2025-2026学年湖北省武汉市黄陂区第七高级中学等校高二下学期5月训练数学试题-含解析

/数学一、单选题（每小题5分，共40分）1.若函数在点处的切线斜率为，则等于（）A. B. C. D.2.口袋内有大小、质地相同的红球2个，黄球、蓝球各3个．依次不放回地从中摸取2个球（每次取1个球）、记“第一次摸到红球”为事件，“第二次摸到黄球”为事件，则（

）A. B. C. D.3.已知甲箱中有3个红球和3个黑球，乙箱中有1个红球和3个黑球（所有球除颜色外完全相同），某学生先从甲箱中随机取出2个球放入乙箱，再从乙箱中随机取出1个球，记“从乙箱中取出的球是黑球”为事件，则（）A. B. C. D.4.记，则（

）A.1023 B.2047 C.2024 D.40485.放射性元素的特征是不断发生同位素衰变，而衰变的结果是放射性同位素母体的数目不断减少，子体的数目不断增加，假设在某放射性同位素的衰变过程中，同位素含量N（单位：贝克）与时间t（单位：天）满足函数关系（e为自然对数的底数），其中为时该同位素的含量，已知当时，该放射性同位素含量的瞬时变化率为，则（）A.贝克 B.贝克 C.贝克 D.贝克6.某校人工智能社团有小李、小赵等5位同学，他们计划对DeepSeek、豆包、通义千问这3种人工智能模型展开学习调研，要求：每种模型至少有1人负责，每人必须且只能选择1种模型．若小李和小赵不能调研同一种模型，则不同的安排方案总数为（

）A.600 B.264 C.207 D.1147.已知，，，则的大小关系正确的是（

）A. B. C. D.8.已知函数，若函数恰有三个零点，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.二、多选题（每小题6分，共18分）9.下列说法正确的是（）A.乘积展开后有项B.C.个班分别从个景点中选择一处游览，有种不同选法D.老师把张相同的游园门票分给甲乙丙丁名学生，每名学生至少分得张，则不同分法有种10.已知随机变量的概率分布为，则下列说法正确的有（）A. B.C. D.当最大时，11.已知函数，则（）A.当时，为增函数 B.，C.， D.，三、填空题（每小题5分，共15分）12.若随机变量X服从两点分布，其数学期望，则方差______．13.已知函数，则曲线在点处的切线方程为_________．14.已知，且展开式中只有第项二项式系数最大．（1），且，若能被20整除，则a的值为______；（2）的值为______．四、解答题（共77分）15.以下各小题要求列出算式，并计算出结果．某高校组织1位老师带领3名男生、3名女生参加志愿服务活动．（1）活动开始前7人排成一排合影留念①若要求老师站在中间，甲、乙两位学生均与老师相邻，共有多少种不同的排法？②若老师站在队列的排头或排尾且女生互不相邻，共有多少种不同的排法？（2）现从6名学生中选1人与老师留在原地，其余5人分配到3个服务站点进行志愿服务．要求每个站点至少一名学生，每名学生只能分配到一个站点，共有多少种分配方式？16.将编号为1，2，3，4，5的五个小球随机放入编号为1，2，3，4，5的五个盒子中，每个盒子恰好放一个球．设随机变量X表示放完后球的编号与盒子编号相同的个数（即匹配数）．（1）求X的分布列；（2）求X的数学期望及方差．17.已知函数．（1）若在上单调递增，求的取值范围；（2）若关于的不等式有解，求的取值范围．18.已知甲手里有3张卡片分别标有数字1，3，5，同样乙手里也有3张卡片分别标有数字2，4，6，若在每轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机选一张（不放回），并比较所选卡片上数字的大小，数字大的一方获胜并得1分，数字小的一方得0分，两人共进行三轮比赛．（1）求第一轮甲获胜的概率；（2）在第一轮甲获胜的条件下，第二轮甲获胜的概率；（3）若甲按照卡片数字从小到大出牌，乙随机出牌，三轮比赛结束，求甲的总得分的期望．19.已知函数有两个零点，且．（1）求a的取值范围；（2）证明：．

数学一、单选题（每小题5分，共40分）1.若函数在点处的切线斜率为，则等于（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：根据导数的定义及几何意义，并将所求极限变形计算可得.解答过程：由导数的几何意义可知，函数在点处的切线斜率等于，因此.根据导数的定义：,令，当时，，，且因此.即.2.口袋内有大小、质地相同的红球2个，黄球、蓝球各3个．依次不放回地从中摸取2个球（每次取1个球）、记“第一次摸到红球”为事件，“第二次摸到黄球”为事件，则（

）A. B. C. D.答案：C解析：解答过程：，，故.3.已知甲箱中有3个红球和3个黑球，乙箱中有1个红球和3个黑球（所有球除颜色外完全相同），某学生先从甲箱中随机取出2个球放入乙箱，再从乙箱中随机取出1个球，记“从乙箱中取出的球是黑球”为事件，则（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：由题意，条件概率及全概率公式可得答案.解答过程：记“从甲箱中取出的球恰有个红球”为事件，根据题意可得，，所以.4.记，则（

