2025-2026学年湖北省十堰市普通高中高一下学期期末评价数学试题-含解析

/数学考试时间：2026年6月26日下午15:00-17:00试卷满分：150分一、单项选择题（每题5分，共8小题，总分40分，每题只有一个正确答案．）1.复数满足（为虚数单位），则的共轭复数的虚部是（）A. B. C.1 D.2.已知，则（）A. B. C. D.3.在中，，，角，则角大小为（）A. B. C. D.或4.如图在梯形中，，，设，，则（）A. B.C. D.5.将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则图象的对称中心的坐标是（）A. B.C. D.6.已知为两条不同的直线，为两个不同的平面，对于下列命题正确的是（）A.B.；C.D..7.已知向量，，满足，，，则在方向上的投影向量是（）A. B. C. D.8.中国古代数学专著《九章算术》中对两类空间几何体有这样的记载：①“堑堵”，即底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱；②“阳马”，即底面为矩形，且有一侧棱垂直于底面的四棱锥.现有一“堑堵”，如图所示，，，则其中“阳马”与“堑堵”的体积之比为（）A.1:2 B.2:3C.1:4 D.4:5二、多选题（每题6分，共3小题，总分18分，每题有多个正确的答案，全部选对得6分，部分选对得部分分．）9.为测试脑机接口设备的信号识别精度，某科研团队开展高三学生脑机接口操作实验，实验评分部分满分10分．随机抽取10名参与实验的高三学生的操作得分（单位：分）如下：6，7，5，8，6，7，6，8，10，7．下列说法正确的是（）A.该样本的70%分位数为7分 B.该样本的极差为5分C.用样本均值估计总体均值，其值约为7分 D.用样本方差估计总体方差，其值约为1.810.已知向量，，下列说法正确的是（

）A. B.C.与向量平行的单位向量仅有 D.向量与向量的夹角为11.正方体的棱长为2，E，F，G分别为BC，，的中点，点P为线段上的动点，则下列结论正确的是（）A.三棱锥的外接球表面积为B.三棱锥的体积为定值C.平面AEF截正方体所得的截面周长为D.直线AF与平面所成角的正弦值为三、填空题（每题5分，共3小题，总分15分．）12.已知角满足，则________．13.已知向量，满足，，且，则与的夹角为______.14.在棱长为4的正方体中，点分别是棱的中点，是侧面四边形内（不含边界）一点，若平面，则线段长度的最小值是___________.四、解答题（本题共5小题，满分77分，解答每题需写出必要的解题步骤．）15.已知，，且与夹角为，求：（1）；（2）与的夹角的余弦值.16.已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，满足．（1）求A，（2）若的周长为20，面积为，求a．17.中国大模型正处于一个技术进步迅速、市场规模快速增长的爆发式发展阶段．为了了解中国大模型用户的年龄分布，A公司调查了500名中国大模型用户，统计他们的年龄（都在内），按照，，，，进行分组，得到如图所示的频率分布直方图．（1）求的值；（2）求这500名中国大模型用户的年龄在内的人数；（3）估计这500名中国大模型用户年龄的平均数（各组数据以该组区间的中点值作代表）．18.在中，内角的对边分别为，且，.（1）求的大小；（2）若，求的面积；（3）求的最大值.19.如图1，在直角梯形中，，，且，现以为一边向梯形外作正方形，然后沿边将正方形翻折，使，为的中点，如图2．（1）求证：平面；（2）求证：平面平面；（3）求异面直线与所成的角的余弦值．

