2025-2026学年江苏省南通市海安高级中学高一下学期期中练习数学试题-含解析

/数学一．选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知复数，则（）A.1 B.2 C. D.52.已知，，，则（）A.、、三点共线 B.、、三点共线C.、、三点共线 D.、、三点共线3.（）A. B. C. D.4.已知向量，，若与垂直，则（）A.13 B. C.11 D.5.已知中，，，，则（）A. B. C.或 D.或6.若，其中，则＝（）A. B. C. D.7.是斜边上一点，若，则的值（）A. B. C. D.8.如图，在中，是边上靠近点的三等分点，是边上的动点，则的取值范围为（）A. B. C. D.二．选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列等式成立的是（）A. B.C. D.10.下列结论中正确的是（）A.若为非零向量，且，则B.对向量非零向量，若，则存在唯一实数使得C.在中，若，则与的面积之比为D.已知，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是11.设中角，，所对的边长度分别为，，，满足，则以下选项中正确的有（）A.为锐角三角形B.若确定，则的面积确定C.D.三．填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.若非零向量，的夹角为，且，，则在上的投影向量为__________．13.化简_______________.14.在等边三角形的三边上各取一点，，，满足，，，则三角形的面积的最大值是______．四．解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知复数，其中，为虚数单位.（1）若为纯虚数，求的值；（2）若在复平面内对应的点在第一象限，求的取值范围.16.如图，在长方形网格中，向量，满足：，，向量，.（1）在图中，以为起点作向量，并求；（2）若与共线，求实数的值；（3）若与垂直，求实数的值.17.已知函数．（1）求函数的值域；（2）若，求的值．18.“我将来要当一名麦田里的守望者，有那么一群孩子在一块麦田里玩，几千万的小孩子，附近没有一个大人，我是说……除了我”《麦田里的守望者》中的主人公霍尔顿将自己的精神生活寄托于那广阔无垠的麦田．假设霍尔顿在一块成凸四边形的麦田里成为守望者，如图所示，为了分割麦田，他将BD连接，设中边所对的角为，中边所对的角为，经测量知，．（1）若，求；（2）霍尔顿发现无论多长，为一个定值，请你验证霍尔顿的结论，并求出这个定值；（3）霍尔顿发现麦田的生长与土地面积的平方呈正相关，记与的面积分别为和，为了更好地规划麦田，请你帮助霍尔顿求出的最大值．19.已知O为坐标原点，对于函数，称向量为函数的相伴特征向量，同时称函数为向量的相伴函数.（1）设函数，试求的相伴特征向量；（2）记向量的相伴函数为，求当且，的值；（3）已知，，为的相伴特征向量，，请问在的图象上是否存在一点P，使得.若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由.

数学一．选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知复数，则（）A.1 B.2 C. D.5答案：C解析：解答过程：2.已知，，，则（）A.、、三点共线 B.、、三点共线C.、、三点共线 D.、、三点共线答案：A解析：思路：利用平面向量共线的基本定理逐项判断即可.解答过程：对于A选项，，故、、三点共线，A对；对于B选项，因为，，故、不一定共线，B错；对于C选项，因为，，所以、不一定共线，C错；对于D选项，因为，，则、不一定共线，D错.故选：A.3.（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：逆用两角和的正弦公式求解即可解答过程：，故选：D4.已知向量，，若与垂直，则（）A.13 B. C.11 D.答案：A解析：解答过程：，若与垂直，则，即：，解得：.5.已知中，，，，则（）A. B. C.或 D.或答案：D解析：思路：直接利用正弦定理求解即可．解答过程：在中，由正弦定理，得，所以，又，所以或.故选：D6.若，其中，则＝（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：将和平方后相加，结合的值，建立方程求解.解答过程：∵，则令①，∵②，由①2＋②2得，又，∴．∴．故选：A.7.是斜边上一点，若，则的值（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：根据给定条件，结合几何图形，利用正弦定理及二倍角公式列式求解.解答过程：在中，令，由，则，，，在中，，由正弦定理，，即，整理得，即，因，则有，即的值是.故选：D8.如图，在中，是边上靠近点的三等分点，是边上的动点，则的取值范围为（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：先用余弦定理求出，再将向量用基底表示，借助向量运算性质计算即可.解答过程：由，解得.设，则.故选：C二．选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列等式成立的是（）A. B.C. D.答案：ABD解析：思路：利用和差角的正弦、二倍角公式逐项化简计算即得.