2025-2026学年湖南邵东市第四中学高一下学期5月期中考试数学试题-含解析

/数学一、选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分）1.已知是复数的共轭复数，（为虚数单位），则的虚部是（）A.1 B. C.1 D.2.如图，是利用斜二测画法画出的（为直角）的直观图，的面积为，图中，过点作A'C'⊥x'轴于点，则的长为（

）

A.1 B. C. D.3.已知非零向量满足，，则（

）A. B. C. D.4.在中，若的面积，则（）A. B.C. D.5.在正四棱台中，，则该棱台的体积为（

）A. B. C. D.6.已知非零向量与满足，且，点是的边AB上的动点，则的最小值为（）A. B. C. D.7.在中，，，与交于点，且，则（）A. B. C. D.18.在棱长为1的正方体A1B1C1D1－ABCD中，M为底面ABCD的中心，Q是棱A1D1上一点，且，∈[0，1]，N为线段AQ的中点，给出下列命题：①CN与QM共面；②三棱锥A－DMN的体积跟的取值无关；③当时，AM⊥QM；④当时，过A，Q，M三点的平面截正方体所得截面的周长为．其中正确的是（）A.①②③ B.①②④ C.①③④ D.②③④二、选择题：（本题共3小题，每小题6分，共18分．）．9.已知向量，，下列结论正确的是（）A.若，则B.若，则C.若，的夹角为钝角，则x的取值范围为D.设在方向上的投影向量为，则的取值范围为10.如图，四边形为正方形，平面，，记三棱锥，，的体积分别为，则（）A. B. C. D.11.已知不是直角三角形，内角所对边分别为，则（）A.B.的最大值为C.D.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知一个物体在三个力的作用下，处于静止状态，则_____.13.已知方程的两虚根为、，若，则实数的值为_____14.已知分别为三个内角的对边，且，的面积为，为的中点，则的最小值为______.四、解答题：（本题共5小题，共77分）．15.如左图所示，在中，，，.（1）将绕直线旋转一周得到的旋转体，求该旋转体的表面积；（2）如右图所示，在三角形内挖去半圆（圆心在边上，半圆与相交于，与相切于点），图中阴影部分绕直线旋转半周得到的旋转体，求该旋转体的体积.16.已知复数（），且为纯虚数（是的共轭复数）.（1）设复数，求；（2）复数在复平面内对应的点在第一象限，求实数的取值范围.17.如图，在平行四边形中，点为中点，点在线段上，满足设.（1）用向量表示向量；（2）若，求.18.已知的内角的对边分别为，且.（1）求；（2）若，，求的周长.19.在锐角中，内角所对的边分别为，且满足．（1）求角；（2）求的取值范围；（3）当时，角的平分线交于，求长度的最大值．

数学一、选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分）1.已知是复数的共轭复数，（为虚数单位），则的虚部是（）A.1 B. C.1 D.答案：A解析：思路：利用复数的除法计算，再利用共轭复数以及复数的定义即可.解答过程：，则，则，故的虚部是.故选：A2.如图，是利用斜二测画法画出的（为直角）的直观图，的面积为，图中，过点作轴于点，则的长为（

）

A.1 B. C. D.答案：C解析：解答过程：因为的面积为，所以的面积为，因为，所以，得3.已知非零向量满足，，则（

）A. B. C. D.答案：A解析：思路：先通过向量垂直的条件得出与的关系，再计算，最后开方得到的值.解答过程：已知，根据向量模长公式可得：，因此，因为，根据向量垂直的性质有：，即，所以，将和代入得：，由，所以.故选：A.4.在中，若的面积，则（）A. B.C. D.答案：D解析：思路：先由面积公式求出，再由余弦定理求出，代入求解.解答过程：由，得，又由余弦定理，所以，所以，故选：D.5.在正四棱台中，，则该棱台的体积为（

