2025-2026学年黑龙江省哈尔滨市德强高级中学高一下学期期中考试（I卷）数学试题-含解析

/数学满分：150分一、单选题（共8小题，每小题5分，共40分）1.已知为虚数单位，则复数（）A. B. C. D.2.已知直线直线b，直线c，平面，则（）A. B.C.a与相交 D.或3.如图，已知分别是正方体所在棱的中点，则下列直线中与直线EF异面的是（）A. B.C. D.4.如图，四边形ABCD的斜二测画法的直观图为等腰梯形，已知，，则四边形ABCD的面积是（）A. B. C.8 D.165.如图，圆为的外接圆，，，为边的中点，则（）A.13 B.14 C.20 D.256.如图，P为平行四边形所在平面外一点，E为的中点，F为上一点，当平面时，（）A. B. C.2 D.7.在平面四边形中，，，，对角线与交于点，且，，则的值为（）A. B. C. D.8.如图，正方体的棱长为2，E是的中点，F是侧面内的一个动点（含边界），且平面，则的最小值为（）.A. B. C. D.二、多选题（（共4小题，每小题5分，共20分）9.已知向量，，其中，则下列说法正确的是（）A.若，则B.若，则C.若与的夹角为钝角，则D.若，向量在方向上的投影向量为10.“阿基米德多面体”又称“半正多面体”，与正多面体类似，它们也都是凸多面体，每个面都是正多边形，并且所有棱长也都相等，但不同之处在于阿基米德多面体的每个面的形状不全相同．有几种阿基米德多面体可由正多面体进行“截角”得到如图，正八面体的棱长为3，取各条棱的三等分点，截去六个角后得到一种阿基米德多面体，则该阿基米德多面体（）A.共有18个顶点 B.共有36条棱C.表面积为 D.体积为11.如图，在正方体中，、、分别是棱、、的中点，则（）A.平面 B.平面C.点在平面内 D.点在平面内12.已知中，在上，为的角平分线，为中点，下列结论正确的是（）A.B.的面积为C.D.在的外接圆上，则的最大值为三、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13.设复数，则___________．14.攒尖是我国古代建筑中屋顶的一种结构样式.如图所示的亭子模型带有攒尖，其屋顶可近似看作一个圆锥，若此圆锥底的面积为4π，体积为则将此圆锥展开，所得扇形的圆心角为_____________.15.在中，角的对边分别是，已知，，则的面积为___________．16.已知中，，且的最小值为，若为边上任意一点，则的最小值是__________.四、解答题（共6小题，共70分）17.已知i为虚数单位，复数z满足，其中．（1）若z为纯虚数，求m的值；（2）若z在复平面内对应的点位于第二象限，求m的取值范围．18.已知向量与是平面内的两个向量，，与的夹角为.（1）求；（2）在平面直角坐标系下，若，求在方向上的投影向量的坐标.19.如图，在棱长为2的正方体中，截去三棱锥.（1）求截去的三棱锥的表面积与剩余的几何体的体积；（2）在剩余的几何体中连接，求四棱锥的体积.20.在中，角，，所对的边分别为，，，且.（1）求角的大小；（2）若，的面积为，求的角平分线的长度.21.如图，正四棱锥的底面为平行四边形．、、分别为、、的中点，设平面与平面的交线为．（1）求证：平面平面；（2）求证：；（3）若，求四棱锥的体积．22.巴张高速公路（巴东至张家界）于2025年1月开工，计划于2030年正式建成．该高速公路在巴东境内横跨长江，需要重新修建一座桥梁，称为巴东长江二桥（以下简称二桥），目前二桥的起点和终点已经确定．如图1所示，设二桥起点为C，终点为D，为了测量二桥CD的长度（南北走向），小明同学选择了长江南岸的A，B两个观测点，AB相距2千米．在A处测得二桥北岸D位于其北偏东60°的方向，二桥南岸C位于其南偏东75°的方向，观测点B位于其南偏东60°．在观测点B处测得南岸C处位于其北偏东60°，北岸D位于其北偏东15°的方向．（1）求二桥CD的长度．（2）为了优化二桥周边环境，政府部门将对扇形区域CBH进行改造．如图2所示，点P、Q在弧上，点M、N分别在BH、BC上，且PQ∥CH，四边形MNPQ为矩形．拟将矩形MNPQ所在区域建成一所主题公园，求公园面积的最大值．

