2025-2026学年江苏海门中学高二下学期4月学情调研数学试题-含解析

/数学一、单选题1.已知集合，，则（）A. B. C. D.2.若，则的虚部是（）A. B.1 C. D.3.已知，，，则这三点（）A.构成等腰三角形 B.构成直角三角形C.构成等腰直角三角形 D.不能构成三角形4.为了评估某种治疗肺炎药物的疗效，有关部门对该药物在人体血管中的药物浓度进行测量．设该药物在人体血管中药物浓度c与时间t的关系为，甲、乙两人服用该药物后，血管中药物浓度随时间t变化的关系如下图所示．给出下列四个结论错误的是（）A.在时刻，甲、乙两人血管中的药物浓度相同；B.在时刻，甲、乙两人血管中药物浓度的瞬时变化率不同；C.在这个时间段内，甲、乙两人血管中药物浓度的平均变化率相同；D.在，两个时间段内，甲血管中药物浓度的平均变化率相同．5.已知为定义在上的可导函数，为其导函数，且恒成立，其中是自然对数的底数，则（）A. B.C. D.6.现提供5种不同的颜色给图中①②③④⑤这5个区域涂色，要求相邻的区域不能涂同1种颜色，每个区域只涂1种颜色，则不同的涂色方案共有（）A.360种 B.420种 C.120种 D.480种7.若函数在区间存在最大值，则的取值范围为（）A. B. C. D.8.若存在两个正实数x，y，使得等式成立，则实数a的取值范围是（）．A. B.C. D.二、多选题9.若函数导函数的部分图象如图所示，则（）A.是的一个极大值点B.是的一个零点C.不是的一个极小值点D.是的一个极大值点10.如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，，平面，为的中点，则（）A.B.异面直线与所成角的余弦值为C.D.点到平面的距离为11.关于函数，下列说法正确的是（）A.是的极大值点B.函数有且只有1个零点C.存在正整数k，使得恒成立D.对任意两个正实数，且，若，则三、填空题12.已知向量，，且，则______．13.若曲线在点处的切线与曲线只有一个公共点，则______．14.若∀x∈e2,+四、解答题15.已知函数（1）求函数的单调区间；（2）求方程在区间上的解的个数.16.已知函数在处取得极值.（1）求，；（2）证明：时，.17.某汽车生产企业上年度生产一品牌汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为13万元/辆，年销售量为辆，本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适当增加投入成本，若每辆车投入成本增加的比例为，则出厂价相应提高的比例为，年销售量也相应增加.已知年利润＝(每辆车的出厂价－每辆车的投入成本)×年销售量.（1）若年销售量增加的比例为，写出本年度的年利润p(万元)关于x的函数关系式；（2）若年销售量关于x的函数为，则当x为何值时，本年度年利润最大？最大年利润是多少？18.如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面平面，是边长为2的等边三角形，为侧棱的中点，为线段上一点.（1）证明：平面平面；（2）若平面，求直线与平面所成角的正弦值；（3）设点为三棱锥的外接球的球心，试判断三棱锥的体积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.19.已知函数，其中．（1）当时，求在处的切线方程；（2）若函数存在单调递增区间，求实数的取值范围；（3）若R，对任意的恒成立，求的最小值．

数学一、单选题1.已知集合，，则（）A. B. C. D.答案：B解析：解答过程：因为，则∁RA2.若，则的虚部是（）A. B.1 C. D.答案：B解析：思路：借助复数运算法则求出后利用虚部定义即可得.解答过程：，故的虚部是.3.已知，，，则这三点（）A.构成等腰三角形 B.构成直角三角形C.构成等腰直角三角形 D.不能构成三角形答案：D解析：思路：根据空间三点的坐标确定直线的方向向量，进而确定.解答过程：由，，，则，，则，又有公共点，,,三点共线，所以三点不能构成三角形.故选：D.4.为了评估某种治疗肺炎药物的疗效，有关部门对该药物在人体血管中的药物浓度进行测量．设该药物在人体血管中药物浓度c与时间t的关系为，甲、乙两人服用该药物后，血管中药物浓度随时间t变化的关系如下图所示．给出下列四个结论错误的是（）A.在时刻，甲、乙两人血管中的药物浓度相同；B.在时刻，甲、乙两人血管中药物浓度的瞬时变化率不同；C.在这个时间段内，甲、乙两人血管中药物浓度的平均变化率相同；D.