）A. B. C. D.答案：C解析：思路：结合图形，依次求得，从而利用棱台的体积公式即可得解.解答过程：如图，过作，垂足为，易知为四棱台的高，

因为，则，则，故，则，所以该棱台的体积为.故选：C.6.已知非零向量与满足，且，点是的边AB上的动点，则的最小值为（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：由题意条件可知，，取的中点，连接，则⊥，，，，由极化恒等式得到，进而求出的最小值，得到答案.解答过程：因为分别表示与方向上的单位向量，所以表示的平分线上的共线向量，又，即与垂直，由三线合一可知，，如图，取的中点，连接，则⊥，又，其中，所以，，故，由于，，两式平方相减可得，当⊥时，取得最小值，其中由勾股定理得，故，故的最小值为.故选：D7.在中，，，与交于点，且，则（）A. B. C. D.1答案：B解析：思路：根据题意结合三点共线的判定定理和结论分析可得和，运算求解即可.解答过程：因为，则为的中点，可得，注意到三点共线，可得，又因为三点共线，则∥，则存在实数，使得，即，则，可得，综上所述：，解得，可得.故选：B.8.在棱长为1的正方体A1B1C1D1－ABCD中，M为底面ABCD的中心，Q是棱A1D1上一点，且，∈[0，1]，N为线段AQ的中点，给出下列命题：①CN与QM共面；②三棱锥A－DMN的体积跟的取值无关；③当时，AM⊥QM；④当时，过A，Q，M三点的平面截正方体所得截面的周长为．其中正确的是（）A.①②③ B.①②④ C.①③④ D.②③④答案：B解析：思路：对于①可得，可判断；对于②N到平面ABCD的距离为定值，且的面积为定值可判断；③分别求出的长，验证是否满足勾股定理，从而判断;对于④先将过A，Q，M的截面分析做出，再求周长可判断.解答过程：解：在中，因为M，N为AC，AQ的中点，所以，所以CN与QM共面，所以①正确；由，因为N到平面ABCD的距离为定值，且的面积为定值，所以三棱锥的体积跟的取值无关，所以②正确；当时，,可得，，取的中点分别为，连接,则在直角三角形中,则，所以不成立，所以③不正确．当时，取,连接,则,又所以所以共面,即过A，Q，M三点的正方体的截面为ACHQ，由,则ACHQ是等腰梯形,且所以平面截正方体所得截面的周长为，所以④正确；所以正确的命题是①②④，故选：B．二、选择题：（本题共3小题，每小题6分，共18分．）．9.已知向量，，下列结论正确的是（）A.若，则B.若，则C.若，的夹角为钝角，则x的取值范围为D.设在方向上的投影向量为，则的取值范围为答案：ABD解析：思路：对于A，根据平面向量垂直的坐标表示求解判断即可；对于B，根据平面向量共线的坐标表示求解判断即可；对于C，由的夹角为钝角可得，且不共线，进而求解判断即可；对于D，可得，换元，利用判别式法求解判断即可.解答过程：因为向量，，对于选项A：若，则，解得，故A正确；对于选项B：若，则，即，故B正确；对于选项C：由的夹角为钝角，则，且不共线，可得且，所以x的取值范围为，故C错误；对于选项D：因为，，则，可得，令，则，当，即时，可得，符合题意；当，即时，则，解得且，综上所述：，即的取值范围为，故D正确.故选：ABD.10.如图，四边形为正方形，平面，，记三棱锥，，的体积分别为，则（）A. B. C. D.答案：CD解析：思路：设，则.根据棱锥的体积公式分别计算出，将题中多面体补成正方体，可求得，然后依次判断各选项即可.解答过程：因为平面，，所以平面.设，则.所以，.把多面体补成如图正方体：则.，.所以.所以，，，.故选：CD.11.已知不是直角三角形，内角所对边分别为，则（）A.B.的最大值为C.D.答案：BCD解析：思路：A选项，利用三角恒等变换得到，再由正弦定理和余弦定理得到，A错误；B选项，结合得到，由基本不等式求出最值，结合余弦函数单调性得到；C选项，利用同角三角函数关系及可变形得到；D选项，根据和正弦定理，同角三角函数关系得，并计算出，其中，故，D正确.