2025-2026学年黑龙江海林市朝鲜族中学高二下学期第二次考试数学试题-含解析

/数学一、单项选择题（每小题5分共40分）1.某农场给某种农作物的施肥量x(单位：吨)与其产量y(单位：吨)的统计数据如表：施肥量x(吨)2345产量y(吨)26394954由于表中的数据，得到回归直线方程为，当施肥量时，该农作物的预报产量是()

A.72.0 B.67.7 C.65.5 D.63.62.已知随机变量，且，则（）A. B. C. D.3.某会议室第一排有9个座位，现安排4人就座，若要求每人左右均有空位，则不同的坐法种数为（）A.8 B.16 C.24 D.604.在的展开式中，的系数为（）．A.120 B.80 C.40 D.5.盒中有个玩具，其中有个是坏的，现从盒中随机地抽取个，在至少一个玩具是坏的条件下，另一个是好的的概率是（）A. B. C. D.6.若函数的图象上存在与直线垂直的切线，则实数a的取值范围是A. B. C. D.7.某学校在校门口建造一个花圃，花圃分为9个区域（如图），现要在每个区域栽种一种不同颜色的花，其中红色、白色两种花被随机地分别种植在不同的小三角形区域，则它们在不相邻（没有公共边）区域的概率为（）A. B. C. D.8.设函数，且在上满足，则实数a的取值范围为（）A.[0,1] B.[－1,1] C. D.二、多选题（每小题6分，部分选对无错选得2分，共18分）9.现有2个女生、3个男生共5名同学排成一排，则下列说法正确的是（）A.女生站两端的不同排法，共有12种B.男女相间的不同排法，共有6种C.女生排在一起的不同排法，共有24种D.女生互不相邻的不同排法，共有72种10.已知随机变量，，，则（）A.若，则B.若随机变量满足，，则C.若，则D.若，则有最大值11.已知函数是函数在上的一个零点，则（）A.当时，B.当时，C.当时，D.当时，三、填空题（每小题5分，共15分）12.某校6名同学打算去山西旅游，现有平遥古城、五台山、省博物馆三个景区可供选择.若每个景区中至少有1名同学前往打卡，每人仅去一个景点，则不同方案的种数为______.13.设为两个随机事件，已知，则__________.14.已知函数，，，当在区间上成立，则称和在区间上单调性一致.若和在区间上的单调性一致，则实数的最小值为______.四、解答题（15题13分16，17题15分18、19题17分，共77分）15.为深入推进传统制造业改造提升，全面提高传统制造业核心竞争力，某设备生产企业对现有生产设备进行技术攻坚突破.设备生产的零件的直径为R（单位：）.（1）现有旧设备生产的零件共7个，其中直径大于的有3个.现从这7个零件中随机抽取3个.记X表示取出的零件中直径大于的零件的个数，求X的分布列及数学期望；（2）技术攻坚突破后设备生产的零件的合格率为，每个零件是否合格相互独立.现任取5个零件进行检测，若合格的零件数Y超过半数，则可认为技术攻坚成功.求技术攻坚成功的概率及Y的方差.16.科技进步催生了大批智慧养老科技产品．在某养老服务中心，室内、、物联网等智能设备，精准对接老年人多样化健康养老需求．该中心配备有多台摄像机，通过智能分析，辅助发现老人异常行为状态，产生预警信息并实时推送至护理站，及时对老人进行救助．为防止老人摔倒，在房间内还铺设有智能地板，一旦出现特殊情况，地板就会立即报警．在该中心所在地区随机抽取200名70岁以上的老人进行问卷调查，得到如下列联表：智能设备摔倒合计发生未发生使用8m100未使用n68合计200（1）求m，n的值，并依据小概率值的独立性检验，分析使用智能设备是否能有效预防摔倒的发生？（2）在参与问卷调查发生摔倒的老人中，按是否使用智能设备进行分层，采用样本量比例分配的分层随机抽样方法，从样本中抽取5人作进一步调查，再从这5人中随机抽取2人进行面谈，记这2人中未使用智能设备的人数为X，求X的数学期望及方差．附：，其中．0.10.010.0012.7066.63510.82817.已知的展开式的第2项与第3项的二项式系数之比是2：5．（1）求n的值；（2）求展开式的常数项．（3）在的展开式中，求的项的系数．18.为深入普及国防知识，厚植青年家国情怀，某校举办了国防知识竞赛（分初赛和决赛两个阶段），初赛从6道题中任选3题作答，全部答对才能进入决赛．（1）已知初赛6道题中选手甲能答对其中4道，记甲在初赛中答对题目个数为．（i）求的分布列及其数学期望；（ii）求在甲答对至少两题的前提下，仍未进入决赛的概率；（2）已进入决赛的选手需回答3道同等难度的题目，若全部答对，获一等奖，奖励600元；仅答对2道，获二等奖，奖励200元；仅答对1道，获三等奖，奖励100元；全错则没有奖励．选手乙进入决赛后，答对每道题的概率为0.6，且每道题是否答对相互独立．求选手乙获得的奖金的数学期望．19.已知函数．（1）求函数的最小值；（2）求证：．