解答过程：对于A，，A正确；对于B，，B正确；对于C，取，则，C错误；对于D，，D正确.故选：ABD10.下列结论中正确的是（）A.若为非零向量，且，则B.对向量非零向量，若，则存在唯一实数使得C.在中，若，则与的面积之比为D.已知，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是答案：BC解析：思路：A.利用数量积的运算规律即可；B为共线定理；C通过共线定理构造，再通过面积之间的转化即可；D.向量夹角为锐角则两向量数量积为0且不共线.解答过程：A.若，则，则或，故A错误；B.此为共线定理，故B正确；C.令因，则，则为的重心，故，因，同理可得，则，故C正确；D.，当与共线时，有，得，因与的夹角为锐角，则且与不共线，则且，故D错误；故选：BC.11.设中角，，所对的边长度分别为，，，满足，则以下选项中正确的有（）A.为锐角三角形B.若确定，则的面积确定C.D.答案：ABD解析：思路：对于A，令，分和讨论即可；对于B，由题意及和差化积角公式得出，，由平方关系求出，同理求出，若确定，则唯一确定，可判断；对于C，结合二倍角公式即可求；对于D，借助B的结论计算即可.解答过程：对于A，在中，因为，令，显然，若，则，因为，所以，则，所以，同理，，，与矛盾，若，此时，因为，所以，则，所以，同理，，，即，，为锐角，故为锐角三角形，A正确；对于B，因为，所以，①，②①+②得，所以，因为，所以，因为，所以，所以，③①-②得，所以，所以，因为，所以，所以，④由③④可得，解得，同理，若确定，则唯一确定，则它的面积确定，B正确；对于C，由B可知，，所以，C错误；对于D，由B可知，，所以，D正确.三．填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.若非零向量，的夹角为，且，，则在上的投影向量为__________．答案：解析：解答过程：因为，所以，解得：，所以，所以在上的投影向量为.13.化简_______________.答案：##0.5解析：思路：利用三角恒等变换，先化切为弦，把转化为，利用差角公式化简可得答案.解答过程：.故答案为:.14.在等边三角形的三边上各取一点，，，满足，，，则三角形的面积的最大值是______．答案：解析：思路：由勾股定理得到，设，，由正弦定理得到，，故，其中，故，则.解答过程：因为，，，所以，设，，则，，，在中由正弦定理，即，所以，在中由正弦定理，即，所以，所以（其中），所以，则，即三角形的面积的最大值是．故答案为：四．解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知复数，其中，为虚数单位.（1）若为纯虚数，求的值；（2）若在复平面内对应的点在第一象限，求的取值范围.答案：（1）2；（2）.解析：思路：（1）由纯虚数的概念，列方程组求参数m；（2）根据在复平面内对应的点在第一象限，有，即可求的范围.解答过程：（1）∵为纯虚数，∴，解得（2）由在复平面内对应的点在第一象限，∴，解得或∴实数的取值范围为16.如图，在长方形网格中，向量，满足：，，向量，.（1）在图中，以为起点作向量，并求；（2）若与共线，求实数的值；（3）若与垂直，求实数的值.答案：（1）作图见解析，；（2）；（3）解析：思路：（1）利用平行四边形法则作出作向量，再由求解；（2）根据与共线，利用共线向量定理求解；（3）根据与垂直，由求解.（1）如图所示：；（2）因为，，且与共线，所以，解得；（3）因为，，且与垂直，所以，，，解得.17.已知函数．（1）求函数的值域；（2）若，求的值．答案：（1）（2）解析：思路：（1）利用切化弦与二倍角公式，以及辅助角公式，化为正弦型函数，根据x的取值范围求的范围即得；（2）根据三角恒等变换和二倍角公式，利用同角的三角函数关系，求解即可．（1）＝＝＝＝，因为，所以，所以，即函数的值域为.（2）由，，得，所以＝.18.“我将来要当一名麦田里的守望者，有那么一群孩子在一块麦田里玩，几千万的小孩子，附近没有一个大人，我是说……除了我”《麦田里的守望者》中的主人公霍尔顿将自己的精神生活寄托于那广阔无垠的麦田．假设霍尔顿在一块成凸四边形的麦田里成为守望者，如图所示，为了分割麦田，他将BD连接，设中边所对的角为，中边所对的角为，经测量知，．（1）若，求；（2）霍尔顿发现无论多长，为一个定值，请你验证霍尔顿的结论，并求出这个定值；（3）霍尔顿发现麦田的生长与土地面积的平方呈正相关，记与的面积分别为和，为了更好地规划麦田，请你帮助霍尔顿求出的最大值．答案：（1）答案见解析（2）验证见解析，1（3）14解析：思路：（1）在中，由余弦定理求得,结合，得是等边三角形，即可求出；（2）在与中，分别用余弦定理表示，即可证明；（3）分别表示出，则，由（2）知：，代入消去角，利用三角函数求最值即可．（1）由，．，在中，由余弦定理得,所以.又，所以是等边三角形，所以；（2）在中，由余弦定理得在中，由余弦定理得，∴所以为定值；（3），则，由（2）知：，∴代入上式得：，配方得：，∵又,所以当时，取到最大值14．19.已知O为坐标原点，对于函数，称向量为函数的相伴特征向量，同时称函数为向量的相伴函数.（1）设函数，试求的相伴特征向量；（2）记向量的相伴函数为，求当且，的值；（3）已知，，为的相伴特征向量，，请问在的图象上是否存在一点P，使得.若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由.答案：（1）；（2）；（3）存在，点.解析：思路：（1）根据三角函数诱导公式化简函数得，根据题意可可得特征向量；（2）根