2025-2026学年江苏省南通市如东县第一高级中学、宿迁市第一高级中学、徐州市徐州中学、宿迁市洋河高级中学高二下学期第二次阶段联考数学试题-含解析

/数学满分150分，考试时间为150分钟.考试结束后，请将答题卡交回.一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题的四个选项中，只有一个选项符合题目要求）1.函数在[0，π]上的平均变化率为A.1 B.2 C.π D.2.已知正态分布，若，则（）A.0.6 B.0.4 C.0.2 D.0.13.下列函数的导数正确的是（）A. B.C. D.4.已知线性相关的两个变量，的取值如表所示，如果其线性回归方程为，那么当时的残差为（）3467204060A.2 B.3 C.4 D.55.下列函数中，在上为增函数的是（）A. B. C. D.6.已知甲组有名男生名女生，乙组有2名男生4名女生，如果随机选1个组，再从该组中随机选1名学生，则该学生是女生的概率为（）A. B. C. D.7.已知直线，与平面，，，则下列命题中正确的是（）A.若，，则 B.若，，则C.若，，则 D.若，，则8.已知二项式的展开式中，各项系数的最大值为80，且最大值在第与项取得，则n的值为（）A.4 B.5 C.6 D.7二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题的四个选项中，有多个选项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的或不选不得分）9.已知函数，下列说法中正确的有（）A.函数的极大值为，极小值为B.函数的单调增区间为C.函数的单调减区间为D.曲线在点处的切线方程为10.若，则下列选项正确的是（）A.展开式中的二项式系数最大项为第3项和第4项B.C.D.当时，除以9的余数为111.在年杭高樱花文会答题抽奖活动中，有一道题四个选项，只有一个选项正确，甲同学回答失败，剩下的三个选项编号为，乙同学继续答题，乙同学选择号选项，主持人未加评判.主持人知道哪个选项正确，从号中删去一个错误选项后，给乙同学一次换号机会.记表示第号选项正确，表示主持人删去的选项是第号选项.则下列说法正确的是（）A.B.C.换号后答对概率增大D.换号后答对概率不变三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.已知随机变量，且，则展开式中各项系数之和为______．13.某地区气象台统计，该地区下雨的概率是，刮风的概率为，既刮风又下雨的概率为，则在刮风天里，下雨的概率为___________.14.已知函数，若恒成立，则的取值范围是____.四、解答题（本题共5小题，共77分.解答题应写出文字说明和证明过程）15.2026年4月19日，第二届人形机器人半程马拉松在北京亦庄举行，来自各地的机器人参赛队伍同场竞技，引发广泛关注.为研究“机器人是否搭载智能避障系统”与“能否完成全程比赛”之间是否存在关联，某科研团队对本次参赛的500台机器人进行统计，得到如下列联表（单位：台）：

完成比赛未完成比赛搭载智能避障系统18070未搭载智能避障系统120130（1）根据小概率值的独立性检验，能否认为“机器人是否搭载智能避障系统”与“能否完成全程比赛”有关?（2）从该500台机器人中，采用按比例分层抽样的方法（以是否搭载智能避障系统分类），抽取一个容量为10的样本.再从这10台机器人中，不放回地随机抽取3台，设其中“搭载智能避障系统”的台数为.求的数学期望.附：，其中.0.1000.0500.0100.0050.0012.7063.8416.6357.87910.82816.如图在三棱锥中，，点D在AB上，点E为AC的中点，且平面PDE.（1）求证：平面PBC；（2）若平面平面ABC，求证：平面平面PCD.17.已知函数．（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）若有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围．18.甲、乙两名同学进行羽毛球比赛，每局比赛无平局，且各局比赛结果相互独立.已知单局比赛中，甲获胜的概率为.（1）双方进行比赛，先赢得局比赛的一方获胜.（ⅰ）若，求乙获胜的概率；（ⅱ）求在甲获胜的条件下，乙至少获胜一局的概率（用表示）.（2）设双方进行满局比赛（不提前结束），甲赢得至少局的概率；双方进行比赛，采用至少赢局且至少多赢局的规则（例如甲至少赢局，且净胜乙至少局时，甲获胜），甲获胜的概率.比较与的大小.19.已知函数，．（1）若函数在上单调递增，求实数的取值范围；（2）若直线是函数图象的切线，求的最小值；（3）当时，若与的图象有两个交点，求证：．（取为，取为，取为）