数学一、单项选择题（每小题5分共40分）1.某农场给某种农作物的施肥量x(单位：吨)与其产量y(单位：吨)的统计数据如表：施肥量x(吨)2345产量y(吨)26394954由于表中的数据，得到回归直线方程为，当施肥量时，该农作物的预报产量是()

A.72.0 B.67.7 C.65.5 D.63.6答案：C解析：思路：根据回归直线方程过样本的中心点，先求出中心点的坐标，然后求出的值，最后把代入回归直线方程呆，可以求出该农作物的预报产量.解答过程：，因为回归直线方程过样本的中心点，所以有，因此，当时，，故本题选C.方法提示：本题考查了回归直线方程的性质，考查了数学运算能力.2.已知随机变量，且，则（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：根据正态分布的对称性即可求解.解答过程：已知随机变量，则正态曲线关于直线对称，因为，则，根据对称性得到，则.3.某会议室第一排有9个座位，现安排4人就座，若要求每人左右均有空位，则不同的坐法种数为（）A.8 B.16 C.24 D.60答案：C解析：思路：根据题意转化为把4人安排在4个位置上解答过程：由题意，4人分别在第2，4，6，8四个位置，坐法种数有种故选：C4.在的展开式中，的系数为（）．A.120 B.80 C.40 D.答案：D解析：思路：根据二项式定理计算即可.解答过程：根据二项式定理，展开式的通项公式为：.令，可得，此时与相乘可得的系数为-80；令，可得，此时与相乘可得的系数为40；所以的系数为.5.盒中有个玩具，其中有个是坏的，现从盒中随机地抽取个，在至少一个玩具是坏的条件下，另一个是好的的概率是（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：记事件从盒中随机地抽取个，至少有一个玩具是坏的，记事件从盒中随机地抽取个，恰好为一个是好的，一个是坏的，求出、的值，利用条件概率公式可求得的值.解答过程：记事件从盒中随机地抽取个，至少有一个玩具是坏的，记事件从盒中随机地抽取个，恰好为一个是好的，一个是坏的，则，，由条件概率公式可得.6.若函数的图象上存在与直线垂直的切线，则实数a的取值范围是A. B. C. D.答案：B解析：思路：设出切点坐标，根据两条直线垂直斜率的关系求得切线的斜率，令的导数等于这个斜率建立方程，分离常数后利用函数的值域求得的取值范围.解答过程：设切点为，切线的斜率为，由，得，所以，而，所以.故选B.方法提示：本题考查导数的几何意义，考查推理论证能力，属于中档题.7.某学校在校门口建造一个花圃，花圃分为9个区域（如图），现要在每个区域栽种一种不同颜色的花，其中红色、白色两种花被随机地分别种植在不同的小三角形区域，则它们在不相邻（没有公共边）区域的概率为（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：每个区域种不同颜色的花，有种方法，红色、白色种在相邻区域有种方法，通过对立事件求出正确答案.解答过程：每个区域种不同颜色的花，有种方法；这9个区域中相邻的区域有9个(13;23;34;26;48;56;67;78;89)，所以红色、白色种在相邻区域有种方法，所以红色、白色在不相邻（没有公共边）区域的概率为，故选：D.8.设函数，且在上满足，则实数a的取值范围为（）A.[0,1] B.[－1,1] C. D.答案：B解析：思路：由在上满足得到是上的单调递增函数，则在上恒成立，即在上恒成立，转化为二次函数的图像和性质求解.解答过程：，，在R上满足，或，则是上的单调递增函数，则在上恒成立，即在上恒成立，设，，则转化为，则转化为在上恒成立，则需要满足，解得，即，则实数a的取值范围为，故选项B正确.二、多选题（每小题6分，部分选对无错选得2分，共18分）9.现有2个女生、3个男生共5名同学排成一排，则下列说法正确的是（）A.女生站两端的不同排法，共有12种B.男女相间的不同排法，共有6种C.女生排在一起的不同排法，共有24种D.