2025-2026学年江苏省常州市高二下学期期末考试数学试题-含解析

/数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，，则集合中元素个数为（）A.1 B.2 C.3 D.62.已知a，b为实数，“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件3.若，则（）A. B. C. D.4.已知函数是偶函数，则实数（）A. B. C. D.5.已知幂函数的图象不经过原点，则（）A. B. C.或 D.或6.已知函数在区间上单调递增，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.7.两个相互啮合的齿轮，大轮有60齿，小轮有45齿．已知大轮的转速为（转/分钟），小轮圆周的半径为，那么小轮圆周上一点每转过的弧长是（）A. B. C. D.8.已知锐角满足，则（）A. B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.数集，，，满足等式，下列对应是函数的有（）A.，其中， B.，其中，C.，其中， D.，其中，10.已知函数的图象关于直线轴对称，则（）A.在上单调递减B.在内有2个极值点C.点是曲线的对称中心D.直线是曲线的切线11.已知函数的定义域为，且，，，则（）A.为奇函数 B.C. D.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知函数，若，则实数________．13.已知函数的部分图象如下图所示，则________．14.已知，，若，则的最小值为________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知函数．（1）若，求不等式的解集；（2）若，，求的取值范围．16.已知角的终边经过点．（1）求的值；（2）若，求的值．17.已知函数为奇函数．（1）求实数的值;（2）设函数．①求的值：②证明函数的图象关于点对称．18.已知函数．（1）若的最小正周期为，求的值；（2）若在区间上单调递增，求的取值范围；（3）已知实数，满足，若对任意满足此条件的，若关于的方程在区间内至少存在2026个不同的实数解，求的取值范围．19.已知函数．（1）若，求的极值；（2）讨论函数的单调性；（3）是否存在实数，使得的两个零点互为相反数？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．

数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，，则集合中元素个数为（）A.1 B.2 C.3 D.6答案：D解析：解答过程：由于,所以集合中元素个数为2.已知a，b为实数，“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案：B解析：思路：利用充分，必要条件的定义判断即可得结论.解答过程：由，可得且，则由“”可得“”，但是不能由“”得到“”，因为b可能为0，则“”是“”的必要不充分条件．故选：B.3.若，则（）A. B. C. D.答案：A解析：解答过程：由于，所以，则4.已知函数是偶函数，则实数（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：利用偶函数的定义即可求解.解答过程：已知函数的定义域为，所以

