2025-2026学年河南省驻马店市青铜鸣高二下学期5月阶段检测（A卷）数学试题-含解析

/数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知复数满足，则复数的虚部为（）A.2 B.2 C.4 D.42.设全集U=x∈Z−4≤A. B. C. D.3.已知椭圆的短轴的长为6，则该椭圆的离心率（）A. B. C. D.4.过点P3, 6作圆C:x−12A. B. C. D.5.已知函数fxA.函数的定义域为且x≠4kπB.函数的值域为C.函数的最小正周期为D.函数的图象关于直线对称6.已知定义域为的函数满足：∀x∈R, f6−A. B.的图象关于直线对称C.在时取最小值 D.f2+f7.在中，内角的对边分别为，若sin2A−sin2B=sinCsinA. B. C. D.8.已知函数，若，则的大小关系不可能是（）A. B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知函数fx=x3+f′A. B.的单调递减区间为C.的极小值为1 D.在上的最大值为310.如图，在正四棱锥中，，点为侧棱的中点，则下列说法正确的有（）A.平面B.异面直线与所成的角为C.平面截该正四棱锥所得的截面图形的周长为D.该正四棱锥外接球的表面积为11.设数列满足an+1=12ann∈N∗，其中a1A. B.与均为数列的最大项C.的最小值为28 D.数列的前200项的和为100三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知平面向量满足，且，则向量夹角的余弦值为___________．13.已知抛物线的焦点为，过的直线与抛物线交于两点，若，则___________14.某科技公司举办智能机器人挑战赛，赛场上有甲、乙、丙三款不同型号的机器人各一台，它们独立完成指定任务．已知甲机器人完成任务的概率为，乙机器人完成任务的概率为，丙机器人完成任务的概率为，各机器人能否完成任务相互独立，设为成功完成任务的机器人台数，则___________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.某健康机构为研究成年人的年龄与收缩压的相关关系，随机记录了5名成年人的年龄（单位：岁）与收缩压（单位：mmHg），数据如下表：年龄3540455055收缩压114125126132133收缩压为血压偏高，为血压正常．（1）若用线性回归模型拟合与的关系，求关于的经验回归方程；（2）从这5人中随机抽取2人，求恰好抽到1名血压偏高的人的概率．附：经验回归方程的斜率及截距的最小二乘估计分别为．16.已知数列满足，且nan+1（1）证明：数列是等差数列，并求的通项公式；（2）设为数列的前项和，求使不等式成立的正整数的取值集合.17.如图1，四边形是边长为4的正方形，在扇形中，，点是弧的中点．现将正方形沿进行翻折，使得点到达点的位置，点到达点的位置，如图2所示，其中．（1）证明：平面；（2）求四棱锥的体积；（3）求平面与平面夹角的余弦值．18.已知双曲线的实轴的长为，离心率．（1）求双曲线的标准方程；（2）过点T1, 0的直线与双曲线交于两点，求线段的中点的轨迹方程；（3）设为双曲线上任意一点，过作的两条渐近线的垂线，垂足分别为.的面积是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由．19.已知函数，函数，为实数．（1）当时，求曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；（2）若存在正实数，使不等式成立，求的取值范围；（3）若函数有两个零点，证明：．

数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知复数满足，则复数的虚部为（）A.2 B.2 C.4 D.4答案：D解析：解答过程：因为，所以，故复数的虚部为2.设全集U=x∈Z−4≤A. B. C. D.答案：D解析：思路：本题首先可根据题意确定集合和集合中包含的元素，然后根据补集的相关性质即可得出结果.解答过程：因为U={x∈因为M={x∈则∁U3.已知椭圆的短轴的长为6，则该椭圆的离心率（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：由题意求出的值，再由离心率公式求解即可.解答过程：因为椭圆的短轴的长为6，所以，解得，所以，所以离心率.4.过点P3, 6作圆C:x−12A. B. C. D.答案：B解析：思路：根据两点间距离公式可得，即可由勾股定理求解PA=PC解答过程：由C:(x所以PC=3−12故S△所以四边形的面积为2S△5.已知函数fxA.函数的定义域为且x≠4kπB.函数的值域为C.函数的最小正周期为D.