2025-2026学年江苏省南通市高一下学期6月期末考试数学试题-含解析

/数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知（，），则（）A.-1 B.0 C.1 D.22.已知向量满足，则与的夹角为（）A. B. C. D.3.函数的图象可由函数的图象（）个单位得到A.向右平移 B.向右平移 C.向左平移 D.向左平移4.已知正三棱台的上、下底面边长分别是和，侧棱长是，则它的侧面积是（）A. B. C. D.5.已知向量，，则在上的投影向量的坐标为（）A. B. C. D.6.一艘船从处出发，以的速度向正北方向航行．从处看灯塔位于船北偏东的方向上，后船航行至处，从处看灯塔位于船北偏东的方向上，则灯塔与之间的距离是（）A. B. C. D.7.已知点到平面的距离是2，，，且，则的最小值是（）A. B. C. D.8.在中，已知，，M为边上一点，平分，且，则（）A. B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.设，则（）A. B.C. D.10.在正方体中，下列说法正确的是（）A.与是异面直线 B.C.平面∥平面 D.与平面所成角是30°11.定义变换为：将向量绕点逆时针旋转得到向量，其中，．已知点，，若对作变换，则下列说法正确的是（）A.作变换，得到B.作变换，得到点C.作，变换，分别得到，，若，则的最小值为2D.作变换得，若，则锐角的不同取值有1012种三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.若，则___________.13.在矩形中，，，点E为中点，点F在边上，若，则__________．14.将一个弧长为，圆心角为120°的扇形卷成一个圆锥，则该圆锥的高为__________．若将该圆锥放入一个球内，则球的最小体积为__________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知向量，．（1）若，求：（2）若，求．16.如图，在三棱锥中，是二面角的平面角．（1）证明：；（2）已知，，，若是的中点，求异面直线与所成角的余弦值．17.已知函数．（1）证明：；（2）求图象的对称中心；（3）若为锐角，且，求．18.如图，在直三棱柱中，，D为的中点．（1）求证：平面平面；（2）已知，．（i）求点到平面的距离；（ii）若点在上，且∥平面，求的值．19.若一个三角形中存在一个内角是另一个内角的2倍，则称其为倍角三角形．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．（1）求证：是倍角三角形；（2）已知为锐角三角形，．（i）若的面积为1，求；（ii）若D点满足，求线段长度的取值范围．

数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知（，），则（）A.-1 B.0 C.1 D.2答案：B解析：解答过程：因为，所以，所以.2.已知向量满足，则与的夹角为（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：已知模长与数量积的值求出夹角的余弦值，再结合向量夹角的取值范围确定夹角大小；解答过程：设与的夹角为，向量夹角的取值范围为，，可得，故选：A.3.函数的图象可由函数的图象（）个单位得到A.向右平移 B.向右平移 C.向左平移 D.向左平移答案：D解析：思路：先将函数变形为，再根据函数图象平移变换可得.解答过程：因为，根据图象平移规则，函数图象由的图象向左平移个单位得到.因此函数的图象由函数的图象向左平移个单位得到.4.已知正三棱台的上、下底面边长分别是和，侧棱长是，则它的侧面积是（）A. B. C. D.答案：B解析：解答过程：由题意得正三棱台侧面是3个全等的等腰梯形，该梯形上底，下底，腰为，设梯形的高为，则，故侧面积为．5.已知向量，，则在上的投影向量的坐标为（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：根据向量投影向量的定义，先计算两向量的数量积、的模长，再代入投影向量公式求解即可。解答过程：根据向量投影向量的定义，在上的投影向量为.6.一艘船从处出发，以的速度向正北方向航行．从处看灯塔位于船北偏东的方向上，后船航行至处，从处看灯塔位于船北偏东的方向上，则灯塔与之间的距离是（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：先计算的长度，确定的各内角度数，再利用正弦定理求解灯塔与的距离可得.解答过程：因为船的航行速度为，航行时间为，因此（）.如图，，由处看灯塔为北偏东，所以，.在中，由正弦定理得，所以，即.因此灯塔与之间的距离为.7.已知点到平面的距离是2，，，且，则的最小值是（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：取点在平面上的投影，利用投影性质及题目所给条件计算可得的最大值，再利用余弦定理计算即可得的最小值.解答过程：设点在平面上的投影为，则、，故，则，当且仅当、、三点共线时，等号成立，故，即的最小值是.8.在中，已知，，M为边上一点，平分，且，则（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：先运用两次正弦定理推导出，进而得到的长度，再设，运用两次余弦定理，结合，即可得解.解答过程：在中，由正弦定理：①，在中，由正弦定理：②，因为是的角平分线，故有，又因为，将①÷②，得，又因为，故.设，则，由余弦定理可知，，，又因为，故，即，整理得，计算得，即.