2025-2026学年湖南省益阳市安化县高一下学期期中考试数学试题-含解析

/数学一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．1.计算：（）A. B. C.1 D.02.已知集合，，则（）A. B. C. D.3.一个水平放置的平面图形，用斜二测画法画出了它的直观图，如图所示，，，则原平面图形的面积为（）A. B. C. D.64.给定下列四个命题：①若，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，且，，，，则；②若是一条直线，，是两个不同的平面，且，，则；③若，是两个不同的平面，且，，，，则就是二面角的平面角；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．其中，为真命题的是（）A.①和② B.②和③ C.②和④ D.③和④5.函数的图象大致为（）A. B.C. D.6.已知的外接圆圆心为，且，则在上的投影向量为（）A. B. C. D.7.在正三棱柱中，，设和所成的角为，则的值为（）A. B. C. D.8.若，则的最小值是（）A.11 B.9 C.7 D.5二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.关于的方程的复数解为，，则（）A.B.与互为共轭复数C.设，在复平面内对应的点在实轴上D.若复数满足，则的最小值是310.函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（）A.B.图象的对称中心为点C.将的图象向左平移个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到函数的图象D.若在区间上的值域为，则实数的取值范围为11.如图，为圆锥底面圆的直径，点是圆上异于，的动点，，，则下列结论正确的是（）A.圆锥的侧面积为B.三棱锥体积的最大值为4C.三棱锥外接球的表面积为D.若，为线段上的动点，则的最小值为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.函数的零点在区间内，则_________．13.海面上有一座小岛，一艘小船在观测点测得小岛在北偏西方向．小船从出发，沿北偏东方向匀速航行海里到达处，此时发现小岛正好在小船正西方向，则此时小船与小岛距离_________海里．14.已知向量，，若的夹角为锐角，则实数的取值范围是______．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.如图，在平面四边形中，，．（1）若，，，求的大小；（2）若，，，求．16.已知函数．（1）求的最小正周期和单调递增区间；（2）若函数在内存在两个零点，求实数的取值范围．17.如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面，垂足为，，交于点，点是的中点．（1）求证：平面．（2）求证：平面．（3）求直线与平面所成角的大小．18.已知函数．（1）若的值域为，求实数的取值范围．（2）已知当时，恒有意义．（Ⅰ）求在上的最小值；（Ⅱ）设，若对于任意，存在，使得不等式成立，求实数的取值范围．19.在平面几何中，三角形的“莱莫恩点”是一个具有优美性质的特殊点，其定义如下：记的内角，，所对的边分别为，，，内一点到三边，，的距离，，满足，称点为的“莱莫恩点”．（1）若在中，，，，求常数的值；（2）在（1）的条件下，若，求，的值；（3）若，且满足，试判断的形状，并说明理由．

数学一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．1.计算：（）A. B. C.1 D.0答案：A解析：思路：解答过程：.方法提示：2.已知集合，，则（）A. B. C. D.答案：C解析：解答过程：，由，解得，所以，所以.3.一个水平放置的平面图形，用斜二测画法画出了它的直观图，如图所示，，，则原平面图形的面积为（）A. B. C. D.6答案：D解析：解答过程：将直观图还原为，如下图所示，其中，，，则.4.给定下列四个命题：①若，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，且，，，，则；②若是一条直线，，是两个不同的平面，且，，则；③若，是两个不同的平面，且，，，，则就是二面角的平面角；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．其中，为真命题的是（）A.①和② B.②和③ C.②和④ D.③和④答案：C解析：解答过程：命题①：若，相交，均平行于两平面交线时也满足题设条件，故，不一定平行，①为假命题.