2025-2026学年江苏省常州市正行中学高一下学期期末考试数学试题-含解析

/数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知复数满足，则（）A. B. C. D.2.从含有500个个体的总体中，一次性地抽出25个个体，假定其中每个个体被抽到的概率相等，那么，总体中某个个体被抽到的概率为（）A. B. C. D.3.若，则（）A. B. C. D.34.已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列说法正确的是（）A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则5.如图，在平行四边形中，边，，点E是对角线BD上靠近点D的三等分点，则（）A. B.C. D.6.掷一枚质地均匀的骰子，观察朝上的面的点数，记事件，则下列说法正确的是（）A. B.事件与事件为对立事件C.事件与事件为互斥事件 D.事件与事件相互独立7.在正方体中，点分别在线段和上，且，，则直线和所成角的余弦值为（）A. B. C. D.8.已知，且，，则的值为（）A. B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分．9.甲、乙两人在相同的条件下各打靶6次，每次打靶的情况如图所示（实线为甲的折线图），则（）A.甲、乙两人打靶的平均环数相等B.甲的环数的中位数比乙的大C.甲的环数的众数比乙的小D.乙打靶的成绩比甲的更稳定10.中，角所对的边分别为，，，则（）A. B.的外接圆半径为C.面积的最大值为 D.的内切圆半径的最大值为11.如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，动点在侧面内且满足，，，则下列说法正确的有（）A.若，则B.若，则四面体的体积为C.若平面，则点的轨迹长度为D.若，则的最小值为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.计算：______．13.一个圆台的上、下底面的半径分别为和，侧面积为，则圆台的高为______．14.受台风影响，路边一棵大树在树干某点处被台风折断且形成角，树尖着地处与树根相距10米，树根与树尖着地处恰好在路的两侧，设（三点所在平面与地面垂直，树干粗度忽略不计）．若，则折断前树身长度为______．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知平面向量，，，且与的夹角为．（1）求与的夹角；（2）求．16.如图，在直四棱柱中，底面为菱形，为中点．（1）求证：∥平面；（2）求证：平面．17.为选拔运动员参加大学生运动会，某高校对40名大学生选手进行专项成绩考核（满分100分），考核成绩的频率分布直方图如图所示．现从得分在［70，90）中，按分2层，采用分层随机抽样的方法抽取5人．（1）求；（2）从5人中随机抽取2人进行考核，求至少有1人分数低于80分的概率．18.记的内角的对边分别为，面积为，已知，．（1）求；（2）若边上的中线，求；（3）若，点分别在边上，线段将分成面积相等的两部分，求的最小值．19.如图，在平面四边形中，，，，，将沿着翻折得到（保留原平面四边形）形成四棱锥．（1）若二面角为直二面角．①求直线与平面所成角的正弦值；②过点且平行于平面的平面交于点，求三棱锥的体积；（2）点在同一个球面上，设该球面的球心为，半径为，二面角和的平面角大小分别为，求（结果用表示）．

数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知复数满足，则（）A. B. C. D.答案：B解析：解答过程：方法一：，将等式两边同时除以，分子分母同乘进行化简得，∴，∴.方法二：利用复数模的运算性质：对任意复数，恒有，对左右两边同时取模，得，即，∵，，∴.2.从含有500个个体的总体中，一次性地抽出25个个体，假定其中每个个体被抽到的概率相等，那么，总体中某个个体被抽到的概率为（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：根据简单随机抽样的性质，个体被抽到的概率等于样本容量除以总体容量，直接计算即可.解答过程：已知总体容量为500，抽取的样本容量为25，则总体中某个个体被抽到的概率.3.若，则（）A. B. C. D.3答案：C解析：思路：利用两角和的正切公式展开，即可求解.解答过程：由，可得：