函数的图象关于直线对称答案：C解析：思路：对A直接由正切函数的性质可得函数的定义域并判断可得；对B可将函数化简为fx解答过程：对于A，由正切函数的性质可得x2又由x2因此，函数的定义域为且x≠2kπ对于B，由f=tan因为函数的定义域为且x≠2kπ所以且，即x+π3因此sinx+π对于C，由上分析知fx=2且的最小正周期为，因此函数的最小正周期为，故C正确；对于D，由上分析知fx=2fπ显然等式不恒成立，因此函数的图象不关于直线对称，故D错误.6.已知定义域为的函数满足：∀x∈R, f6−A. B.的图象关于直线对称C.在时取最小值 D.f2+f答案：D解析：解答过程：令，则2f3=4，故因为∀x∈R, 因为∀x1, 所以在上单调递增，因为的函数图象关于点中心对称，所以在上单调递增，则在上单调递增，则无最小值，故C错误；f27.在中，内角的对边分别为，若sin2A−sin2B=sinCsinA. B. C. D.答案：A解析：思路：利用正弦定理和余弦定理即可求得，结合面积公式及正弦定理可求外接圆的半径，进而可求周长；解答过程：由sin2A−sin2因为，所以，又因，则，由余弦定理，cosA=c2+b2在中，由S=12ac由正弦定理得的外接圆的半径为r=a所以外接圆的周长.8.已知函数，若，则的大小关系不可能是（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：对函数求导，根据导数得到函数的单调性，利用函数的单调性依次判断即可.解答过程：已知函数，求导得f'x=2x−所以当x<1ln2时，；当x所以函数的单调递增区间是−∞,1ln2，单调递减区间是对于A，假设都在单调递增区间，若c<b<a<1对于B，假设都在单调递减区间，若1ln2<a<b对于C，假设在单调递增区间，在单调递减区间，此时取，，，有，则f0=020=0，f2对于D，假设都在单调递增区间，若，则有，不符合题意；假设都在单调递减区间，若，则有fb<f假设在单调递增区间，在单调递减区间，若，则有fc>fb假设在单调递增区间，在单调递减区间，若，则有fc>fa因此，是不可能的，故D错误.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知函数fx=x3+f′A. B.的单调递减区间为C.的极小值为1 D.在上的最大值为3答案：BCD解析：思路：先求出导函数得出判断A，进而得出函数单调性及极值判断B，C，最后得出最值判断D.解答过程：函数fx=x3+f′1x函数f'x=3x2−6x函数f'x=3x2−6x=3xx−2所以函数的极小值为f2由上分析，时，函数单调递增，时，函数单调递减，时，函数单调递增，所以函数的极大值为f0=0故在上的最大值为3，故D正确.10.如图，在正四棱锥中，，点为侧棱的中点，则下列说法正确的有（）A.平面B.异面直线与所成的角为C.平面截该正四棱锥所得的截面图形的周长为D.该正四棱锥外接球的表面积为答案：ACD解析：思路：根据线面平行的判定定理证明线面平行判断A，求出异面直线所成角判断B，作出题设截面求出周长判断C，求出外接球半径，从而求得表面积判断D.解答过程：对于A，连接与交于点，则是中点，连接，又是中点，所以，因为平面，平面，所以平面，A正确；对于B，因为，所以（它是等腰三角形的底角为锐角）是异面直线与所成的角，在等腰中，，所以，由余弦定理得，由正弦定理，，显然为锐角，所以，即异面直线与所成的角不是，B错；对于C，作交于.连接，则四边形即为截面，由正四棱锥性质得DF=AE=13，对于D，由已知，，所以四棱锥的外接球的球心在线段上，设外接球半径为，由得，解得，所以外接球的表面积为，D正确.11.设数列满足an+1=12ann∈N∗，其中a1A. B.与均为数列的最大项C.的最小值为28 D.数列的前200项的和为100答案：ABC解析：思路：由题意可得数列是等比数列，求得通项公式为，进而求得，即可判断A；根据二次函数及指数函数的性质判断B；求得数列是等差数列，且，从而求得，由二次函数的性质判断C；利用分组求和，求出数列的前200项的和，从而判断D.解答过程：因为，所以数列是等比数列，其首项为，公比，所以，又因为，所以，故A正确；令，，所以当或时，取最大值，又因为是单调递增函数，所以当或时，最大，故B正确；因为，所以，所以数列是等差数列，公差为1，首项，所以，又因为，由二次函数的性质可知当或时，有最小值，为，故C正确；因为数列的前200项的和为：，故D错误.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知平面向量满足，且，则向量夹角的余弦值为___________．答案：解析：思路：由向量垂直的数量积表示计算.解答过程：因为，所以，所以.13.已知抛物线的焦点为，过的直线与抛物线交于两点，若，则___________答案：解析：思路：通过点确定抛物线方程，从而确定直线方程，二者联立即可求得点的横坐标，最后利用过焦点的弦长公式即可求解.