在，两个时间段内，甲血管中药物浓度的平均变化率相同．答案：D解析：思路：根据图象以及导数的知识对选项进行分析，从而确定正确选项.解答过程：A选项，根据图象可知，在时刻，甲、乙两人血管中的药物浓度相同，A选项结论正确.B选项，根据图象以及导数的知识可知，在时刻，甲、乙两人血管中药物浓度的瞬时变化率不同，B选项结论正确.C选项，根据图象可知，在这个时间段内，甲、乙两人血管中药物浓度的平均变化率相同，C选项结论正确.D选项，根据图象可知，在这个时间段内，甲血管中药物浓度的平均变化率为大于在这个时间段内，甲血管中药物浓度的平均变化率D选项结论错误.故选：D5.已知为定义在上的可导函数，为其导函数，且恒成立，其中是自然对数的底数，则（）A. B.C. D.答案：D解析：思路：根据已知不等式的形式构造新函数，利用新函数导数的正负性判断新函数的单调性，利用函数的单调性进行判断即可.解答过程：构造新函数，所以是上递增函数，所以.故选：D6.现提供5种不同的颜色给图中①②③④⑤这5个区域涂色，要求相邻的区域不能涂同1种颜色，每个区域只涂1种颜色，则不同的涂色方案共有（）A.360种 B.420种 C.120种 D.480种答案：B解析：思路：根据题意，分只用3种颜色涂色，只用4种颜色涂色和只用5种颜色涂色，三种情况分类讨论，结合排列数和组合数的计算公式，即可求解.解答过程：根据题意，可得按使用的颜色数分类：若只用3种颜色涂色，则①③同色且②④同色，不同的涂色方案有种；若只用4种颜色涂色，则①③同色或②④同色，不同的涂色方案有种；若用5种颜色涂色，则不同的涂色方案有种，故不同的涂色方案共有种．故选：B.7.若函数在区间存在最大值，则的取值范围为（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：先求，得出的单调性和最值，可得，解不等式即可．解答过程：，，所以当或时，，所以在，上单调递增，当时，，所以在上单调递减，所以当时取得极大值，所以要使函数在区间存在最大值，则可得：a>1a3−3解得：．8.若存在两个正实数x，y，使得等式成立，则实数a的取值范围是（）．A. B.C. D.答案：D解析：思路：对已知等式进行变形，通过形式构造函数，利用二次求导法判断函数的单调性，结合函数的图象进行求解即可.解答过程：存在，使，则当时，有，即，其中且，，．令，，则，设，则．当时，，为增函数．又，则当时，，单调递减；当时，，单调递增．故，如图．又存在，使，所以，得或．故a的取值范围是．故选：D二、多选题9.若函数导函数的部分图象如图所示，则（）A.是的一个极大值点B.是的一个零点C.不是的一个极小值点D.是的一个极大值点答案：ACD解析：思路：根据导函数值正负，与原函数单调性之间的关系，进行逐一判断．解答过程：对于A选项，由图可知，在左右两侧，导函数左正右负，函数左增右减，是的一个极大值点，A正确；对于B选项，由图可知，在左右两侧，导函数左负右正，函数左减右增，是的一个极小值点，不是零点，B错误；对于C选项，由图可知，在左右两侧，导函数恒大于零，函数单调递增，不是的一个极值点，C正确；对于D选项，由图可知，在左右两侧，导函数左正右负，函数左增右减，是的一个极大值点，D正确．10.如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，，平面，为的中点，则（）A.B.异面直线与所成角的余弦值为C.D.点到平面的距离为答案：ABD解析：思路：根据向量线性运算可知A正确；以为坐标原点建立空间直角坐标系，根据异面直线所成角的向量求法、向量模长的求解与点到平面距离的向量求法依次验证BCD选项即可.解答过程：对于A，，A正确；对于B，以为坐标原点，正方向为轴正方向可建立如图空间直角坐标系，则，，，，，，，即异面直线与所成角的余弦值为，B正确；对于C，由B知：，，即，C错误；对于D，由B知：，，，设平面的法向量，则，令，解得：，，，设点到平面的距离为，则，D正确.故选：ABD.11.关于函数，下列说法正确的是（）A.是的极大值点B.函数有且只有1个零点C.存在正整数k，使得恒成立D.对任意两个正实数，且，若，则答案：BD解析：思路：分析导函数可作判断A；考查函数的单调性可作判断B；分离参数，再分析函数最值情况而作出判断C；构造函数讨论其单调性，确定即可判断D.解答过程：对于A，定义域为，，时,时，是的极小值点，A错误；对于B，令，在上递减，，有唯一零点，B正确；对于C，令，令，时,时,，在上递减，在上递增，则，，在上递减，图象恒在x轴上方，与x轴无限接近，不存在正实数k使得恒成立，C错误；对于D，由A选项知，在上递减，在上递增，由正实数，且，，得，当时，令，，即在上递减，于是有，从而有，又，所以，即成立，D正确.