数学考试时间：2026年6月26日下午15:00-17:00试卷满分：150分一、单项选择题（每题5分，共8小题，总分40分，每题只有一个正确答案．）1.复数满足（为虚数单位），则的共轭复数的虚部是（）A. B. C.1 D.答案：C解析：解答过程：由题意可得：，所以，所以复数的共轭复数的虚部为1.2.已知，则（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：由诱导公式及两角差的正弦公式求得，再根据二倍角公式即可求解．解答过程：因为，所以．3.在中，，，角，则角大小为（）A. B. C. D.或答案：A解析：解答过程：在中，已知，，，由正弦定理.所以，所以.由，根据大边对大角，得，所以只能为锐角.因此.4.如图在梯形中，，，设，，则（）A. B.C. D.答案：D解析：思路：根据题中，由向量的线性运算，直接求解，即可得出结果.解答过程：因为，，所以，又，，所以.故选：D.方法提示：本题考查用基底表示向量，熟记平面向量基本定理即可，属于基础题型.5.将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则图象的对称中心的坐标是（）A. B.C. D.答案：B解析：解答过程：由题意可得，令，得，此时，所以图象的对称中心是.6.已知为两条不同的直线，为两个不同的平面，对于下列命题正确的是（）A.B.；C.D..答案：B解析：思路：根据面面平行的判定定理可判定A，根据面面平行的性质定理可判定B，根据线面平行的判定定理可判定C，根据线面平行的性质定理可判定D.解答过程：选项A：由面面平行的判定定理可知，由于m，n不一定相交，故A错误；选项B：由面面平行的性质定理可知B正确；选项C：由线面平行的判定定理可知，m可能在内，故C错误；选项D：由线面平行的性质定理可知，m，n可能异面，故D错误；故选：B.7.已知向量，，满足，，，则在方向上的投影向量是（）A. B. C. D.答案：C解析：解答过程：已知，则，解得，在方向上的投影向量为：．8.中国古代数学专著《九章算术》中对两类空间几何体有这样的记载：①“堑堵”，即底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱；②“阳马”，即底面为矩形，且有一侧棱垂直于底面的四棱锥.现有一“堑堵”，如图所示，，，则其中“阳马”与“堑堵”的体积之比为（）A.1:2 B.2:3C.1:4 D.4:5答案：B解析：思路：设，由“阳马”的定义结合棱锥的体积公式求出“阳马”的体积，由“堑堵”的定义根据棱柱的体积公式求出“堑堵”的体积，从而得出体积比.解答过程：解：设，由“阳马”的定义及可知，四边形是矩形，平面，“阳马”的体积为：，由“堑堵”的定义可知，，且平面，“堑堵”的体积为：，所以“阳马”与“堑堵”的体积之比为：.故选：B.二、多选题（每题6分，共3小题，总分18分，每题有多个正确的答案，全部选对得6分，部分选对得部分分．）9.为测试脑机接口设备的信号识别精度，某科研团队开展高三学生脑机接口操作实验，实验评分部分满分10分．随机抽取10名参与实验的高三学生的操作得分（单位：分）如下：6，7，5，8，6，7，6，8，10，7．下列说法正确的是（）A.该样本的70%分位数为7分 B.该样本的极差为5分C.用样本均值估计总体均值，其值约为7分 D.用样本方差估计总体方差，其值约为1.8答案：BCD解析：思路：根据分位数、均值、极差、方差的定义计算即可.解答过程：将样本数据从小到大排序：5,6,6,6,7,7,7,8,8,10,选项A，分位数位置：，因为为整数，所以70%分位数是第7项和第8项数据的平均值，即分位数是，A错误选项B，极差=最大值-最小值=10-5=5，B正确；选项C，样本均值，用样本均值估计总体均值，C正确；选项D，样本方差，D正确.10.已知向量，，下列说法正确的是（

）A. B.C.与向量平行的单位向量仅有 D.向量与向量的夹角为答案：ABD解析：思路：对于A，计算数量积是否为零，即可得；对B，借助模长公式计算即可得；对C，与向量平行的单位向量有、；对D，夹角公式计算即可得.解答过程：对于A，，，所以，故A正确；对于B，，所以，故B正确；对于C，，则有、，即与向量平行的单位向量有、，故C错误；对于D，，所以向量与向量的夹角为，故D正确．故选：ABD11.正方体的棱长为2，E，F，G分别为BC，，的中点，点P为线段上的动点，则下列结论正确的是（）A.三棱锥的外接球表面积为B.三棱锥的体积为定值C.平面AEF截正方体所得的截面周长为D.直线AF与平面所成角的正弦值为答案：BC解析：思路：确定外接球并求出表面积判断A；证明线面平行并结合等体积法判断B；求出截面周长判断C；求出线面角的正弦判断D.