，两边同乘去分母得：，展开右侧得：，解得.4.已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列说法正确的是（）A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则答案：B解析：思路：结合线面平行的定义、判定定理及性质定理逐一验证各选项，即可.解答过程：对选项A：若，，则或，因此A错误；对选项B：该命题是线面平行的性质定理，即如果一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行，因此B正确；对选项C：若，，则或，因此C错误；对选项D：若，，则与的位置关系为平行或异面，因此D错误.5.如图，在平行四边形中，边，，点E是对角线BD上靠近点D的三等分点，则（）A. B.C. D.答案：C解析：解答过程：在平行四边形中，边，，点是对角线上靠近点D的三等分点，所以.6.掷一枚质地均匀的骰子，观察朝上的面的点数，记事件，则下列说法正确的是（）A. B.事件与事件为对立事件C.事件与事件为互斥事件 D.事件与事件相互独立答案：D解析：思路：由各类事件的定义结合事件独立性的公式依次验证选项即可.解答过程：由题意得，故A错误，，故B，C错误，，，所以，故事件与事件相互独立，故D正确.7.在正方体中，点分别在线段和上，且，，则直线和所成角的余弦值为（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：建立空间直角坐标系，求出两直线的方向向量，利用向量夹角公式计算异面直线所成角的余弦值解答过程：设正方体的棱长为1，以D为坐标原点，分别以、、的方向为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系.则，，，.∴，，,

.设直线和所成角为，则，所以.8.已知，且，，则的值为（）A. B. C. D.答案：A解析：解答过程：因为，所以，所以，化简得，所以.又由于，所以​​，又，，所以，所以.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分．9.甲、乙两人在相同的条件下各打靶6次，每次打靶的情况如图所示（实线为甲的折线图），则（）A.甲、乙两人打靶的平均环数相等B.甲的环数的中位数比乙的大C.甲的环数的众数比乙的小D.乙打靶的成绩比甲的更稳定答案：AD解析：思路：根据图中数据计算平均数、中位数、众数、方差，然后逐一判断即可.解答过程：由图可知，甲的环数由小到大排列：，乙的环数由小到大排列：，对A，甲的平均环数，乙的平均环数，正确；对B，甲的环数的中位数为，乙的环数的中位数为，错误；对C，甲的环数的众数为，乙的环数的众数为，错误；对D，甲的方差，乙的方差，因为，所以乙打靶的成绩比甲的更稳定，正确.10.中，角所对的边分别为，，，则（）A. B.的外接圆半径为C.面积的最大值为 D.的内切圆半径的最大值为答案：ACD解析：思路：根据余弦定理将等式中的角转化为边化简即可求出边的值，根据正弦定理即可判断B选项，利用已知角列出面积公式，根据基本不等式求解面积的最大值，根据等面积法利用内切圆半径列出面积公式，根据半径表达式计算最大值．解答过程：由余弦定理可得，整理得，解得，故A正确；由正弦定理可得，则（为三角形外接圆的半径）；，由余弦定理可知，因为，当且仅当时，等号成立；故，故，则面积的最大值为；设为的内切圆半径，则，则，因为，当且仅当时，时，等号成立；则，令，则，则，当时，即，取最大值，的内切圆半径的最大值为．11.如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，动点在侧面内且满足，，，则下列说法正确的有（）A.若，则B.若，则四面体的体积为C.若平面，则点的轨迹长度为D.若，则的最小值为答案：ABD解析：思路：应用向量关系证明线线平行判断A，根据三棱锥体积公式计算判断B，应用线面平行及边长计算判断C，把平面翻折展开至平面，当三点共线时，取最小值，再结合余弦定理计算判断D.