命题②：根据面面垂直的判定定理：若一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直，已知且，满足判定定理条件，故，②为真命题.命题③：二面角的平面角定义要求：顶点在棱上，两边分别在两个平面内，且两边均垂直于棱，本题仅给出，，，未说明，故不一定是二面角的平面角，③为假命题.命题④：采用反证法，假设该直线与另一个平面垂直，根据面面垂直的性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直，可得该直线必垂直于两平面的交线，与题设“与交线不垂直”矛盾，故假设不成立，④为真命题.综上，真命题为②和④，5.函数的图象大致为（）A. B.C. D.答案：B解析：解答过程：由于函数的定义域为，且对任意的，，故为偶函数，其图像关于轴对称，此时排除CD选项，当时，，此时可排除A，故选B.6.已知的外接圆圆心为，且，则在上的投影向量为（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：取中点，结合向量关系式推得共线，依托外心性质判定三角形为等腰三角形，利用边长算出顶角为60°，再套用投影向量公式计算得出结果。解答过程：设的中点为，由向量中点公式得.由条件，得，故，，三点共线，且在中线上.因为是的外心，所以垂直平分，即，.设外接圆半径为，则，，.在中，，，故，即.所以，由圆心角与圆周角关系得，因此为等边三角形.向量在上的投影向量为.设，则，代入得投影向量为.7.在正三棱柱中，，设和所成的角为，则的值为（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：将正三棱柱补成直四棱柱，平移到即可解.解答过程：将正三棱柱补成直四棱柱，使正三棱柱与正三棱柱全等，则由直棱柱性质可知，与所成角为（或其补角）；因为，，所以，所以.8.若，则的最小值是（）A.11 B.9 C.7 D.5答案：B解析：思路：通过移项整理原式构造单调递增函数，利用函数单调性得到变量满足的约束条件，再用“1的代换”结合基本不等式求出目标式的最小值.解答过程：对原等式移项整理得（1），令，由于在上单调递增，在上单调递减，故在上也是单调递增，因此是上的单调增函数，（1）式即，由单调性得，

即，整理得，所以当且仅当时取等号，又，即时等号成立.即的最小值为.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.关于的方程的复数解为，，则（）A.B.与互为共轭复数C.设，在复平面内对应的点在实轴上D.若复数满足，则的最小值是3答案：BCD解析：思路：借助韦达定理与求根公式得到复数根，结合共轭复数定义、复数幂运算、复数模的几何意义逐一检验选项.解答过程：对于方程，由韦达定理得，，由求根公式得，.对于选项A：，故A错误.对于选项B：与实部相等、虚部互为相反数，因此二者互为共轭复数，故B正确.对于选项C：由，得，在复平面内对应点，在实轴上，故C正确.对于选项D：由，得，表示复平面内以原点为圆心、为半径的圆，表示圆上点到的距离，因此最小值为，故D正确.10.函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（）A.B.图象的对称中心为点C.将的图象向左平移个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到函数的图象D.若在区间上的值域为，则实数的取值范围为答案：ABD解析：思路：利用图象可求出函数解析式，即可得A；结合正弦型函数对称性计算可得B；借助三角函数平移变换计算可得C；结合三角函数图象及其性质计算可得D.解答过程：对A：由，故，解得，由图可得，则，由，则，则，解得，又，故，故A正确；对B：由A可得，令，解得，故图象的对称中心为点，故B正确；对C：由题意可得，故C错误；对D：当时，，由在区间上的值域为，即，则，故有，解得，故实数的取值范围为，故D正确.11.如图，为圆锥底面圆的直径，点是圆上异于，的动点，，，则下列结论正确的是（）A.圆锥的侧面积为B.三棱锥体积的最大值为4C.三棱锥外接球的表面积为D.若，为线段上的动点，则的最小值为答案：ACD解析：思路：借助侧面积公式计算可得A；借助体积公式结合点位置计算可得B；三棱锥的外接球即为圆锥的外接球，计算出圆锥的外接球半径即可得其体积，即可得C；将平面沿折叠，使得、、、共面，再计算出相应边长与角度，即可计算出的最小值.解答过程：对A：，故A正确；对B：由题意可得点到平面的距离最大值为底面圆半径，即为，则，故B错误；对C：三棱锥的外接球即为圆锥的外接球，设圆锥的外接球球心为，半径为，画出圆锥的轴截面图如下：则有，解得，故，故C正确；对D：由为圆锥底面圆的直径，则，又，则，，又，故为等边三角形，将平面沿折叠，使得、、、共面，如图：由为等边三角形，则，由，，则，故，由图可得，当且仅当、、三点共线时，有最小值，即，故D正确.