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.设，则（）A. B.C. D.答案：ABD解析：解答过程：对于A，因为，所以，故A正确；对于B，因为，所以，故B正确；对于C，因为，所以，故C错误；对于D，因为，所以，故D正确.10.在正方体中，下列说法正确的是（）A.与是异面直线 B.C.平面∥平面 D.与平面所成角是30°答案：AC解析：思路：通过证明因为平面，平面，且交点不在直线上，即可判断A,先证明，结合，即可判断B，根据面面平行判定定理证明平面平面，即可判断C，结合线面角的定义求与平面所成角的正弦，即可判断D.解答过程：对于选项A，因为平面，平面，且交点不在直线上，所以与是异面直线，A正确，对于选项B，由正方体性质得，若，则必有，在中，因为，，，所以​，所以不是直角，即不垂直，因此不垂直，B错误，对于选项C：正方体中，AC⊄平面，平面，因此平面；同理可得，因此平面；与是平面内的相交直线（交于），所以平面平面，C正确，对于选项D：设与平面所成角为，根据线面角定义可得，其中是到平面的距离，设，因为，，是边长为的正三角形，面积代入得：，解得，​因此，故，D错误.11.定义变换为：将向量绕点逆时针旋转得到向量，其中，．已知点，，若对作变换，则下列说法正确的是（）A.作变换，得到B.作变换，得到点C.作，变换，分别得到，，若，则的最小值为2D.作变换得，若，则锐角的不同取值有1012种答案：ACD解析：思路：通过题目所给的变换规律，将四个答案的代入，可以直接得到变换后的坐标，通过题意即可判断正误.解答过程：已知点，，对于选项A，由，可得所以，，所以，选项A正确；对于选项B，由，可得，所以，，所以，所以点坐标为，即，选项B错误；对于选项C，由，可得，则，，所以，由，可得，则，，所以因为，所以即所以，所以，所以，因为，所以的最小值为，选项C正确；选项D，由，可得，所以，，所以，因为，所以，即，所以，所以，因为为锐角，所以，，所以整数有1012个，选项D正确.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.若，则___________.答案：##解析：思路：利用二倍角的正弦公式结合弦化切可得出所求代数式的值.解答过程：因为.故答案为：.13.在矩形中，，，点E为中点，点F在边上，若，则__________．答案：解析：思路：建立如图所示的坐标系，得到点坐标，结合向量的数量积的坐标运算，列出方程，即可求解.解答过程：建立如图所示的坐标系，可得，，，，设，∴，，∴，解得，即，∴，，∴.14.将一个弧长为，圆心角为120°的扇形卷成一个圆锥，则该圆锥的高为__________．若将该圆锥放入一个球内，则球的最小体积为__________．答案：①.②.解析：思路：借助圆心角定义与圆锥性质计算可得该圆锥的底面半径与母线长，即可得其高；再得到该圆锥的轴截面图形后，求出该圆锥的外接球半径，从而可得体积，即可得解.解答过程：设该圆锥的底面半径为，母线长为，高为，则有，，即，，；则该圆锥的轴截面为腰长为，底边为的等腰三角形，设该圆锥的外接球半径为，则，解得，故外接球体积为，即将该圆锥放入一个球内，球的最小体积为.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知向量，．（1）若，求：（2）若，求．答案：（1）（2）解析：思路：（1）代入求出，进而求出，再利用向量模长公式计算求解；（2）已知，由数量积为零构造方程求出，再利用两角和的正切公式计算求解．（1）时，，则，故．（2）已知，则，故，则，．16.如图，在三棱锥中，是二面角的平面角．（1）证明：；（2）已知，，，若是的中点，求异面直线与所成角的余弦值．答案：（1）因为是二面角的平面角，所以，平面，所以平面，因为平面，所以.（2）解析：（1）略.（2）取中点，连接，则为异面直线夹角，，，，所以，，，，，在中，由余弦定理可得.17.已知函数．（1）证明：；（2）求图象的对称中心；（3）若为锐角，且，求．答案：（1），所以（2）（3）解析：（1）略.（2）由（1）可得，令，所以图象的对称中心为.（3），令，则，因为，又，所以，所以，又，所以.18.如图，在直三棱柱中，，D为的中点．（1）求证：平面平面；（2）已知，．（i）求点到平面的距离；（ii）若点在上，且∥平面，求的值．答案：（1）因为三棱柱为直三棱柱，所以底面，平面，所以，又，，平面，所以平面，平面，所以平面平面.（2）（i）（ii）解析：思路：（1）先证明线面垂直，再根据面面垂直的判定定理证明；（2）（i）根据等积变换，利用求解；（ii）证明当为中点时，∥平面，从而得出的值.（1）略（2）（i）由（1）平面平面，交线为，在上，，故平面，即到平面的高为.，.由（1）平面，所以，中，，.设点到平面的距离为，，，所以.所以点到平面的距离为.（ii）取的中点，连，因为是的中点，所以且，所以四边形为平行四边形，所以，平面，平面，所以平面.当为中点时，连，则，平面，平面，所以平面，又平面，平面，，所以平面平面，平面，所以平面，所以.19.若一个三角形中存在一个内角是另一个内角的2倍，则称其为倍角三角形．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．（1）求证：是倍角三角形；（2）已知为锐角三角形，．（i）若的面积为1，求；（ii）若D点满足，求线段长度的取值范围．答案：（1）因为，由正弦定理，得，又，所以，所以，即，整理得，，因为为三角形内角，所以或，即或（舍去），所以存在一个内角是另一个内角的2倍，所以是倍角三角形.（2）（i）（ii）解析：思路：（1）根据正弦定理，将边化角，然后根据三角函数间的关系证明结论.（2）（i）根据正弦定理，将分别