2025-2026学年江苏南京励志高级中学高二下学期第四次调研考试数学试题-含解析

/数学满分：150分一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知一组数据3，7，11，7，13，15，则该组数据的第40百分位数为（）A.7 B.9 C.11 D.122.已知向量，，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件3.若，则（）A. B. C.1 D.4.的展开式中，的系数为（）A.60 B. C.120 D.5.已知l，m是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（）A.若，，，则B.若，，则C.若，，，则D.若，且与所成的角和与所成的角相等，则6.已知等比数列的前项和为，若，则（）A.8 B.9 C.16 D.177.甲箱中有2个红球和2个黑球，乙箱中有1个红球和3个黑球．先从甲箱中等可能地取出2个球放入乙箱，再从乙箱中等可能地取出1个球，记事件“从甲箱中取出的球恰有个红球”为，“从乙箱中取出的球是黑球”为，则（）A. B. C. D.8.若直线与曲线相切，则的取值范围为（）A. B. C. D.二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.将函数图象的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，则（

）A.为奇函数 B.的最小正周期为C.与在上均单调递减 D.函数在上有5个零点10.等差数列中，，，若，，则（）A.有最小值，无最小值 B.有最小值，无最大值C.无最小值，有最小值 D.无最大值，有最大值11.已知定义域为的函数，对任意，都有，且，则（）A. B.为偶函数C.为奇函数 D.三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分．）12.已知随机变量服从正态分布，，则______.13.函数在区间上单调递增，则实数的取值范围为___________.14.已知点P为内一点，若F为AC中点，G为BC中点，___________．的面积之比为_____________．四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）15.如图，四棱锥中，平面ABCD，四边形ABCD为直角梯形，，（1）已知G为AF的中点，求证：平面DCF；（2）若直线BF与平面ABCD所成的角为，二面角的余弦值为，求点B到平面DCF的距离．16.已知分别为三个内角的对边，且.（1）求；（2）若，且的面积为，求的值.17.某智能制造工厂有甲、乙、丙三条生产线生产同款精密零件，其中甲生产线产能占总产量的，乙占，丙占；三条生产线的次品率分别为、、，所有零件外观无差异，随机混装入库．（1）随机抽取1件入库零件，求该零件为次品的概率；（2）若抽检发现该零件为次品，求该次品来自甲生产线的概率；（3）现从入库产品中随机独立抽取（，）件产品，记次品数量为，若，求正整数的最大值与最小值．18.已知抛物线的焦点为．（1）求点到抛物线准线的距离；（2）若过点的直线交抛物线于、两点，求的最小值；（3）设直线与抛物线交于、两点，若，求线段中点到轴的距离的取值范围．19.已知函数，若对于其定义域中任意给定的实数，都有，就称函数为“JC函数”.（1）已知，判断是否是“JC函数”，并说明理由：（2）已知是定义在上的“JC函数”，且在上是严格增函数，判定并证明在上的单调性；（3）若是“JC函数”，且定义域为，已知时，，求函数的解析式并指出方程是否有正整数解？请说明理由.