数学满分150分，考试时间为150分钟.考试结束后，请将答题卡交回.一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题的四个选项中，只有一个选项符合题目要求）1.函数在[0，π]上的平均变化率为A.1 B.2 C.π D.答案：C解析：思路：根据平均变化率的公式，计算出平均变化率.解答过程：平均变化率为.故选：C方法提示：本小题主要考查平均变化率的计算，属于基础题.2.已知正态分布，若，则（）A.0.6 B.0.4 C.0.2 D.0.1答案：C解析：解答过程：得，所以，所以，所以.3.下列函数的导数正确的是（）A. B.C. D.答案：A解析：解答过程：对于A，，故正确；对于B，，故错误；对于C，，故错误；对于D，，故错误.4.已知线性相关的两个变量，的取值如表所示，如果其线性回归方程为，那么当时的残差为（）3467204060A.2 B.3 C.4 D.5答案：A解析：思路：根据样本中心在回归直线上可求的值，从而可求残差.解答过程：由题设可得，故，故即，故残差为，故选：A.5.下列函数中，在上为增函数的是（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：对于A，结合正弦函数的单调性与周期性判断；对于B，结合反比例函数单调性判断；对于C和D，均可通过求导判断单调性解答过程：对于A，正弦函数为周期函数，在上呈增减交替的周期性，A错误；对于B，反比例函数系数大于0时，在上单调递减，因为，故在上单调递减，B错误；对于C，，因为在上，，所以，即，且等号仅在孤立的点处取得，所以在上为增函数，C正确；对于D，，当时，，所以在上单调递减，D错误6.已知甲组有名男生名女生，乙组有2名男生4名女生，如果随机选1个组，再从该组中随机选1名学生，则该学生是女生的概率为（）A. B. C. D.答案：B解析：解答过程：记事件为“选出的学生是女生”，事件为“选中甲组”，事件为“选中乙组”.∵随机选取个组，两组被选中的概率相等，∴.∵甲组共有名学生，其中女生2名，∴.∵乙组共有名学生，其中女生4名，∴.根据全概率公式可得，∴.7.已知直线，与平面，，，则下列命题中正确的是（）A.若，，则 B.若，，则C.若，，则 D.若，，则答案：B解析：解答过程：若，，则或相交（墙角模型），故A错误；若，，则，故B正确；若，，则或异面，故C错误；若，，则或相交，故D错误.8.已知二项式的展开式中，各项系数的最大值为80，且最大值在第与项取得，则n的值为（）A.4 B.5 C.6 D.7答案：B解析：思路：利用与两项系数相等求出的关系，再对进行讨论即可.解答过程：由题可知第项与项的系数相等且最大，即，化简得，即，化简得，取，得，各项系数为，不满足条件，舍去；取，得，不是整数，舍去；取，得，各项系数为，符合条件，当时，，例如当时，展开式系数的最大值为，不符合题意，当更大时，最大系数值也更大.所以.二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题的四个选项中，有多个选项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的或不选不得分）9.已知函数，下列说法中正确的有（）A.函数的极大值为，极小值为B.函数的单调增区间为C.函数的单调减区间为D.曲线在点处的切线方程为答案：ACD解析：思路：利用导数研究函数的极值、最值、单调性，利用导数的几何意义可求得曲线在点处的切线方程，根据计算结果可得答案.解答过程：因为，所以，由，得或，由，得，所以函数在上递增，在上递减，在上递增，增区间不能合并，故选项C正确，选项B错误；所以当时，取得极大值，在时，取得极小值，故选项A正确；因为，所以曲线在点处的切线方程为，即，故选项D正确.10.若，则下列选项正确的是（）A.展开式中的二项式系数最大项为第3项和第4项B.C.D.当时，除以9的余数为1答案：BCD解析：思路：根据二项式系数的性质，利用赋值法、求导法、二项式定理逐一判断即可.解答过程：对于A：由二项式展开式中的二项式系数为0，1，…，6，所以时二项式系数最大，即第4项的二项式系数最大，故A不正确；对于B：令，可得．再令，得，所以，所以B正确；对于C：对两边求导，得，再令，得，所以C正确；对于D：当时，，而，即除以9的余数为1，所以D正确．11.在年杭高樱花文会答题抽奖活动中，有一道题四个选项，只有一个选项正确，甲同学回答失败，剩下的三个选项编号为，乙同学继续答题，乙同学选择号选项，主持人未加评判.主持人知道哪个选项正确，从号中删去一个错误选项后，给乙同学一次换号机会.记表示第号选项正确，表示主持人删去的选项是第号选项.则下列说法正确的是（）A.B.C.换号后答对概率增大D.换号后答对概率不变答案：BC解析：思路：根据给定条件，利用古典概率公式，结合条件概率和全概率公式及逐项判断即可.解答过程：对于A，乙选择号选项，答案是号选项，主持人选择号选项的概率为，即，故A错误；对于B，，，则，因此，故B正确；对于CD，若不换号，乙继续选择号选项，获得奖品的概率为，主持人选择了错误的选项，若换号，选择剩下的那个选项，获得奖品的概率为，乙换号后中奖概率增大，故C正确，D错误.三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.已知随机变量，且，则展开式中各项系数之和为______．答案：解析：思路：由已知条件结合正态分布的性质求出，再利用赋值法求出系数和.解答过程：因为，所以，解得，代入可得，令，可得展开式各项系数和为.故答案为：.13.某地区气象台统计，该地区下雨的概率是，刮风的概率为，既刮风又下雨的概率为，则在刮风天里，下雨的概率为___________.答案：##0.75解析：思路：设事件A=“该地区下雨”，事件B=“该地区刮风”，利用条件概率公式即可作答.解答过程：设事件A=“该地区下雨”，事件B=“该地区刮风”，则，设事件AB=“该地区既刮风又下雨”，进而有，所以该地区在刮风天里，下雨的概率为.故答案为：14.已知函数，若恒成立，则的取值范围是____.答案：解析：思路：先由的图像与的图像可得，恒成立；原问题即可转化为直线介于与之间，作出其大致图像，由图像得到只需；根据导数的方法求出，所在直线斜率，进而可得出结果.解答过程：由的图像与的图像可得，恒成立；所以若恒成立，只需，即直线介于与之间，作出其大致图像如下：由图像可得，只需；设，由得，所以，所以曲线在点处的切线的方程为，又该切线过点，所以，解得，所以；设，由得，所以，所以曲线在点处的切线的方程为，又该切线过点，所以，解得，所以；所以.故答案为方法提示：本题主要考查由导数的方法研究不等式恒成立的问题，熟记导数的几何意义即可，属于常考题型.四、解答题（本题共5小题，共77分.解答题应写出文字说明和证明过程）15.2026年4月19日，第二届人形机器人半程马拉松在北京亦庄举行，来自各地的机器人参赛队伍同场竞技，引发广泛关注.为研究“机器人是否搭载智能避障系统”与“能否完成全程比赛”之间是否存在关联，某科研团队对本次参赛的500台机器人进行统计，得到如下列联表（单位：台）：

