2025-2026学年湖南省衡阳市衡阳县第四中学高一下学期期中考试（B卷）数学试题-含解析

/数学满分150分，考试时间120分钟）一、选择题（每小题5分，共40分）1.下列说法正确的是（）A.数量可以比较大小，向量也可以比较大小B.向量的模可以比较大小C.模为1的向量都是相等向量D.由于零向量的方向不确定，因此零向量不能与任意向量平行2.向量满足，则（）A.(－3，4) B.(3，4)C.(3，－4) D.(－3，－4)3.设是虚数单位，则复数的共轭复数是（）A. B.C. D.4.已知为虚数单位，则复数对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限5.在中，，，，则（）A. B.2 C. D.6.已知点，则（）A. B.0 C.2 D.7.已知▱的三个顶点则顶点D的坐标（）A. B. C. D.8.已知，与的夹角为，则（

）A. B. C. D.二、多项选择题（每小题6分，共18分）9.以下关于平面向量的说法中，正确的是（）A.既有大小，又有方向的量叫做向量 B.所有单位向量都相等C. D.平行向量也叫做共线向量10.已知为虚数单位，复数，则下列说法正确的是（）A.复数的实部为 B.复数的虚部为C.复数的共轭复数为 D.复数的模为11.下列有关向量命题，不正确的是（）A.若||＝||，则＝ B.已知≠，且·＝·，则C.若＝，＝，则＝ D.若＝，则||＝||且//三、填空题（每小题5分，共15分）12.化简________．13.设，若，则_______．14.已知向量与的夹角为，且，，则的值为________．四、解答题（共77分）15.化简．（1）．（2）．16.已知复数：分别求出符合下列条件的实数的值.（1）实数；（2）纯虚数；（3）零.17.已知，，且与的夹角为60°.（1）求的值；（2）求的值；18.记的内角，，的对边分别为，，，且．（1）求角的大小；（2）若，的面积为，求的周长．19.如图是某种水箱用的“浮球”，它是由两个半球和一个圆柱筒组成．已知球的半径是，圆柱筒的高是．（1）求这种“浮球”的体积；（2）现要在这种“浮球”的表面涂一层防水漆，每平方厘米需要花费防水漆元，共需花费多少费用？

数学满分150分，考试时间120分钟）一、选择题（每小题5分，共40分）1.下列说法正确的是（）A.数量可以比较大小，向量也可以比较大小B.向量的模可以比较大小C.模为1的向量都是相等向量D.由于零向量的方向不确定，因此零向量不能与任意向量平行答案：B解析：思路：根据向量的定义即可判断A；根据向量的模的定义即可判断B；根据相等向量的定义即可判断C；根据零向量与任意向量平行即可判断D.解答过程：对于A，向量不能比较大小，故A错误；对于B，向量的模是一个数量，可以比较大小，故B正确；对于C，相等向量不但模相等，且方向相同，故C错误；对于D，因为零向量与任意向量平行，故D错误.故选：B.2.向量满足，则（）A.(－3，4) B.(3，4)C.(3，－4) D.(－3，－4)答案：A解析：思路：根据向量加法的坐标运算直接把向量与相减即可求得是坐标.解答过程：因为，所以，所以.故选：A.3.设是虚数单位，则复数的共轭复数是（）A. B.C. D.答案：B解析：思路：由共轭复数的定义判断．解答过程：数的共轭复数是．故选：B．4.已知为虚数单位，则复数对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限答案：C解析：思路：利用复数的乘法化简所求复数，利用复数的几何意义可得结论.解答过程：因为，因此，复数对应的点位于第三象限.故选：C.5.在中，，，，则（）A. B.2 C. D.答案：D解析：思路：直接利用正弦定理求解即可解答过程：由正弦定理得，所以．故选：D．6.已知点，则（）A. B.0 C.2 D.答案：D解析：思路：先求出两个向量的坐标，再根据数量积的坐标公式计算即可.解答过程：因为，所以，所以.故选：D.7.已知▱的三个顶点则顶点D的坐标（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：根据题意，设，利用平行四边形对边向量相等，根据向量坐标运算，即可求解.解答过程：设则则由题意得，，由平行四边形的性质知，所以，故选：B8.已知，与的夹角为，则（