数学满分：150分一、单选题（共8小题，每小题5分，共40分）1.已知为虚数单位，则复数（）A. B. C. D.答案：B解析：解答过程：.2.已知直线直线b，直线c，平面，则（）A. B.C.a与相交 D.或答案：D解析：思路：由平行公理得，再由直线和平面的位置关系即可判断.解答过程：，，，，或．故选：D.3.如图，已知分别是正方体所在棱的中点，则下列直线中与直线EF异面的是（）A. B.C. D.答案：D解析：思路：利用异面直线的定义依次判断选项即可.解答过程：如图取正方体底边的中点，和正方体的顶点M，N，P，Q，连接，在正方体中有，所以，所以点四点共面；同理可知点四点共面，点四点共面，点四点共面，所以六点共面,所以直线与直线、直线与直线共面、直线与直线共面，直线平面AFG，直线平面，所以直线与直线是异面直线.综上可知ABC错误D正确.故选：D.4.如图，四边形ABCD的斜二测画法的直观图为等腰梯形，已知，，则四边形ABCD的面积是（）A. B. C.8 D.16答案：A解析：思路：根据斜二测画法的规则，由直观图的特征推出原平面图形的形状及相关边长，再利用梯形面积公式计算原平面图形的面积．解答过程：在直观图中作，垂足分别为E，F，则，所以，由斜二测画法可知原平面图形如下：将原平面图形上底，下底，高代入公式，可得四边形ABCD的面积．5.如图，圆为的外接圆，，，为边的中点，则（）A.13 B.14 C.20 D.25答案：D解析：思路：根据向量的线性运算、向量数量积的运算及三角形外接圆的性质求解即可.解答过程：因为为边的中点，根据向量的平行四边形法则可知，，所以.取边中点，连接，则，所以.所以.同理可得，.所以.6.如图，P为平行四边形所在平面外一点，E为的中点，F为上一点，当平面时，（）A. B. C.2 D.答案：A解析：思路：连接交于，连接，由线面平行的性质可得，再利用平行线分线段成比例定理列式求解．解答过程：连接交于，连接，因为平面，平面，平面平面，所以，所以，因为四边形为平行四边形，所以，所以，因为为的中点，所以，所以，所以.故选：A7.在平面四边形中，，，，对角线与交于点，且，，则的值为（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：根据余弦定理，可得长，根据面积公式，可得的面积S，又的面积，结合面积公式，代入求解，可得BO的长，根据条件，即可得答案.解答过程：如图：由余弦定理，所以，的面积，又，所以，解得，又，所以.8.如图，正方体的棱长为2，E是的中点，F是侧面内的一个动点（含边界），且平面，则的最小值为（）.A. B. C. D.答案：D解析：思路：先判断点的轨迹，然后根据最小距离的求法求得正确答案.解答过程：设分别是的中点，连接，根据正方体的性质可知，由于平面，平面，所以平面，同理可证得平面，由于平面，所以平面平面.由于平面，所以点的轨迹是线段，设是的中点，连接，由于都是等腰三角形，则，所以此时最小，，同理可得，所以的最小值为.故选：D二、多选题（（共4小题，每小题5分，共20分）9.已知向量，，其中，则下列说法正确的是（）A.若，则B.若，则C.若与的夹角为钝角，则D.若，向量在方向上的投影向量为答案：ABD解析：思路：根据平面共线向量坐标表示公式、平面向量垂直的坐标表示公式，结合平面向量模的坐标表示公式、夹角公式、投影向量的定义逐一判断即可.