解答过程：对于A，三棱锥的外接球即为正方体的外接球，则该外接球的直径为，因此三棱锥的外接球表面积为，A错误；对于B，连接，由且，得四边形是平行四边形，则，又，于是，四边形是平面截正方体所得的截面图形，连接，则由、均为所在棱的中点，得，，则四边形是平行四边形，，又平面，平面，因此平面，点到平面的距离即为到平面的距离，为定值，即三棱锥的体积为定值，B正确；对于C，由选项B知，平面截正方体所得的截面图形为四边形，而，，，平面截正方体所得的截面周长为，C正确；对于D，连接，由平面，得是直线与平面所成的角，又，，，，因此直线与平面所成角的正弦值为，D错误．故选：BC三、填空题（每题5分，共3小题，总分15分．）12.已知角满足，则________．答案：解析：解答过程：,.13.已知向量，满足，，且，则与的夹角为______.答案：解析：解答过程：因为，所以，即，设与的夹角为，则，又，，所以，解得，因为，所以.14.在棱长为4的正方体中，点分别是棱的中点，是侧面四边形内（不含边界）一点，若平面，则线段长度的最小值是___________.答案：解析：思路：取的中点，的中点，由面面平行的性质证明点轨迹就是线段，求出等腰底边上的高即得最小值．解答过程：如图，取的中点，的中点，连接，并连接，由于点分别是棱的中点，所以，平面，平面，平面，与，平行且相等，则是平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面，面，平面，所以平面平面，平面，平面，且平面平面，所以，即点轨迹是线段，正方形棱长为4，则，，所以的最小值即为底边上高等于．故答案为：．四、解答题（本题共5小题，满分77分，解答每题需写出必要的解题步骤．）15.已知，，且与夹角为，求：（1）；（2）与的夹角的余弦值.答案：（1）（2）解析：思路：（1）利用向量的数量积的定义求出，由代入数值得到；（2）由代入数值得到，由代入数值得到，利用向量的数量积公式得到，代入数值得到所求.（1），，且与夹角为，，；（2），，.16.已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，满足．（1）求A，（2）若的周长为20，面积为，求a．答案：（1）；（2）.解析：思路：（1）利用正弦定理边化角求解.（2）根据给定条件，利用三角形面积公式、余弦定理列式求解.（1）在中，由及正弦定理，得，而，即，则，即，又，所以.（2）由的面积为，得，解得，由的周长为20，得，即，由余弦定理得，即，于是，解得，所以.17.中国大模型正处于一个技术进步迅速、市场规模快速增长的爆发式发展阶段．为了了解中国大模型用户的年龄分布，A公司调查了500名中国大模型用户，统计他们的年龄（都在内），按照，，，，进行分组，得到如图所示的频率分布直方图．（1）求的值；（2）求这500名中国大模型用户的年龄在内的人数；（3）估计这500名中国大模型用户年龄的平均数（各组数据以该组区间的中点值作代表）．答案：（1）0.015（2）200人（3）37.5解析：思路：（1）由所有频率之和为1求解；（2）由年龄在内的频率计算求解；（3）由频率分布直方图的平均数计算公式计算求解.（1）由题可知组距为10，则：，解得：；（2）这500名中国AI大模型用户的年龄在内的频率为：，所以这500名中国AI大模型用户的年龄在内的人数为：人；（3）估计这500名中国AI大模型用户年龄的平均数为：.18.在中，内角的对边分别为，且，.（1）求的大小；（2）若，求的面积；（3）求的最大值.答案：（1）（2）（3）解析：思路：（1）利用正弦定理边化角，结合两角和差正弦公式化简整理可得，由此可得；（2）利用余弦定理可构造方程求得，由三角形面积公式可求得结果；（3）利用余弦定理和基本不等式可求得的取值范围，令，将所求式子化为，由单调性可求得最大值.（1）由正弦定理得：，又，，即，又，，，又，.（2）由余弦定理得：，解得：，.（3）由余弦定理得：，（当且仅当时取等号），，又，；，令，，则在上单调递增，，即，的最大值为.19.如图1，在直角梯形中，，，且，现以为一边向梯形外作正方形，然后沿边将正方形翻折，使，为的中点，如图2．（1）求证：平面；（2）求证：平面平面；（3）求异面直线与所成的角的余弦值．答案：（1）取中点，连接，．在中，，分别为的中点，所以，且．由已知，，所以，且．所以四边形为平行四边形．所以．又因为平面，且平面，所以平面．（2）在正方形中，，又，，，平面，所以平面，因为平面，所以，在中，，所以，，在中，，，.所以，所以