，，故C项正确；设B1到平面的距离为h，，，解得，故D项错误；故选：ABC．三、填空题12.在复平面内，O是原点，向量对应的复数是2＋i，若点A关于虚轴的对称点为点B，则点B对应的复数是______.答案：－2＋i解析：思路：由题设可得点B对应坐标，据此可得B对应复数.解答过程：由题设可得A对应坐标为，则，从而对应复数为.13.小明为了解自己每天花在体育锻炼上的时间（单位：min），连续记录了6天数据：132，m，128，n，136，126，若该样本的中位数和平均数均为131，则该样本的标准差是______．答案：解析：思路：利用中位数与平均数的概念先确定，再根据方差与标准差的算法计算即可.解答过程：由题意可知，所以，将已知数据排序有，该组数据的中位数为第3个和第4个数据的平均数，所以第3个和第4个数据的和为262，不妨设，则第3个和第4个数据应为，则，经验证符合题意，则该组数据的方差为，所以标准差为.故答案为：14.已知圆柱的轴截面是周长为的矩形，其上下底面的圆都在同一球面上，当圆柱的侧面积最大时，该球的体积为_________.答案：解析：思路：根据条件，利用基本不等式，得到圆柱底面半径和高，进而求出外接球的半径，再利用球的体积公式，即可求解.解答过程：设圆柱底面半径为，高为h，则轴截面周长为，即，侧面积，当，即，时等号成立，此时侧面积最大，设圆柱外接球的半径为，又外接球直径等于轴截面对角线长，所以，得到，所以球的体积.四、解答题15.已知复数.（1）若复数z是实数，求实数的值.（2）若在复平面内，复数z表示的点在第四象限，求实数的取值范围.答案：（1）或（2）解析：思路：（1）根据复数z的虚部为0求解即可；（2）根据复数z的实部大于0，虚部小于0求解即可.（1）因为复数z是实数，所以，即，解得或m=−2；所以实数的值为或；（2）因为复数z表示的点在第四象限，所以，即，解得或，所以实数的取值范围为.16.如图，圆锥SO的侧面展开图是半径为2的半圆，AB，CD为底面圆的两条直径，P为SB的中点.（1）求证：SA//平面PCD（2）求圆锥SO的表面积.答案：（1）证明见解析；（2）.解析：思路：（1）连结OP，由中位线定理得到OP//SA，由线面平行判定定理得证；（2）分别计算侧面积和底面积，求和得表面积．解答过程：解∶（1）连结OP，∵O,P分别为AB,SB的中点，∴OP//SA，又∵SA⊄平面PCD,OP⊂平面PCD,//平面PCD；（2）记底面圆的半径为r，侧面展开图扇形的半径为R，且R=2，则，得r=1，又侧面展开图为半圆，∴S底=,S侧=,S表=17.已知的周长为，且.（1）求边AB的长；（2）若的面积为，求角C的度数.答案：（1）（2）解析：思路：（1）由正弦定理将中的角化为边，得，再结合的周长即可得解；（2）由，得，再根据余弦定理即可求得的值，从而得解．（1）解：由正弦定理知，，，的周长为，，．（2）解：的面积，，由（1）知，，，由余弦定理知，，．18.周口市举行“高一年级π节数学竞赛”，竞赛分为初赛和决赛两个阶段，为了解初赛情况，现从某中学高一年级随机抽取了200名学生，记录他们的初赛成绩，将数据按照，，，，分成5组，制成了如图所示的频率分布直方图．（1）求频率分布直方图中的值，并估计高一年级初赛成绩的众数和平均成绩（同一组中的数据用该组区间的中点值代替）．（2）按照分层抽样从和两组中随机抽取了5名学生，现从已抽取的5名学生中随机抽取2名，求至少有1名学生的成绩在内的概率．答案：（1）a=0.020（2）解析：思路：（1）根据频率分布直方图的性质及众数、平均数定义求解即可.（2）结合分层抽样方法及古典概型的概率计算公式求解即可.（1）由频率分布直方图得，10×0.005+a+0.030+0.035+0.010由频率分布直方图可知初赛成绩的众数为80+902估计初赛成绩的平均数为：x=55×0.05+65×0.2+75×0.3+85×0.35+95×0.1=77.5所以a=0.020（2）由（1）知，成绩在，的频率之比为0.2∶0.3=2∶3，则在中随机抽取了5×25=2人，记为，b在中随机抽取了5×35=3人，记为，，，从5人中随机抽取2人的样本空间为：Ω=ab设事件“有1名或2名学生的成绩在内”，则D=因此PD所以有1名或2名学生的成绩在内的概率为．19.如图所示，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，∠BCD=60°，E是CD的中点，PA⊥底面ABCD，PA=2.（1）证明:平面PBE⊥平面PAB；（2）求点D到平面PBE的距离；（3）求平面PAD和平面PBE所成锐二面角的余弦值.答案：（1）证明见解析；（2）55；（3）解析：思路：(1)利用面面垂直的判定定理，转化为证明平面.(2)在三棱锥中，利用等体积法求点到面的距离.(3