2025-2026学年湖北省随州市曾都区第一高级中学高二下学期5月月考数学试题-含解析

/数学满分：150分一、单选题（每题5分，共40分）1.已知随机变量的分布列如表所示，则（）01A. B.0 C. D.2.在的展开式中，的系数为（）．A.120 B.80 C.40 D.3.已知一个圆柱形空杯，其底面直径为，高为，现向杯中注入溶液，已知注入溶液的体积（单位：）关于时间（单位：）的函数为，不考虑注液过程中溶液的流失，则当时杯中溶液上升高度的瞬时变化率为（）A. B. C. D.4.某块农田上播种的一等小麦种子中含有的二等种子.已知一等小麦种子结出的麦穗每穗含有50颗以上麦粒的概率为0.5，若在该块农田种出的小麦中，有的麦穗含有50颗以上麦粒，则二等小麦种子结出的麦穗每穗含有50颗以上的麦粒的概率为（）A. B. C. D.5.现有3本完全相同的书籍进行现场拍卖，有9位竞拍者，每人可以重复竞拍，则不同的竞拍结果有（）A.84种 B.129种 C.156种 D.165种6.已知，则（）A. B. C. D.7.已知由一组样本数据确定的经验回归方程为，且.发现有两对数据与误差较大，去掉这两对数据后重新求得经验回归方程为，则（）A.2 B.1.6 C.7.4 D.0.88.设数列的前n项和，数列的前m项和，则m的值为（）A.8 B.10 C.12 D.20二、多选题（每题6分，共18分）9.下列命题中，正确的命题有（）A.利用最小二乘法，由样本数据得到的回归直线必过样本点的中心B.设随机变量，则C.天气预报，五一假期甲地的降雨概率是，乙地的降雨概率是，假定这段时间内两地是否降雨相互没有影响，则这段时间内甲地和乙地都不降雨的概率为D.在线性回归模型中，表示解释变量对于预报变量变化的贡献率，越接近于1，表示回归的效果越好10.已知函数，则下列说法正确的是（）A.是的极值点B.时，有3个零点C.时，D.时，过原点可作两条不同直线与图象相切11.在平面直角坐标系中，已知曲线：，则（）A.过点可作两条直线与曲线相切B.曲线是某个函数的图象C.过曲线上一点作与的垂线，垂足分别为，，则四边形面积的最大值为2D.曲线上存在两个不同的点、，使得线段被点平分三、填空题（每题5分，共15分）12.已知随机变量X服从正态分布且，则__________13.已知抛物线与椭圆相交于A，B两点，若，则______.14.已知是函数的切线，则的最小值为______．四、解答题15.如图，在三棱锥中，平面，，分别是棱，，的中点，，．（1）求直线与平面所成角的正弦值；（2）求点到平面的距离．16.某4名射击手进行射击训练，他们互不影响地同时对同一目标进行射击，每人击中的概率均为.（1）设4名射击手击中目标的人数为，当时，求的数学期望与方差；（2）若目标被一人击中不会被摧毁，被2人击中而被摧毁的概率为，被3人击中而被摧毁的概率为，被4人击中则肯定被摧毁.设目标被摧毁的概率为，当时，求的最大值.17.函数．（1）讨论的单调性；（2）若有最大值M，且，求a的值．18.已知是首项为0的等差数列，记为的前项和，是等比数列.（1）求的通项公式；（2）求数列的前项积；（3）记，求数列的前20项和．19.一个不透明的盒子里有质地、大小相同的8个小球，其中2个红球、6个黑球，不放回地从盒子里依次随机摸取一个小球，当有同一种颜色的小球全部取出时停止摸球.（1）求停止摸球时盒子里恰好剩下4个黑球的概率；（2）停止摸球时，记总的摸球次数为，求的分布列与数学期望；（3）若将这8个球分别放在甲乙两个袋子中，每袋都装有1个红球、3个黑球.现从甲乙两袋中分别任取一球交换放入另一袋中，重复次这样操作后，设甲袋子中恰有1个红球的概率为，求.