解答过程：A选项，，即，，，，化简得，由正弦定理得，由余弦定理得，所以，，A错误；B选项，，又在上单调递减，所以，的最大值为，B正确；C选项，，因为，所以，代入上式可得，C正确；D选项，，由正弦定理得，即，即，其中，而，所以，不是直角三角形，故，故，D正确.故选：BCD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知一个物体在三个力的作用下，处于静止状态，则_____.答案：解析：思路：依题意可得，再根据向量线性运算的坐标表示计算可得.解答过程：依题意，所以.故答案为：13.已知方程的两虚根为、，若，则实数的值为_____答案：解析：思路：由求根公式得，解方程即可求解.解答过程：因为方程的两虚根为、，则,若，则，解得，适合题意，故答案为：.14.已知分别为三个内角的对边，且，的面积为，为的中点，则的最小值为______.答案：解析：思路：利用正弦定理将已知等式转化为角的关系，结合三角形内角和化简可解得角，由面积公式得到，根据中线向量公式结合基本不等式可得的最小值.解答过程：因为，由正弦定理，得，因为，所以，则，所以，即，又因为，所以，即，因为，所以，则，所以；因为的面积为，所以，即，所以；因为M为的中点，所以，所以，所以，当且仅当时取等号，所以的最小值为.四、解答题：（本题共5小题，共77分）．15.如左图所示，在中，，，.（1）将绕直线旋转一周得到的旋转体，求该旋转体的表面积；（2）如右图所示，在三角形内挖去半圆（圆心在边上，半圆与相交于，与相切于点），图中阴影部分绕直线旋转半周得到的旋转体，求该旋转体的体积.答案：（1）（2）解析：思路：（1）先算出直角的各个边长，再用公式求旋转体圆锥的表面积即可；（2）几何体是图中阴影部分绕直线旋转半周所得旋转体，是一个圆锥内挖去一个球后剩余部分，求出圆锥的体积减去球的体积，最后除以2可得几何体的体积．（1）由题知：在中，，，.可得：，.该几何体是绕直线旋转一周所得旋转体,是一个以为底面半径，为高的圆锥，设圆锥的侧面积为：，底面积为：.旋转体的表面积为+（2）该几何体是图中阴影部分绕直线旋转一周所得旋转体，是一个圆锥内挖去一个球后剩余部分，球是圆锥的内接球，由图知，则，所以圆锥的底面半径，高为，球的半径为，，所以圆锥的体积：，球的体积：，阴影部分绕直线旋转一周所得旋转体的体积为：.故阴影部分绕直线旋转半周得到的旋转体的体积为：.16.已知复数（），且为纯虚数（是的共轭复数）.（1）设复数，求；（2）复数在复平面内对应的点在第一象限，求实数的取值范围.答案：（1）（2）解析：思路：（1）化简得到，根据纯虚数得到方程和不等式，求出，利用除法法则得到，求出模长；（2）化简得到，根据所在象限，得到不等式，求出实数的取值范围.（1），∵是纯虚数，，解得，，则；（2），复数，∵在复平面对应的点在第一象限，，解得，实数的取值范围是.17.如图，在平行四边形中，点为中点，点在线段上，满足设.（1）用向量表示向量；（2）若，求.答案：（1）（2）解析：思路：（1）利用平面向量基本定理结合题设条件化简计算即可；（2）先用向量表示出，再利用向量数量积的运算律求其模长即可.（1）因点为中点，点在线段上，满足，，故；（2）由题意，则，，所以，所以.18.已知的内角的对边分别为，且.（1）求；（2）若，，求的周长.答案：（1）（2）解析：思路：（1）根据题意，由正弦定理和两角和的正弦公式，化简得到，求得，即，即可求解；（2）根据题意，由正弦定理和正弦的倍角公式，化简求得，得到，求得，再由正弦定理，分别求得和，即可求得的周长.（1）解：因为，由正弦定理得，又因为，可得，所以，可得，因为，可得，所以，即，又因为，所以.（2）解：因为，由正弦定理得，又因为，可得，所以，可得，因为，可得，所以，所以，又因为，可得，又由正弦定理，可得，，所以的周长为.19.在锐角中，内角所对的边分别为，且满足．（1）求角；（2）求的取值范围；（3）当时，角的平分线交于，求长度的最大值．答案：（1）（2）