数学满分：150分一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知一组数据3，7，11，7，13，15，则该组数据的第40百分位数为（）A.7 B.9 C.11 D.12答案：A解析：思路：先将数据从小到大排序，再根据百分位数的定义计算对应位置，即可求得第40百分位数．解答过程：首先将该组数据从小到大排列为：，数据总个数，因为，因此该组数据的第40百分位数为排列后的第3个数据7．2.已知向量，，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案：B解析：解答过程：由，，可得，若，则，即，解得或，无法推出一定是，故充分性不成立；当时，，则，即成立，故必要性成立。因此“”是“”的必要不充分条件.3.若，则（）A. B. C.1 D.答案：B解析：思路：应用复数除法化简复数，再求其模长.解答过程：因为，所以.故选：B4.的展开式中，的系数为（）A.60 B. C.120 D.答案：A解析：思路：根据，结合二项展开式的通项公式分析求解.解答过程：由题意可知：的通项为，且的通项为，令，解得，所以的系数为．故选：A5.已知l，m是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（）A.若，，，则B.若，，则C.若，，，则D.若，且与所成的角和与所成的角相等，则答案：C解析：思路：利用线面的位置关系，结合空间想象即可得解.解答过程：若，，，则与有可能平行，故A错误；若，，则可能在内，故B错误；若，，则，又，则，故C正确；若，且与所成的角和与所成的角相等，则与有可能相交，故D错误.故选：C.6.已知等比数列的前项和为，若，则（）A.8 B.9 C.16 D.17答案：A解析：思路：利用等比数列前项和的性质计算即可.解答过程：设，则，因为为等比数列，所以仍成等比数列.易知，所以,故.故选:A.7.甲箱中有2个红球和2个黑球，乙箱中有1个红球和3个黑球．先从甲箱中等可能地取出2个球放入乙箱，再从乙箱中等可能地取出1个球，记事件“从甲箱中取出的球恰有个红球”为，“从乙箱中取出的球是黑球”为，则（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：根据题意，先求出，，，判断A，由条件概率公式和全概率公式依次判断B、C、D选项即可.解答过程：根据题意，甲箱中有2个红球和2个黑球，则，，，故A不正确；乙箱中有1个红球和3个黑球，则，，，故B不正确；则有，故C不正确；则，故D正确；故选：D8.若直线与曲线相切，则的取值范围为（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：借助导数的几何意义计算可得，借助导数得到函数的值域即可得解.解答过程：对于，有，令切点为，则切线方程为，即，即有，令，则，当时，，当时，，故在上单调递增，在上单调递减，故，又当趋向于正无穷大时，趋向于负无穷，故，即.故选：A.二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.将函数图象的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，则（

）A.为奇函数 B.的最小正周期为C.与在上均单调递减 D.函数在上有5个零点答案：CD解析：思路：诱导公式结合余弦函数性质可判断A；根据周期变换求，由周期公式可判断B；整体代入法求单调区间即可判断C；直接解方程求零点可判断D.解答过程：对A，，显然为偶函数，A错误；对B，由题知，，则最小正周期，B错误；对C，由得，在上单调递减，所以在上单调递减，由得，在上单调递减，所以在上单调递减，C正确；对D，由得，所以或，即或，因为，所以，所以函数在上有5个零点，D正确.故选：CD10.等差数列中，，，若，，则（）A.有最小值，无最小值 B.有最小值，无最大值C.无最小值，有最小值 D.无最大值，有最大值答案：AD解析：思路：先利用等差数列的通项公式求得基本量，从而得到，利用它们的表达式进行分析即可得解.解答过程：设等差数列的公差为，依题意，得，解得，，，当时，有最小值无最大值，而，易得，，且，当时，，当时，有最大值，无最小值.故选：AD.11.已知定义域为的函数，对任意，都有，且，则（）A. B.为偶函数C.为奇函数 D.答案：BCD解析：思路：利用赋值法计算可得，即A错误；令可得满足偶函数定义，即B正确；取可得，可得为奇函数，即C正确；利用奇函数性质可得，可得D正确.解答过程：令，得，又，所以，故A错误；令得，，所以，故为偶函数，故B正确；令，得，所以，又，所以，而的定义域是全体实数，所以为奇函数，故C正确；由C可得，也即，所以，所以，故D正确.故选：BCD.方法提示：方法点睛：在求解抽象函数问题时，经常利用赋值法求出函数值，再根据函数的奇偶性进行周期、对称性等性质的判断.