）A.1023 B.2047 C.2024 D.4048答案：B解析：思路：通过赋值法，分别令，，，进而可求解.解答过程：对于，令，可得.令，可得①，令，可得②，①+②得，即.5.放射性元素的特征是不断发生同位素衰变，而衰变的结果是放射性同位素母体的数目不断减少，子体的数目不断增加，假设在某放射性同位素的衰变过程中，同位素含量N（单位：贝克）与时间t（单位：天）满足函数关系（e为自然对数的底数），其中为时该同位素的含量，已知当时，该放射性同位素含量的瞬时变化率为，则（）A.贝克 B.贝克 C.贝克 D.贝克答案：C解析：思路：求导，由求得，再计算即可．解答过程：求导得：，因为，所以，所以所以，故选：C6.某校人工智能社团有小李、小赵等5位同学，他们计划对DeepSeek、豆包、通义千问这3种人工智能模型展开学习调研，要求：每种模型至少有1人负责，每人必须且只能选择1种模型．若小李和小赵不能调研同一种模型，则不同的安排方案总数为（

）A.600 B.264 C.207 D.114答案：D解析：思路：先将5人分成3组，再求出小李和小赵不同组的情况，然后再排列.解答过程：先将5位同学分成三组有“2人组+2人组+1人组”和“3人组+1人组+1人组”两种情况，共有种方法，其中小李和小赵同一组的情况有种方法，所以小李和小赵不同组的情况有种；再将这三组分给DeepSeek、豆包、通义千问这3种人工智能模型，有种排列方式，所以共有种方法.7.已知，，，则的大小关系正确的是（