）A. B. C. D.答案：B解析：思路：根据平面向量的夹角坐标公式求解即可.解答过程：因为，,所以，，因为与的夹角为，所以.二、多项选择题（每小题6分，共18分）9.以下关于平面向量的说法中，正确的是（）A.既有大小，又有方向的量叫做向量 B.所有单位向量都相等C. D.平行向量也叫做共线向量答案：AD解析：思路：根据给定条件结合平面向量的基本概念和数乘向量的概念，逐项分析判断作答.解答过程：由向量的定义知，既有大小，又有方向的量叫做向量，A正确；单位向量是长度为1的向量，其方向是任意的，B不正确；，故C不正确；由平行向量的定义知，平行向量也叫做共线向量，D正确.故选：AD10.已知为虚数单位，复数，则下列说法正确的是（）A.复数的实部为 B.复数的虚部为C.复数的共轭复数为 D.复数的模为答案：BD解析：思路：根据复数的概念、共轭复数的概念及模的运算判断各项正误.解答过程：由题设的实部为，虚部为4，共轭复数为，模为.故选：BD11.下列有关向量命题，不正确的是（）A.若||＝||，则＝ B.已知≠，且·＝·，则C.若＝，＝，则＝ D.若＝，则||＝||且//答案：AB解析：思路：根据向量的模，数量积，向量相等的概念判断各选项．解答过程：两个向量相等即方向相同和长度相等，A错，C正确，D正确；若≠，且·＝·，即（-）·=0，则，或=，B错误．故选：AB．三、填空题（每小题5分，共15分）12.化简________．答案：解析：思路：根据平面向量加法和减法法则即可得到答案.解答过程：.故答案为：.13.设，若，则_______．答案：解析：思路：根据向量平行列方程，化简求得的值.解答过程：由于，所以故答案为：14.已知向量与的夹角为，且，，则的值为________．答案：－6解析：思路：由数量积的定义计算．解答过程：．故答案为：．四、解答题（共77分）15.化简．（1）．（2）．答案：（1）；（2）.解析：思路：（1）利用平面向量加法的三角形法则化简可得所求代数式的结果；（2）利用平面向量加法的三角形法则化简可得所求代数式的结果.解答过程：（1）；（2）.16.已知复数：分别求出符合下列条件的实数的值.（1）实数；（2）纯虚数；（3）零.答案：（1）或（2）（3）解析：思路：（1）根据复数为实数的定义可得；（2）根据复数为纯虚数的定义可得；（3）根据复数为零的定义可得.（1）因为，所以复数的实部为，虚部为，若复数为实数，则，解得或.因此，或时，复数为实数.（2）若复数为纯虚数，则，解得；因此，时，复数为纯虚数.（3）若复数为零，则，解得；因此，时，复数为零.17.已知，，且与的夹角为60°.（1）求的值；（2）求的值；答案：（1）60；（2）.解析：思路：（1）利用向量数量积公式求解；（2）利用向量的平方等于向量模长的平方，求新向量的模长.（1）（2）18.记的内角，，的对边分别为，，，且．（1）求角的大小；（2）若，的面积为，求的周长．答案：（1）（2）解析：思路：（1）由正弦定理结合三角恒等变换可得，即可得结果；（2）根据三角形面积公式可得，结合余弦定理可得，即可得结果.（1）因为，由正弦定理可得，则，又因为，则，可得，即，所以.（2）因为的面积为，可得，由余弦定理可得，即，可得，所以的周长为.19.如图是某种水箱用的“浮球”，它是由两个半球和一个圆柱筒组成．已知球的半径是，圆柱筒的高是．（1）求这种“浮球”的体积；（2）现要在这种“浮球”的表面涂一层防水漆，每平方厘米需要花费防水漆元，共需花费多少费用？答案：（1）（2）元解