女生互不相邻的不同排法，共有72种答案：AD解析：解答过程：对于A，第一步，先安排2个女生站两端有种不同的方法；第二步，再安排3个男生站中间有种不同的站法；由分步乘法计数原理可得共有种不同的安排方法，故A正确.对于B，第一步，先安排3个男生有种不同的站法；第二步，再安排2个女生站在2个男生之间的站法有种；由分步乘法计数原理可得共有种不同的安排方法，故B错误.对于C，第一步，将2个女生捆绑在一起与其他3名男生排序有种；第二步，2个女生内部排序有种不同的方法；由分步乘法计数原理可得共有种不同的安排方法，故C错误；对于D，第一步，先安排3个男生有种不同的站法；第二步，再在男生间以及前后形成的4个空位中安排2个女生有种不同的方法；由分步乘法计数原理可得共有种不同的安排方法，故D正确.10.已知随机变量，，，则（）A.若，则B.若随机变量满足，，则C.若，则D.若，则有最大值答案：BCD解析：解答过程：对A选项，由知，则，故A错误；对B选项，，则，，所以，故B正确；对C选项，，则解得，故C正确；对D选项，，则，令，则.令，解得（舍去）或，当时，，单调递增；当时，，单调递减，所以，故D正确.11.已知函数是函数在上的一个零点，则（）A.当时，B.当时，C.当时，D.当时，答案：AC解析：思路：对求导，根据函数的单调性及零点存在定理得出，即可判断A，B；令，根据的单调性可判断C；令，根据的单调性可判断D．解答过程：，当时，，此时函数单调递增；当，，此时函数单调递减，且，因为是函数在上的一个零点，所以，所以当，当，对于A选项，当时，，故A正确；对于B选项，当，故B错误；对于C选项，令，故在上为增函数，当时，，所以，即，故C正确；对于D选项，令，故在上为增函数，当时，，所以，即，故D错误.故选：AC.三、填空题（每小题5分，共15分）12.某校6名同学打算去山西旅游，现有平遥古城、五台山、省博物馆三个景区可供选择.若每个景区中至少有1名同学前往打卡，每人仅去一个景点，则不同方案的种数为______.答案：540解析：思路：根据题意，分为三个景区安排的人数之比为或或，结合排列，组合数的计算公式即可求解.解答过程：若三个景区安排的人数之比为，则有种安排方法；若三个景区安排的人数之比为，则有种安排方法；若三个景区安排的人数之比为，则有种安排方法；故不同的安排方法种数是.13.设为两个随机事件，已知，则__________.答案：##解析：思路：条件概率公式计算即可得.解答过程：根据条件概率公式，代入已知，得：.由条件概率公式，变形得，代入，得：.14.已知函数，，，当在区间上成立，则称和在区间上单调性一致.若和在区间上的单调性一致，则实数的最小值为______.答案：解析：思路：先求导可得,,则和在区间上的单调性一致,即为在区间上成立,可判断,则在上恒成立,进而求解即可解答过程：由题,,,∵和在区间上的单调性一致,即在区间上成立,∵,,∴,∴,即在上恒成立,得,解得,∴的最小值为故答案为:方法提示：本题考查求导公式的应用,考查转化思想四、解答题（15题13分16，17题15分18、19题17分，共77分）15.为深入推进传统制造业改造提升，全面提高传统制造业核心竞争力，某设备生产企业对现有生产设备进行技术攻坚突破.设备生产的零件的直径为R（单位：）.（1）现有旧设备生产的零件共7个，其中直径大于的有3个.现从这7个零件中随机抽取3个.记X表示取出的零件中直径大于的零件的个数，求X的分布列及数学期望；（2）技术攻坚突破后设备生产的零件的合格率为，每个零件是否合格相互独立.现任取5个零件进行检测，若合格的零件数Y超过半数，则可认为技术攻坚成功.求技术攻坚成功的概率及Y的方差.答案：（1）分布列见解析，（2）技术攻坚成功的概率为，解析：思路：判断随机变量X服从超几何分布，计算各取值对应概率得到分布列，再求解数学期望；判断随机变量Y服从二项分布，计算的概率得到攻坚成功概率，再代入二项分布方差公式求解。（1）由题意可知，X的可能取值为，X服从参数为的超几何分布，概率公式为：