解答过程：对于A，因为，所以有，解得，所以本选项正确；对于B，因为，所以，得到，即，所以，因此本选项正确；对于C，当与的夹角为钝角时，所以有且与不是反向共线向量，可得，得到，解得，由上分析当时，，此时，所以有且，因此本选项不正确；对于D，当时，，则向量在方向上的投影向量如下，为，所以本选项正确.10.“阿基米德多面体”又称“半正多面体”，与正多面体类似，它们也都是凸多面体，每个面都是正多边形，并且所有棱长也都相等，但不同之处在于阿基米德多面体的每个面的形状不全相同．有几种阿基米德多面体可由正多面体进行“截角”得到如图，正八面体的棱长为3，取各条棱的三等分点，截去六个角后得到一种阿基米德多面体，则该阿基米德多面体（）A.共有18个顶点 B.共有36条棱C.表面积为 D.体积为答案：BD解析：思路：根据正八面体的几何性质，结合题意，利用正方形与正六边形的面积公式以及正四棱锥的体积公式，可得答案.解答过程：由图可知该多面体有24个顶点，36条棱，故A错误，B正确；该多面体的棱长为1，且表面由6个正方形和8个正六边形组成，故该多面体的表面积为，故C错误；正八面体可分为两个全等的正四棱锥，其棱长为，过作平面于，连接，如下图：因为平面，且平面，所以，正方形中，由边长为，则对角线长为，则，在中，，则，正八面体的体积为，切割掉6个棱长均为1的正四棱锥，减少的体积为，所以该阿基米德多面体的体积为，故D正确．故选：BD.11.如图，在正方体中，、、分别是棱、、的中点，则（）A.平面 B.平面C.点在平面内 D.点在平面内答案：AD解析：思路：利用线面平行的判定定理可判断A选项；推导出，可判断D选项；结合图形可判断B选项；结合A选项可判断D选项.解答过程：对于A选项，在正方体中，，，所以四边形为平行四边形，所以，因为平面，平面，故平面，A对；对于D选项，连接、，如下图所示：因为、分别为、的中点，所以，又因为，所以，故、、、共面，D对；对于B选项，根据已有分析可知点在平面内，所以与平面有交点，因此B错；对于C选项，由A选项可知，点在平面外，C错.故选：AD.12.已知中，在上，为的角平分线，为中点，下列结论正确的是（）A.B.的面积为C.D.在的外接圆上，则的最大值为答案：ABD解析：思路：利用余弦定理计算，利用余弦定理计算，判断A；根据面积公式计算三角形的面积，判断B；利用正弦定理计算，判断C；设，用表示出，，得出关于的三角函数，从而得到的最大值，判断D.解答过程：在三角形中，由余弦定理，，故，故正确；在中，由余弦定理得：，，故正确；由余弦定理可知：，，平分，，，在三角形中，由正弦定理可得：，故，故不正确；，，，，，为的外接圆的直径，故的外接圆的半径为1，显然当取得最大值时，在优弧上．故，设，则，，，，，，其中，，当时，取得最大值，故正确．故选：．三、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13.设复数，则___________．答案：解析：解答过程：由题意得，由模长公式得.14.攒尖是我国古代建筑中屋顶的一种结构样式.如图所示的亭子模型带有攒尖，其屋顶可近似看作一个圆锥，若此圆锥底的面积为4π，体积为则将此圆锥展开，所得扇形的圆心角为_____________.答案：####解析：思路：根据底面圆面积求出底面圆半径，从而求出底面圆周长，得侧面展开图扇形的弧长，再由圆锥体积求圆锥的高，勾股定理求圆锥母线长，得侧面展开图扇形半径，可求侧面展开图的圆心角.解答过程：圆锥的底面圆的面积为，设底面圆的半径为，则，解得，所以底面圆周长为，即圆锥侧面展开图扇形的弧长，又屋顶的体积为

，设圆锥的高为，则，所以，