三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分．）12.已知随机变量服从正态分布，，则______.答案：0.1##解析：思路：利用正态分布的对称性求出概率.解答过程：随机变量服从正态分布，则，.故答案为：0.113.函数在区间上单调递增，则实数的取值范围为___________.答案：解析：思路：对函数求导并根据单调性得出不等式在恒成立，再构造函数并利用单调性即可求得实数的取值范围.解答过程：对于，则，因为在区间上单调递增，所以在恒成立，显然，所以在恒成立，令，，则，所以在上单调递增，所以，则或（舍去），所以实数的取值范围为.故答案为：14.已知点P为内一点，若F为AC中点，G为BC中点，___________．的面积之比为_____________．答案：①.②.5：3：2解析：思路：整理原式可得，又，可得解第一空；易证GF为三角形ABC的中位线，且，结合第一空结论，可得解第二空解答过程：因为，所以，因为F为AC中点，G为BC中点，所以，所以，所以F、P、G三点共线，且易知GF为三角形ABC的中位线，设中PC边上的高为，中PC边上的高为，所以，而，所以的面积之比为故答案为：，四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）15.如图，四棱锥中，平面ABCD，四边形ABCD为直角梯形，，（1）已知G为AF的中点，求证：平面DCF；（2）若直线BF与平面ABCD所成的角为，二面角的余弦值为，求点B到平面DCF的距离．答案：（1）证明：取DF的中点K，连接GK、KC，因为G为AF中点，所以，，因为，，所以，，所以四边形KGBC为平行四边形，所以，因为平面DCF，平面DCF，故平面DCF；（2）解析：思路：（1）取DF的中点K，可证明四边形KGBC为平行四边形，即可证明平面；（2）以A为坐标原点建立空间直角坐标系，设，求出平面DCF的法向量为，应用公式即可求点B到平面DCF的距离.（1）略（2）因为平面ABCD，四边形ABCD为直角梯形，，所以FA，AD，AB两两垂直，以A为坐标原点，AF，AB，AD所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，直线BF与平面ABCD所成的角为，有，设，，则，，，，所以，，，设平面DCF的法向量为，所以，即，令，则，，所以，所以，所以，即，因为，所以点B到平面DCF的距离16.已知分别为三个内角的对边，且.（1）求；（2）若，且的面积为，求的值.答案：（1）（2）解析：思路：（1）利用正弦定理边转角得到，再利用辅助角公式及特殊角的三角函数值，即可求解；（2）根据条件及（1）中结果，得到，再利用面积公式及正弦定理边角互换，得到，即可求解.（1）由题可得，又，所以，又，则，所以，得到，又，所以，解得.（2）因为，则，因为，所以，所以，，所以，又面积，其中为外接圆的半径，解得，所以.17.某智能制造工厂有甲、乙、丙三条生产线生产同款精密零件，其中甲生产线产能占总产量的，乙占，丙占；三条生产线的次品率分别为、、，所有零件外观无差异，随机混装入库．（1）随机抽取1件入库零件，求该零件为次品的概率；（2）若抽检发现该零件为次品，求该次品来自甲生产线的概率；（3）现从入库产品中随机独立抽取（，）件产品，记次品数量为，若，求正整数的最大值与最小值．答案：（1）；（2）；（3）最小值为，最大值为.解析：思路：（1）利用全概率公式整合不同生产线的次品率，计算整体次品概率；（2）利用贝叶斯公式，结合全概率结果计算次品来自甲生产线的条件概率；（3）通过二项分布的相邻概率比值分析，确定使最大的的取值范围，进而得到最值.（1）设表示“零件来自第条生产线”（，对应甲、乙、丙），表示“零件为次品”.由题意，，，，，，.由全概率公式，.（2）由贝叶斯公式，.（3）由题意，，故（）.要使最大，需满足且.由，得，化简得，解得，故.由，得，化简得，解得，故.综上，正整数的最小值为，最大值为.18.已知抛物线的焦点为．（1）求点到抛物线准线的距离；（2）若过点的直线交抛物线于、两点，求的最小值；（3）设直线与抛物线交于、两点，若，求线段中点到轴的距离的取值范围．答案：（1）（2）（3）解析：思路：（1）求出角度坐标和准线方程，再求解距离即可.（2）对直线斜率是否存在进行讨论，再结合焦半径公式求解最值即可.（3）利用中点坐标公式并结合题意表示出距离，再利用平面向量数量积的坐标表示得到或，最后分类讨论得到最值即可.（1）由题意得，准线方程为，则点到抛物线准线的距离为.（2）当斜率不存在时，直线方程为，设，，联立方程组，解得，可得，当斜率存在时，设直线方程为，联立方程组，可得，由韦达定理得，由焦半径公式得，综上可得，的最小值为.（3）如图，作出符合题意的图形，设直线方程为，设，，联立方程