解答过程：根据题意，点在抛物线上，则有42=2p×4，解得因此抛物线方程为，焦点，如图所示，直线过焦点且与抛物线交于，则直线的斜率为，方程为，联立，解得x1=4y1=4和x2根据过焦点的弦长公式，AB=14.某科技公司举办智能机器人挑战赛，赛场上有甲、乙、丙三款不同型号的机器人各一台，它们独立完成指定任务．已知甲机器人完成任务的概率为，乙机器人完成任务的概率为，丙机器人完成任务的概率为，各机器人能否完成任务相互独立，设为成功完成任务的机器人台数，则___________．答案：解析：思路：先列出随机变量的所有可能取值，再根据相互独立事件的概率乘法公式分别计算各取值对应的概率，得到分布列后，利用数学期望的定义式计算期望.解答过程：设甲、乙、丙三台机器人完成任务分别为事件，则，，，且相互独立.的可能取值为.当时，三台机器人均未完成任务：当时，恰有一台机器人完成任务：,当时，恰有两台机器人完成任务：,,当时，三台机器人均完成任务：,可得的分布列：因此，数学期望为：.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.某健康机构为研究成年人的年龄与收缩压的相关关系，随机记录了5名成年人的年龄（单位：岁）与收缩压（单位：mmHg），数据如下表：年龄3540455055收缩压114125126132133收缩压为血压偏高，为血压正常．（1）若用线性回归模型拟合与的关系，求关于的经验回归方程；（2）从这5人中随机抽取2人，求恰好抽到1名血压偏高的人的概率．附：经验回归方程的斜率及截距的最小二乘估计分别为．答案：（1）y=0.9（2）解析：解答过程：（1），y=114+125+126+132+133i=1i=1则b=i=1所以关于的经验回归方程为y=0.9x+85.5（2）由题可知，血压偏高的共2人，血压正常的有3人，从5人中抽2人可能的组合有种，恰好1人偏高、1人正常的组合有种，所以从这5人中随机抽取2人，求恰好抽到1名血压偏高的人的概率．16.已知数列满足，且nan+1（1）证明：数列是等差数列，并求的通项公式；（2）设为数列的前项和，求使不等式成立的正整数的取值集合.答案：（1）由，得，即，又，所以数列是首项为、公差为的等差数列，所以ann=2+（2）解析：思路：（1）直接由递推关系可得，进而可证明数列是等差数列，并可得通项公式；（2）由裂项相消法求和可得，进而可将所求不等式转化为，再构造函数fx=x（1）略（2）由（1）知an=n故Sn代入，整理得．设fx=x当时，，单调递减；当时，，单调递增，又f1所以不等式的正整数解集为.故使不等式成立的正整数的取值集合为．17.如图1，四边形是边长为4的正方形，在扇形中，，点是弧的中点．现将正方形沿进行翻折，使得点到达点的位置，点到达点的位置，如图2所示，其中．（1）证明：平面；（2）求四棱锥的体积；（3）求平面与平面夹角的余弦值．答案：（1）因为四边形是边长为4的正方形，所以，翻折后，，又，平面，所以平面，即平面，所以平面．（2）（3）解析：思路：（1）运用线面垂直的判定定理，证明一条直线垂直于平面内两条相交直线；再结合翻折前后的平行关系，将线面垂直进行传递；（2）利用余弦定理和等腰三角形的三线合一性质求出底面四边形的面积，再根据棱锥体积公式代入已知高计算体积；（3）通过建立空间直角坐标系，分别求出两个平面的法向量，并利用向量夹角公式计算两平面夹角的余弦值.（1）略（2）连接，在中，由余弦定理得．因为，易知，故四边形的面积为S=12AB由（1）得四棱锥的高，所以四棱锥的体积．（3）取的中点，连接，则，易知两两垂直，则以为原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系．则，因为为边长为4的等边三角形，所以，所以．设平面的法向量为，则OG→⋅m→=0设平面的法向量为，则MG→⋅n→=0设平面与平面夹角为，则cosθ18.已知双曲线的实轴的长为，离心率．（1）求双曲线的标准方程；（2）过点T1, 0的直线与双曲线交于两点，求线段的中点的轨迹方程；（3）设为双曲线上任意一点，过作的两条渐近线的垂线，垂足分别为.的面积是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由．答案：（1）（2）或（3）是，解析：思路：1）根据实轴的长为，离心率，求出即可求得双曲线的标准方程;（2）假设直线的方程与双曲线的标准方程联立，通过韦达定理表示出线段的中点的坐标，从而求出轨迹方程；（3）设，求出点双曲线两条渐近线的距离，再利用分别取两条渐近线的法向量为求出两条渐近线的夹角，由于与两条渐近线垂直，故与该夹角互补，从而表示出面积，再判断是否为定值.（1）由双曲线的实轴的长为，得，所以，又，所以，所以，所以双曲线的标准方程为．（2）当直线的斜