，又因为函数是偶函数，所以，解得，故C正确.5.已知幂函数的图象不经过原点，则（）A. B. C.或 D.或答案：A解析：思路：先根据幂函数的定义求出的可能取值，再结合图象不过原点的约束筛选出符合条件的，最后代入计算函数值即可.解答过程：由题意可得，解得或，当时，，此时图象不经过原点，符合题意；当时，，此时图象经过原点，不符合题意；所以，.6.已知函数在区间上单调递增，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：将函数单调递增转化为导函数非负恒成立，分离参数后构造辅助函数，通过导数判断单调性确定函数上界，进而得到参数的取值范围.解答过程：函数的定义域为，求导得.由在上单调递增，得对任意恒成立，整理得.设，，求导得，故在上单调递增.因此，要使在上恒成立，需.7.两个相互啮合的齿轮，大轮有60齿，小轮有45齿．已知大轮的转速为（转/分钟），小轮圆周的半径为，那么小轮圆周上一点每转过的弧长是（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：通过大轮的转速，得到小轮的转速，从而求出小轮上每一点的转速，再根据弧长公式计算可得.解答过程：大轮有60齿，小轮有45齿，当大轮转动一周时小轮转动周，当大轮的转速为时，小轮转速为，小轮周上一点每1s转过的弧度数为：.又小轮的半径为，所以小轮周上一点每1s转过的弧长为：.8.已知锐角满足，则（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：由和差化积公式结合题设可得：，然后结合为锐角，二倍角的正切公式可得答案.解答过程：因，可得，则，得到，又结合为锐角，可得，从而，得到，结合，可得.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.数集，，，满足等式，下列对应是函数的有（）A.，其中， B.，其中，C.，其中， D.，其中，答案：ABD解析：思路：根据题意，结合指数函数、对数函数的定义域与值域，判断对应关系是否满足“定义域内任意元素在陪域中都有唯一确定元素与之对应”的要求即可解答过程：由题设等式得，其反函数为：其中的定义域为，值域为；的定义域为，值域为，对于A，定义域为，对任意，都有唯一确定的，满足函数定义，是函数，故A正确；对于B，定义域为，对任意，都有唯一确定的，满足函数定义，是函数，故B正确；对于C，定义域为，当时无意义，不存在对应的，不满足函数定义，不是函数，故C错误；对于D，定义域为，对任意，都有唯一确定的，满足函数定义，是函数，故D正确；10.已知函数的图象关于直线轴对称，则（）A.在上单调递减B.在内有2个极值点C.点是曲线的对称中心D.直线是曲线的切线答案：AC解析：思路：直接利用函数的对称性求出函数的关系式，根据余弦函数的单调性即可判断A；根据极值点的定义即可判断B；根据余弦函数的对称性即可判断C；根据导数的几何意义即可判断D.解答过程：由题意得，所以，即，又，所以，故，对于A，当时，，因为在单调递减，而，故A正确；对于B，当时，，由余弦函数的图象知有一个极值点，故B不正确；对于C，当时，，所以是曲线的对称中心，故C正确；对于D，设切点，令，得，或，从而得或，将和代入可得点的坐标和，将点代入直线方程验证知均不在直线上，故D不正确.11.已知函数的定义域为，且，，，则（）A.为奇函数 B.C. D.答案：ACD解析：思路：对于A,先令，求得，再令，可得，即可判断；对于B，令代入求解后，即可判断；对于C，令，代入求解后即可判断；对于D，通过计算可得函数是周期函数，最小正周期为，由此求解即可.解答过程：对于A,令，得，解得，令，得，即，所以或，当时，令，得与矛盾，故舍去;所以，即，所以为奇函数，故A正确；对于B，因为，，所以，即，解得，故B错误；对于C，令，得所以，故C正确；对于D，令，得，解得，令，则，所以，解得，，解得；令，得，解得；，解得；所以函数是周期函数，最小正周期为，又，所以，故D正确.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知函数，若，则实数________．答案：10解析：思路：根据对数的计算公式即可求解.解答过程：由题意，故.13.已知函数的部分图象如下图所示，则________．答案：解析：思路：先根据图象求得的解析式，然后计算即可.解答过程：由图象可得，，，..又的图象经过，，得...14.已知，，若，则的最小值为________．答案：解析：解答过程：由题意，，则，令，，则，等号成立时，即，，故的最小值为.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知函数．（1）若，求不等式的解集；（2）若，，求的取值范围．答案：（1）（2）解析：思路：（1）由二次不等式解法结合题设可得答案；（2）由题可得，然后由函数单调性结合题设可得答案.（1）当，，则不等式解集为；（2），因，则.要使时，，则.因均在上单调递增，则在上单调递增，从而，即.16.已知角的终边经过点．（1）求的值；（2）若，求的值．答案：（1）（2）或解析：思路：（1）先根据三角函数定义求出，再根据二倍角公式求出，最后利用正切的两角和公式求出答案.（2）先求出，再利用同角三角函数关系式求出，然后分两种情况计算.（1）已知角的终边经过点，.，.（2）已知角的终边经过点，，.，..当时，.当时，.综上，或.17.已知函数为奇函数．（1）求实数的值;（2）设函数．①求的值：②证明函数的图象关于点对称．答案：（1）；（2）①；②证明：因为，其定义域为，所以，所以，所以函数的图象关于点对称．解析：思路：（1）由定义域关于原点对称，得，再代入检验即可；（2）①由题意可得，将代入求解即可；②证明即可.（1）因为为奇函数，由，得，即，当时，得，定义域为，不满足题意；当时，由，得，又因为是奇函数，故定义域关于原点对称，所以，解得；当时，，定义域为，关于原点对称，且，满足题意；所以；（2）①因为，所以；②略；18.已知函数．（1）若的最小正周期为，求的值；（2）若在区间上单调递增，求的取值范围；（3）已知实数，满足，若对任意满足此条件的，若关于的方程在区间内至少存在2026个不同的实数解，求的取值范围．答案：（1）（2）（3）解析：思路：（1）由正切型函数的周期公式求解；（2）依题意由，有，可求的取值范围；（3）依题意可知至少包含2025个周期，则有，求解的取值范围即可.（1）函数的最小正周期为，解得.（2）时，，若在区间上单调递增，则有，解得，所以的取值范围为.（3）方程，解得，即，若关于的方程在区间内至少存在2026个不同的实数解，则在区间内至少存在2026个不同的实数解，至少包含2025个周期，由，得，所以，所以的取值范围为.19.已知函数．（1）若，求的极值；（2）讨论函数的单调性；（3）是否存在实数，使得的两个零点互为相反数？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．答案：（1）极大值为，极小值为.（2）时，在上单调递减，在单调递增；时，在和上单调递增，在上单调递减；时，在R上单调递增；时，在和上单调递增，在上单调递减.（3）不存在满足条件的a，理由如下：假设存在实数a，使得的两个零点互为相反数，设两个零点为和，则有：，两式相减消去参数a，得，令，求导得，对任意，恒成立，仅在处导数为0，故在R上单调递增，又，因此仅有唯一解，但时，与零点定义矛盾，故不存在满足条件的a.解析：思路：（1）利用导数求的极值；（2）讨论a的取值范围，利用导数求函数的单调性；（3）假设存