解答过程：对于A，当时，，取线段的中点，则，即共线，由于为的中点，在正方体中，所以，故A正确；对于B，当时，则，所以是的中点，此时点到平面的距离为，所以，故B正确；对于C，取线段的中点，线段的中点，当点位于线段上时，，平面，平面，所以平面，又因为，平面，平面，所以平面，由于交于点，平面，所以平面平面，平面，所以平面，因此点的轨迹为线段，由于正方体的棱长为，，所以点的轨迹长度为，故C错误；对于D，当时，点位于线段上，把平面翻折展开至平面，如图所示，当点三点共线时，取最小值，在中，由于为的中点，正方体的棱长为，由勾股定理可知，，，由余弦定理得，所以，又因为为等边三角形，所以在中，，所以，所以，代入数据，解得，因此的最小值为.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.计算：______．答案：解析：思路：根据虚数单位的幂次运算规则，分别计算各项的值后求和即可得到结果；解答过程：，13.一个圆台的上、下底面的半径分别为和，侧面积为，则圆台的高为______．答案：3解析：解答过程：设圆台的母线长为，高为，上底面半径，下底面半径.∵圆台的侧面积公式为，且已知，∴将已知条件代入得，解得.∵，代入，得.14.受台风影响，路边一棵大树在树干某点处被台风折断且形成角，树尖着地处与树根相距10米，树根与树尖着地处恰好在路的两侧，设（三点所在平面与地面垂直，树干粗度忽略不计）．若，则折断前树身长度为______．答案：（或）米解析：思路：在中，利用三角形内角和定理求出，再利用正弦定理分别求出AB和BC的长度，最后求和即可．解答过程：在中，由题意可知，，．∴．由正弦定理，得，∴．故折断前树身长度为（米）．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知平面向量，，，且与的夹角为．（1）求与的夹角；（2）求．答案：（1）（2）解析：思路：（1）由向量的数量积公式可得，即可得夹角为.（2）由向量的数量积公式对平方再开方即可求解.（1），，所以与的夹角为.（2），，则.16.如图，在直四棱柱中，底面为菱形，为中点．（1）求证：∥平面；（2）求证：平面．答案：（1）见解析；（2）见解析﹒解析：思路：(1)设与交于点，接，可得，即可证明∥平面；(2)证明AC⊥BD及AC⊥即可﹒（1）设与交于点，接，底面是菱形，为中点，又∵是的中点，，面，平面∥平面；（2）在直四棱柱中，面面，∴．∵底面为菱形，∴，∴面面，∴面﹒17.为选拔运动员参加大学生运动会，某高校对40名大学生选手进行专项成绩考核（满分100分），考核成绩的频率分布直方图如图所示．现从得分在［70，90）中，按分2层，采用分层随机抽样的方法抽取5人．（1）求；（2）从5人中随机抽取2人进行考核，求至少有1人分数低于80分的概率．答案：（1）（2）解析：思路：（1）根据频率之和等于1列式计算即可；（2）根据古典概型概率公式求解即可.（1）由图可知，解得.（2）考核成绩在内的频率分别为，所以抽取的5人中，考核成绩在内的分别为人和人，分别记为，从5人中随机抽取2人的样本点：，共10个，至少有1人分数低于80分的样本点有：，共7个，所以至少有1人分数低于80分的概率.18.记的内角的对边分别为，面积为，已知，．（1）求；（2）若边上的中线，求；（3）若，点分别在边上，线段将分成面积相等的两部分，求的最小值．答案：（1）（2）（3）4解析：思路：（1）根据余弦定理以及三角形的面积公式求解即可.（2）根据余弦定理求出，以及三角形面积公式求解即可.（3）根据三角形面积以及基本不等式求解即可.（1）已知，则，解得.因为，所以.（2），是边上的中线，在中，.根据余弦定理，，代入化简得.已知，，所以，即.由(1)知，因此.所以.（3）由，，解得，.由正弦定理，解得，，则.设，，由平分面积得12mnsinπ结合得.由余弦定理，由基本不等式，等号成立当且仅当，因此最小值为.19.如图，在平面四边形中，，，，，将沿着翻折得到（保留原平面四边形）形成四棱锥．（1）若二面角为直二面角．①求直线与平面所成角的正弦值；②过点且平行于平面的平面交于点，求三棱锥的体积；（2）点在同一个球面上，设该球面的球心为，半径为，二面角和的平面角大小分别为，求（结果用表示）．答案：（1）①；②；（2）．解析：思路：（1）①根据翻折变换可得全等三角形，并且根据直二面角可作出在底面的投影，作出直线与平面所成角，根据直角三角形求解夹角的正弦值；②根据面面平行的性质，两平面平行，则平面内直线与另一平面平行，根据线面平行确定点的位置，进而通过换底计算三棱锥的体积；（2）利用球心与切面圆心连线垂直于截面的性质，构造二面角的平面角，根据角所在的直角三角形得到正切值，代入计算结果即可．（1）过点作，连接；因为二面角为直二面角，所以平面平面，且平面平面，因为，平面，所以平面，故为直线与平面所成角；因为，，，，所以，；