数学满分：150分一、单选题（每题5分，共40分）1.已知随机变量的分布列如表所示，则（）01A. B.0 C. D.答案：A解析：思路：利用概率之和等于1求解，然后求解期望即可．解答过程：解：由题意可得：，解得．所以．故选：A．2.在的展开式中，的系数为（）．A.120 B.80 C.40 D.答案：D解析：思路：根据二项式定理计算即可.解答过程：根据二项式定理，展开式的通项公式为：.令，可得，此时与相乘可得的系数为-80；令，可得，此时与相乘可得的系数为40；所以的系数为.3.已知一个圆柱形空杯，其底面直径为，高为，现向杯中注入溶液，已知注入溶液的体积（单位：）关于时间（单位：）的函数为，不考虑注液过程中溶液的流失，则当时杯中溶液上升高度的瞬时变化率为（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：根据题意求得杯中溶液上升高度，求导，再令即可得解.解答过程：由题意杯子的底面面积，则杯中溶液上升高度，则，当时，，即当时杯中溶液上升高度的瞬时变化率为.故选：B.4.某块农田上播种的一等小麦种子中含有的二等种子.已知一等小麦种子结出的麦穗每穗含有50颗以上麦粒的概率为0.5，若在该块农田种出的小麦中，有的麦穗含有50颗以上麦粒，则二等小麦种子结出的麦穗每穗含有50颗以上的麦粒的概率为（）A. B. C. D.答案：B解析：解答过程：设“二等小麦种子结出的麦穗每穗含有颗以上的麦粒”的概率为，麦穗含有颗以上麦粒为事件，种子为一等种子为事件，种子为二等种子为事件根据题目条件可知，，，，根据全概率公式，可得，解得.5.现有3本完全相同的书籍进行现场拍卖，有9位竞拍者，每人可以重复竞拍，则不同的竞拍结果有（）A.84种 B.129种 C.156种 D.165种答案：D解析：解答过程：3本都给1个人：共种；3本分为1本和2本，分给2个人：选2个不同竞拍者并分配数量，共种；3本分给3个人，每人1本：选3个不同竞拍者，共种；总结果数：种.6.已知，则（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：先根据对立事件概率公式求出，进一步由条件概率公式即可求解.解答过程：因为，所以，.故选：A.7.已知由一组样本数据确定的经验回归方程为，且.发现有两对数据与误差较大，去掉这两对数据后重新求得经验回归方程为，则（）A.2 B.1.6 C.7.4 D.0.8答案：C解析：思路：依据回归方程必过样本中心点，代入计算即可得结果.解答过程：根据可知，因此经验回归方程必过，易知去掉与的两组数据的平均值为，则剩余数据均值不变，因此新求得经验回归方程也过，即可得，解得.故选：C8.设数列的前n项和，数列的前m项和，则m的值为（）A.8 B.10 C.12 D.20答案：A解析：思路：由结合题意可得，再由裂项求和法可化简，即可得答案.解答过程：由，又，则，又时，，则.则，则.令.故选：A二、多选题（每题6分，共18分）9.下列命题中，正确的命题有（）A.利用最小二乘法，由样本数据得到的回归直线必过样本点的中心B.设随机变量，则C.天气预报，五一假期甲地的降雨概率是，乙地的降雨概率是，假定这段时间内两地是否降雨相互没有影响，则这段时间内甲地和乙地都不降雨的概率为D.在线性回归模型中，表示解释变量对于预报变量变化的贡献率，越接近于1，表示回归的效果越好答案：ABD解析：思路：选项A，由最小二乘法求线性回归直线的过程判定；选项B，由二项分布的方差计算公式求值；选项C，由相互独立事件的概率公式求解；选项D，由的计算过程判定.解答过程：A选项：由最小二乘法求线性回归直线的过程可知，由样本数据得到的回归直线必过样本点的中心，故选项A正确；B选项：因为随机变量，所以，故选项B正确；C选项：根据题目条件，可得这段时间内甲地和乙地都不降雨的概率为，故选项C错误；D选项：在线性回归模型中，由的计算过程可知，越接近于1，表示回归的效果越好，故选项D正确.故选：ABD.10.已知函数，则下列说法正确的是（）A.是的极值点B.时，有3个零点C.时，D.时，过原点可作两条不同直线与图象相切答案：AC解析：思路：利用导数求出函数的单调区间及极值，结合三次函数图象判断ABC；设出切点坐标并求出切线方程，确定切线过原点时方程解的个数判断D.解答过程：函数的定义域为R，求导得，当或时，；当时，，函数在上单调递增，在上单调递减，A，函数在处取得极大值，在取得极小值，因此是的极值点，A正确；B，，，由三次函数的性质知，当且仅当且，即时，函数有3个零点，B错误；C，当时，，，C正确；D，当时，，设切点坐标为，切线方程为，由切线过原点，得，整理得，令，求导得，由，得或；由，得，函数在上单调递增，在上单调递减，所以，，函数有唯一零点，因此过原点只能作一条直线与图象相切，D错误.11.在平面直角坐标系中，已知曲线：，则（）A.过点可作两条直线与曲线相切B.曲线是某个函数的图象C.过曲线上一点作与的垂线，垂足分别为，，则四边形面积的最大值为2D.曲线上存在两个不同的点、，使得线段被点平分答案：BCD解析：思路：根据绝对值分类求出函数在各个区间的解析式；再根据切线方程、函数定义、距离公式求面积、中点弦和韦达定理判断选项.