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.函数的零点在区间内，则_________．答案：4解析：思路：利用函数零点的存在性定理求解.解答过程：由题意知，函数在上连续，根据对数函数和一次函数性质知该函数单调递增，又有，，由函数零点存在性定理可知零点在内，结合题意可得.13.海面上有一座小岛，一艘小船在观测点测得小岛在北偏西方向．小船从出发，沿北偏东方向匀速航行海里到达处，此时发现小岛正好在小船正西方向，则此时小船与小岛距离_________海里．答案：2解析：思路：在中，有，求得角为，结合正弦定理可求解.解答过程：由题意可得小岛正好在小船正西方向，由正弦定理可得：，即，解得.14.已知向量，，若的夹角为锐角，则实数的取值范围是______．答案：解析：思路：由向量数量积的坐标运算得到的表达式，根据的夹角为锐角可知表达式大于0，要排除同向的结果，通过换元法可将表达式简化，进而得解.解答过程：由，知均是非零向量，且，令，则，所以.因为的夹角为锐角，所以且不同向.（1）当时，，即，解得，即，解得；（2）当同向时，存在实数，使得，即，所以，解得.综上，当的夹角为锐角时，且，即实数的取值范围是.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.如图，在平面四边形中，，．（1）若，，，求的大小；（2）若，，，求．答案：（1）（2）解析：思路：（1）根据正弦定理、余弦定理求解即可.（2）根据，得到，结合诱导公式得到，在中，得到，在中，根据余弦定理列方程求解即可.（1）在中，由余弦定理得，所以.由正弦定理得，所以，因为，所以，，所以，故.（2）设，则，因为，所以，则.在中，，即.在中，由余弦定理得，即，整理得，解得或（舍去）.当时，，，，能构成三角形，满足条件.故.16.已知函数．（1）求的最小正周期和单调递增区间；（2）若函数在内存在两个零点，求实数的取值范围．答案：（1）最小正周期为，单调递增区间为（2）解析：思路：（1）根据题意应用三角恒等变换化简结合正弦函数求得的最小正周期和利用整体代入法求得的单调递增区间；（2）由，转化为求三角函数的值域来求得的取值范围.（1），所以函数的最小正周期为，令，，解得，，所以函数的单调递增区间为，．（2）令，则，原题意等价于方程在上有两个解，当时，，当时满足方程在上有两个解，所以，解得，故实数的取值范围为．17.如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面，垂足为，，交于点，点是的中点．（1）求证：平面．（2）求证：平面．（3）求直线与平面所成角的大小．答案：（1）证明见解析（2）证明见解析（3）解析：思路：（1）根据中位线定理及线面平行的判定定理证明即可.（2）根据线面垂直的性质定理及线面垂直的判定定理证明即可.（3）根据线线平行及线面角的定义，在三角形中求解即可.（1）证明：因为底面是正方形，，为对角线，所以为中点，又点是的中点，所以.又平面，平面，所以平面.（2）证明：因为平面，，平面，所以，，且为直角三角形.因为底面是正方形，所以.又，平面，，所以平面，因为平面，所以.在中，，点是的中点，所以.又，平面，，所以平面.（3）正方形中，，所以直线与平面所成角即为直线与平面所成角，又平面，所以即为直线与平面所成角，也即直线与平面所成角.在中，，点是的中点，所以，，所以.故直线与平面所成角为.18.已知函数．（1）若的值域为，求实数的取值范围．（2）已知当时，恒有意义．（Ⅰ）求在上的最小值；（Ⅱ）设，若对于任意，存在，使得不等式成立，求实数的取值范围．答案：（1）（2）（Ⅰ）；（Ⅱ）解析：思路：（1）对数函数的值域为即真数可以取遍所有的正实数，因为的真数结构比较复杂，换元后通过分析真数的取值范围可求解.（2）（Ⅰ）首先根据当时，恒有意义，结合基本不等式求出的取值范围，对二次函数对称轴的位置分类讨论可求得在上的最小值；（Ⅱ）首先根据恒（能）成立问题得到，再求出在上的最小值，根据（Ⅰ）中结果解不等式即可得解.（1）因为函数的值域为，所以真数需取遍所有的正实数，令，则，构造函数，所以可将需取遍所有的正实数问题转化为在时取遍所有的正实数.对于，图象的开口向上，对称轴方程为，由在时取遍所有的正实数知在上的图象与x轴至少有一个交点，所以在上的最小值小于等于0，所以，且对称轴（否则在上单调递增，，无法取遍所有的正实数），由，解得，所以实数的取值范围是.（2）同（1）中的函数，当时，，恒有意义，即在时恒成立，当时，恒成立；当时，将分离参数得，由基本不等式知，当且仅当，即时等号成立，所以．（Ⅰ）当对称轴，即时，在上单调递增，所以，因为函数是增函数，由复合函数的性质可知当真数取最