计算各概率的值，，所以分布列为X0123（2）由题意，每个零件合格的概率为，且各零件是否合格相互独立，因此.技术攻坚成功要求合格零件数超过半数，即，分别计算对应概率：

因此技术攻坚成功的概率：由二项分布的方差公式可得：

16.科技进步催生了大批智慧养老科技产品．在某养老服务中心，室内、、物联网等智能设备，精准对接老年人多样化健康养老需求．该中心配备有多台摄像机，通过智能分析，辅助发现老人异常行为状态，产生预警信息并实时推送至护理站，及时对老人进行救助．为防止老人摔倒，在房间内还铺设有智能地板，一旦出现特殊情况，地板就会立即报警．在该中心所在地区随机抽取200名70岁以上的老人进行问卷调查，得到如下列联表：智能设备摔倒合计发生未发生使用8m100未使用n68合计200（1）求m，n的值，并依据小概率值的独立性检验，分析使用智能设备是否能有效预防摔倒的发生？（2）在参与问卷调查发生摔倒的老人中，按是否使用智能设备进行分层，采用样本量比例分配的分层随机抽样方法，从样本中抽取5人作进一步调查，再从这5人中随机抽取2人进行面谈，记这2人中未使用智能设备的人数为X，求X的数学期望及方差．附：，其中．0.10.010.0012.7066.63510.828答案：（1），，认为使用智能设备能有效预防摔倒的发生（2）X的期望；X的方差．解析：思路：（1）本题先由列联表数据求出参数,设立独立性检验零假设,代入卡方公式计算值并与临界值比对,依据小概率值否定零假设,判定使用智能设备与预防摔倒有关；（2）再确定摔倒老人中使用和未使用智能设备的人数,明确随机变量的取值,用组合数求对应概率,进而计算出的数学期望与方差.（1）由表中数据可得，．智能设备摔倒合计发生未发生使用892100未使用3268100合计40160200零假设为：使用智能设备与有效预防摔倒的发生无关．故根据小概率值的独立性检验，推断不成立，即认为使用智能设备能有效预防摔倒的发生．（2）易知5名“发生摔倒”的老人中有1人使用智能设备，4人未使用智能设备，故X的所有可能取值为1，2，，，所以X的期望；X的方差．17.已知的展开式的第2项与第3项的二项式系数之比是2：5．（1）求n的值；（2）求展开式的常数项．（3）在的展开式中，求的项的系数．答案：（1）（2）60（3）120解析：思路：（1）由二项式系数之比列式求解即可；（2）求出展开式的通项，再令的指数等于零，即可得解；（3）利用通项的特点，依次写出对应的的系数（即二项式系数），然后借助于二项式系数和组合数性质计算．（1）依题意可得第2项的二项式系数为，第3项的二项式系数为，所以，即，则，或（舍去）；（2）展开式的通项为，令，解得，所以，所以常数项为60，为第5项；（3）（1）知，，展开式中项的系数分别为：所以的展开式中项的系数为：．18.为深入普及国防知识，厚植青年家国情怀，某校举办了国防知识竞赛（分初赛和决赛两个阶