）A. B. C. D.答案：A解析：思路：根据题意，构造函数，即可判断的大小关系，构造函数，即可判断的大小关系，从而得到结果.解答过程：因为，，构造函数，，则，当时，，则单调递减，当时，，则单调递增，所以为的极小值点，所以，则，即，所以，即，又，构造函数，，则，所以在单调递增，则，即，，所以，则.8.已知函数，若函数恰有三个零点，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.答案：D解析：思路：的零点问题转化为的图象的交点问题，画出的图象，分,和结合图象求解即可.解答过程：由题意画出函数的图象，恰有三个零点转化为的图象恰有三个交点，当和时，由图可知函数的图象恰有三个交点，当时，由，得，所以在处切线斜率为，设过原点与相切的直线为，切点为，由，得，则，解得，由图可知当时，只有时，函数图象有3个交点，综上，实数的取值范围是.故选：D.方法提示：方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.二、多选题（每小题6分，共18分）9.下列说法正确的是（）A.乘积展开后有项B.C.个班分别从个景点中选择一处游览，有种不同选法D.老师把张相同的游园门票分给甲乙丙丁名学生，每名学生至少分得张，则不同分法有种答案：ABD解析：思路：对A根据多项式乘法的特征及乘法计数原理可得；对B二项式系数的性质可得；对C直接由分步乘法计数原理可得；对D直接用隔板法计算可得.解答过程：选项A：根据分步乘法计数原理，展开式的每一项需从三个括号中各选个元素相乘，三个括号分别有种选法，总项数为，A正确；选项B：由二项式系数性质，，且，因此，B正确；选项C：每个班都有种景点可选，根据分步乘法计数原理，总选法为种，而非，C错误；选项D：相同门票分配且每人至少张，用隔板法：张相同门票之间有个空隙，插入个隔板即可分成份，总分法为种，D正确.10.已知随机变量的概率分布为，则下列说法正确的有（）A. B.C. D.当最大时，答案：AC解析：解答过程：因为随机变量的概率分布为，所以的分布列为：由，解得：，故A正确；，故B错误；，故C正确；，因为在上单调递减，所以当时，，故D错误.11.已知函数，则（）A.当时，为增函数 B.，C.， D.，答案：ACD解析：解答过程：函数的定义域为，求导可得，选项A：当时，因为对任意恒成立，所以，为增函数；选项B：当时，令，即，解得，当时，，单调递减，当时，，单调递增，因此，函数在处取得极小值，也是最小值，无最大值；选项C：当时，的最小值为，令，因为，所以化简可得，解得，当时，的最小值为；选项D：设函数，求导可得，令，即，解得，当时，，单调递增，当时，，单调递减，因此，在处取得极大值，所以对任意，.三、填空题（每小题5分，共15分）12.若随机变量X服从两点分布，其数学期望，则方差______．答案：##解析：解答过程：因为随机变量X服从两点分布，所以所以，所以，所以.13.已知函数，则曲线在点处的切线方程为_________．答案：解析：思路：根据函数解析式先写出切点坐标，再对函数求导根据导数的几何意义写出切线的斜率，最后由点斜式写出直线方程.解答过程：因为函数，所以，故切点坐标为，，切点处的导数值为切线的斜率，所以，用点斜式写出切线方程：，整理得：.故答案为：14.已知，且展开式中只有第项二项式系数最大．（1），且，若能被20整除，则a的值为______；（2）的值为______．答案：①.②.解析：思路：第一空，使用二项式定理求解；第二空，将展开后求导，使用赋值法求解．解答过程：第一空：因为展开式中只有第项二项式系数最大，所以，解得，所以，，，除了第一项外，其余各项都能被整除，若能被整除，则能被整除，因为，且，所以，解得；第二空：，，令，得①，②，①②得，所以，即．四、解答题（共77分）15.以下各小题要求列出算式，并计算出结果．某高校组织1位老师带领3名男生、3名女生参加志愿服务活动．（1）活动开始前7人排成一排合影留念①若要求老师站在中间，甲、乙两位学生均与老师相邻，共有多少种不同的排法？②若老师站在队列的排头或排尾且女生互不相邻，共有多少种不同的排法？（2）现从6名学生中选1人与老师留在原地，其余5人分配到3个服务站点进行志愿服务．要求每个站点至少一名学生，每名学生只能分配到一个站点，共有多少种分配方式？答案：（1）①；②（2）解析：思路：本题主要考查排列组合的综合应用，涉及特殊元素定位、相邻问题、不相邻问题、分组分配等问题.（1）①老师位置固定在中间，甲乙两位学生必须与老师相邻，先安排甲乙两人的位置，再对其余无限制的4名学生进行全排列，根据分步乘法计数原理求解；②先安排老师在排头或排尾，再排男生，最后利用插空法安排互不相邻的女生，分步完成后用乘法计数原理计算；（2）先从6名学生中选出1人与老师留在原地，再将剩余5名学生按，，或，，两种人数分组方式进行分组，最后将各组分配到个服务站点，利用先分组后分配的方法求解.（1）①因为老师站在最中间，甲、乙两名学生站在老师的两侧，所以老师站在第4个位置，甲、乙两名学生的排序有种．再排其他学生，有种，由分步乘法计数原理，不同的排法有种．②老师排在排头或排尾有种方法,其余6个位置用插空法处理：先排3名男生有种排法，形成4个空位；再将3名女生排入这4个空位，有种排法由分步乘法计数原理，不同的排法有种．（2）因为要从6名学生中选出1名与老师留在原地，有种选法．其余5名同学分配到3个站点，可分为1人、2人、2人，或分为1人、1人、3人．如果分为1人、2人、2人，有种，如果分为1人、1人、3人，有种，再将这3组对应3个站点进行全排列，不同的分配方式有种．16.将编号为1，2，3，4，5的五个小球随机放入编号为1，2，3，4，5的五个盒子中，每个盒子恰好放一个球．设随机变量X表示放完后球的编号与盒子编号相同的个数（即匹配数）．（1）求X的分布列；（2）求X的数学期望及方差．答案：（1）01235（2），解析：思路：（1）写出随机变量X的可能值以及取各值的概率，即可得到分布列（2）根据期望和方差的公式，结合（1）可求解.（1）将5个小球随机放入五个盒子中，每个盒子恰好放一个球共有，即120种不同的放法.随机变量X的可能值为0，1，2，3，5.,,,,所以X的分布列：01235（2）X的数学期望;方差17.已知函数．（1）若在上单调递增，求的取值范围；（2）若关于的不等式有解，求的取值范围．答案：（1）（2）解析：思路：（1）由原函数在区间上单调递增，转化为导函数大于等于0恒成立问题，分离参数后求最值；（2）将不等式有解转化为存在性问题，分离参数后求对应函数的最大值，即可确定参数范围.（1）函数，求导得：，在上单调递增，等价于对任意恒成立，即，.由于在上单调递增，所以在上单调递减，所以，最大值为，则，所以的取值范围为．（2）由有解，即，化简可得有解．令，则，令，得，即；当时，，单调递增；当时，，单调递减，所以在处取得最大值：，所以，故的取值范围为．18.已知甲手里有3张卡片分别标有数字1，3，5，同样乙手里也有3张卡片分别标有数字2，4，6，若在每轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机选一张（不放回），并比较所选卡片上数字的大小，数字大的一方获胜并得1分，数字小的一方得0分，两人共进行三轮比赛．（1）求第一轮甲获胜的概率；（2）在第一轮甲获胜的条件下，第二轮甲获胜的概率；（3）若甲按照卡片数字从小到大出牌，乙随机出牌，三轮比赛结束，求甲的总得分的期望．答案：（1）（2）（3）解析：思路：（1）先确定甲、乙各自选卡片的所有可能结果数，再找出甲卡片数字大于乙的结果数，最后用古典概型概率公式计算；（2）先明确第一轮甲获胜概率，再确定事件“第一轮甲获胜且第二轮甲获胜”包含两种互斥情况，最后用条件概率公式计算；(3)乙的出牌顺序总共有6种