所以圆锥母线长，即侧面展开图扇形的半径，所以侧面展开图扇形的圆心角为.故答案为：.15.在中，角的对边分别是，已知，，则的面积为___________．答案：8解析：思路：利用两角和的正弦展开式得，由正弦定理得，再利用三角形面积公式可得答案.解答过程：在中，，由正弦定理得，所以，，所以，则的面积为.故答案为：8.16.已知中，，且的最小值为，若为边上任意一点，则的最小值是__________.答案：解析：思路：设，应用向量数量积运算律得，结合最小值可得，进而建立合适的坐标系，应用坐标法求的最小值.解答过程：设，，且，当且仅当时等号成立，又的最小值为，所以，又，则，以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如图所示的平面直角坐标系，设点，其中，且、，，，所以，当且仅当时，取最小值.故答案为：方法提示：关键点睛：本题主要考查了平面向量数量积的最值问题，难度较大，解答本题的关键在于通过条件得到，然后建立平面直角坐标系，结合坐标运算求解.四、解答题（共6小题，共70分）17.已知i为虚数单位，复数z满足，其中．（1）若z为纯虚数，求m的值；（2）若z在复平面内对应的点位于第二象限，求m的取值范围．答案：（1）（2）解析：思路：（1）先利用复数的除法和乘法运算得到，再根据纯虚数的定义求解即可；（2）根据复数的实部小于零，虚部大于零求解即可.（1）因为，所以，所以，若z为纯虚数，则，解得；（2）由（1）知，，若z在复平面内对应的点位于第二象限，则，解得，所以m的取值范围为.18.已知向量与是平面内的两个向量，，与的夹角为.（1）求；（2）在平面直角坐标系下，若，求在方向上的投影向量的坐标.答案：（1）（2）解析：思路：（1）根据向量的模的公式计算求解即可；（2）根据投影向量公式计算即可.（1）解：因为，与的夹角为，所以（2）解：因为，与的夹角为，所以，所以，在方向上的投影向量.19.如图，在棱长为2的正方体中，截去三棱锥.（1）求截去的三棱锥的表面积与剩余的几何体的体积；（2）在剩余的几何体中连接，求四棱锥的体积.答案：（1）；（2）解析：思路：（1）根据题意，利用三角形面积公式，求得各个面的面积，即可求解；根据题意，结合割补法，利用柱体和锥体的体积公式，即可求解；（2）根据（1）中结果结合结合割补法即可求解．（1）在正方体中，因为棱长为，可得，所以截去的三棱锥的表面积为：.在正方体中，因为棱长为，可得正方体的体积为，又因为平面，即为三棱锥的高，可得，所以几何体的体积为.（2）由（1）可得：四棱锥的体积.20.在中，角，，所对的边分别为，，，且.（1）求角的大小；（2）若，的面积为，求的角平分线的长度.答案：（1）（2）解析：思路：（1）先根据正弦定理将已知等式的角化为边，再结合余弦定理求出角；（2）先根据三角形面积公式求出的值，再利用角平分线的性质和三角形面积公式求出角平分线的长度.（1）由正弦定理可得：，即，化简可得，由余弦定理.因为，所以.（2）根据三角形面积公式，可得：，即，化简可得，解得.因为是角平分线，所以.由得：.，解得.21.如图，正四棱锥的底面为平行四边形．、、分别为、、的中点，设平面与平面的交线为．（1）求证：平面平面；（2）求证：；（3）若，求四棱锥的体积．答案：（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）.解析：思路：（1）根据面面平行的判定定理，即可证明；（2）根据线面平行的性质，即可证明；（3）根据几何体特征，可求得正四棱锥的高为，再根据锥体的体积公式即可求解.（1）因为、、分别为、、的中点，底面为平行四边形，所以，，又平面，平面，则平面，同理平面，平面，可得平面，又，平面，所以平面平面．（2）因为底面为平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面，又平面，平面平面，所以.（3）因为四棱锥是正四棱锥，所以底面是正方形，在底面上的投影是底面的中心，又，