故选：BD三、填空题12.已知向量，，且，则______．答案：4解析：思路：根据向量数量积的坐标运算求解.解答过程：由，，所以，由，所以，解得：．13.若曲线在点处的切线与曲线只有一个公共点，则______．答案：2解析：思路：求得曲线在处的切线方程为，根据题意得也是曲线的一条切线，设切点为，列方程组求得即可.解答过程：由，得，，故曲线在处的切线方程为，因为曲线在点处的切线与曲线只有一个公共点，且的图象呈上凸递增的趋势，所以说明也是曲线的一条切线，对求导得，设切点为，所以，解得，满足.故答案为：2.14.若，都有，则a的取值范围为______．答案：2解析：思路：先将不等式化为eaxlneax≥xlnx，再构造，利用导数研究其单调性，结合恒成立得，进而有解答过程：由题设∀x∈e2,+∞因为x∈e2,+∞，所以令且，则，当时，，即在上单调递减，当时，，即在上单调递增，当，此时0<eax<1，则ae故，所以eax≥1，而在x∈e2问题化为，在x∈e2令且x∈e2,+∞当时，，即在e2,+∞上单调递减，所以hx≤he则a的取值范围为2e四、解答题15.已知函数（1）求函数的单调区间；（2）求方程在区间上的解的个数.答案：（1）单调递增区间为，单调递减区间为（2）答案见解析解析：思路：（1）求导，根据导函数符号情况即可求解；（2）判断函数在区间上的单调性情况，进一步计算的值，分类讨论即可求解.（1）对求导得，令，解得或，令，解得，所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为；（2）由（1）可知，函数在上单调递减，在上单调递增，所以在上的最小值为，且，从而当或时，方程在区间上的解的个数为0；当或时，方程在区间上的解的个数为1；当时，方程在区间上的解的个数为2.16.已知函数在处取得极值.（1）求，；（2）证明：时，.答案：（1）（2）证明见解析解析：思路：（1）求导，根据，得到方程组，求出，检验后得到答案；（2）作差得到，构造，，求导，得到函数单调性，求出，得到.（1），故且，解得，故，，令得，令得，所以在处取得极值，满足要求；（2）时，，令，，则，故在上单调递减，则，所以，，证毕.17.某汽车生产企业上年度生产一品牌汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为13万元/辆，年销售量为辆，本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适当增加投入成本，若每辆车投入成本增加的比例为，则出厂价相应提高的比例为，年销售量也相应增加.已知年利润＝(每辆车的出厂价－每辆车的投入成本)×年销售量.（1）若年销售量增加的比例为，写出本年度的年利润p(万元)关于x的函数关系式；（2）若年销售量关于x的函数为，则当x为何值时，本年度年利润最大？最大年利润是多少？答案：（1）（2）当时，本年度的年利润最大，最大年利润为万元解析：思路：（1）根据年利润公式代入得出p(万元)关于x的函数；（2）写出本年度的年利润函数，利用导数讨论函数的单调性得出最大值.（1）由题意得：本年度每辆车的投入成本为，出厂价为，年销售量为.因此本年度的年利润.（2）本年度的年利润为，则，令，解得或(舍去).当时，，当时，，所以时，有最大值.所以当时，本年度的年利润最大，最大年利润为万元.18.如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面平面，是边长为2的等边三角形，为侧棱的中点，为线段上一点.（1）证明：平面平面；（2）若平面，求直线与平面所成角的正弦值；（3）设点为三棱锥的外接球的球心，试判断三棱锥的体积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.答案：（1）证明见解析（2）（3）是定值，解析：思路：（1）先由面面垂直证明平面，得，再由题设条件证明，即可证明平面，再由面面垂直的判定定理即可得证；（2）由平面证得，得为线段的中点，取的中点为坐标原点建系，求出相关向量的坐标，利用空间向量的夹角公式计算即得；（3）先判断三棱锥外接球的球心为线段的中点，易得，可得点到平面的距离为点到平面的距离的一半，利用等体积即可求出三棱锥的体积.（1）平面平面，平面平面，，且平面，则平面，因平面，则，又，则，因平面，则平面