解答过程：对于：，当，方程为，曲线在第一象限的部分为的图象；当，方程变为，无解，曲线不经过第二象限；当，方程变为，曲线在第三象限的部分为的图象；当，方程变为，曲线在第四象限的部分为的图象.A选项：由图知曲线分布在第一、三、四象限，易知在第四象限过点无法作曲线的切线，而在第一象限，由，设切点为，则切线方程为，将代入上式，可得，化简得，该方程显然无解，所以在第一象限也无法作出曲线的切线，同理在第三象限也作不出切线，故A错误；B选项：由上分析，可知当时，，当，，当，，所以该曲线是一个分段函数的图象，故B正确；C选项：如图，因在曲线上，则其到和的距离之积即为四边形的面积，设，由距离公式得的面积为，在曲线的第一象限部分，因，则；在曲线的第四象限部分，因，则，因为，所以时，取得最大值；在曲线的第三象限部分，由，则.综上分析，的最大值为，故C正确；D选项：点在第一象限，不妨设都在第一象限，由为的中点，可得，，两式相减得，则，则直线的方程为，联立消元可得，即因，且，且，故存在这样的线段被点平分，故D正确.三、填空题（每题5分，共15分）12.已知随机变量X服从正态分布且，则__________答案：0.4解析：思路：根据随机变量X服从正态分布，得到正态曲线关于对称，再结合求解.解答过程：因为随机变量X服从正态分布，所以正态曲线关于对称，因为，所以，所以，故答案为：0.413.已知抛物线与椭圆相交于A，B两点，若，则______.答案：##解析：思路：设点，根据椭圆和抛物线的对称性求得，然后代入椭圆方程可得点，最后代入抛物线方程计算即可.解答过程：由椭圆和抛物线的对称性，知轴，且关于轴对称，不妨设，则，，由可知，代入得，即，再将代入可得，解得.故答案为：.14.已知是函数的切线，则的最小值为______．答案：解析：思路：根据题意，设切线的坐标为（m，lnm+m），求出函数f（x）的导数，由导数的几何意义可得切线的方程，分析可得k1，b＝lnm﹣1，代入化简得到lnm1，设g（m）＝lnm1，求出g′（m），利用函数的导数与单调性的关系，分析可得g（m）的最小值，即可得答案．解答过程：根据题意，直线y＝kx+b与函数f（x）＝lnx+x相切，设切点为（m，lnm+m），函数f（x）＝lnx+x，其导数f′（x）1，则f′（m）1，则切线的方程为：y﹣（lnm+m）＝（1）（x﹣m），变形可得y＝（1）x+lnm﹣1，又由切线的方程为y＝kx+b，则k1，b＝lnm﹣1，则2k+b2+lnm﹣1＝lnm1，设g（m）＝lnm1，其导数g′（m），在区间（0，2）上，g′（m）＜0，则g（m）＝lnm1为减函数，在（2，+∞）上，g′（m）＞0，则g（m）＝lnm1为增函数，则g（m）min＝g（2）＝ln2+2，即2k+b的最小值为ln2+2；故答案为ln2+2．方法提示：本题考查利用导数分析切线的方程以及函数的单调性与最值，关键是掌握导数的几何意义．四、解答题15.如图，在三棱锥中，平面，，分别是棱，，的中点，，．（1）求直线与平面所成角的正弦值；（2）求点到平面的距离．答案：（1）（2）解析：思路：（1）依题意建立空间直角坐标系，求出直线的方向向量及面的法向量，利用向量的夹角公式，即可求出直线与平面所成角的正弦值；（2）利用向量法可求出点到平面的距离．（1）依题意：以为坐标原点，所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，又分别是棱，，的中点，，．所以,所以有：，设平面的法向量为，则有所以，令，有，设直线与平面所成角为，则.所以直线与平面所成角的正弦值为.（2）因为，由（1）有平面的一个法向量为，所以点到平面的距离为：.16.某4名射击手进行射击训练，他们互不影响地同时对同一目标进行射击，每人击中的概率均为.（1）设4名射击手击中目标的人数为，当时，求的数学期望与方差；（2）若目标被一人击中不会被摧毁，被2人击中而被摧毁的概率为，被3人击中而被摧毁的概率为，被4人击中则肯定被摧毁.设目标被摧毁的概率为，当时，求的最大值.答案：（1），（2）解析：思路：(1)根据题干，可知击中目标的人数服从二项分布，利用二项分布的期望和方差即可求出结果.（2）根据题干写出的表达式，再利用导数判断其单调性即可求出最大值.（1）四人互不影响地同时对同一目标进行射击，可以看成4次独立重复试验，且，.（2）依题意有又.所以在区间上单调递增，17.函数．（1）讨论的单调性；（2）若有最大值M，且，求a的值．答案：（1）答案见解析；（2）1解析：思路：（1）求出，分或两种情况讨论可得；（2）由（1）可得，则，构造函数，利用导数可求最大值得出，则，即可得出.解答过程：解：（1）易知，，当时对任意的恒成立；当时，若，得，若，得，综上，当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减．（2）由（1）可得当时，单调递增，则没有最大值，，则在上单调递增，在上单调递减，，即，，，即，令，，当时，，单调递增，当时，，单调递减，，，，.方法提示：本题考查不等式的恒成立问题，解题的关键是先得出，再根据导数求出函数单调性，得出.18.已知是首项为0的等差数列，记为的前项和，是等比数列.（1）求的通项公式；（2）求数列的前项积