完成比赛未完成比赛搭载智能避障系统18070未搭载智能避障系统120130（1）根据小概率值的独立性检验，能否认为“机器人是否搭载智能避障系统”与“能否完成全程比赛”有关?（2）从该500台机器人中，采用按比例分层抽样的方法（以是否搭载智能避障系统分类），抽取一个容量为10的样本.再从这10台机器人中，不放回地随机抽取3台，设其中“搭载智能避障系统”的台数为.求的数学期望.附：，其中.0.1000.0500.0100.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828答案：（1）“机器人是否搭载智能避障系统”与“能否完成全程比赛”有关.（2），分布列为：解析：思路：（1）先完善列联表，再计算，根据临界值表可得相应判断；（2）根据超几何分布可求的分布列，再根据期望公式计算期望即可.（1）完善列联表如下：

完成比赛未完成比赛合计搭载智能避障系统未搭载智能避障系统合计设：“机器人是否搭载智能避障系统”与“能否完成全程比赛”无关，则，故根据小概率值的独立性检验，可以认为“机器人是否搭载智能避障系统”与“能否完成全程比赛”有关.（2）根据分层抽样可得10台机器人中“搭载智能避障系统”的台数为，故可取，又，，，，故的分布列为：故.16.如图在三棱锥中，，点D在AB上，点E为AC的中点，且平面PDE.（1）求证：平面PBC；（2）若平面平面ABC，求证：平面平面PCD.答案：（1）因为

平面，平面，且平面平面，根据线面平行的性质定理，可得

，又

平面，平面，根据线面平行的判定定理，可得

平面.（2）由（1），且是中点，可得是中点，又

，等腰中，由三线合一得

，已知平面平面，平面平面，且平面，根据面面垂直的性质定理，可得

平面，又

平面，根据面面垂直的判定定理，可得平面平面.解析：思路：（1）利用线面平行的性质定理推出，再通过线面平行的判定定理证明平面；（2）利用等腰三角形三线合一得到，结合面面垂直的性质推出平面，最后由面面垂直的判定定理证明结论.（1）略；（2）略.17.已知函数．（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）若有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围．答案：（1）（2）解析：思路：（1）求导，结合导数的几何意义求切线方程；（2）解法一：求导，分析和两种情况，利用导数判断单调性和极值，分析可得，构建函数解不等式即可；解法二：求导，可知有零点，可得，进而利用导数求的单调性和极值，分析可得，构建函数解不等式即可.（1）当时，则，，可得，，即切点坐标为，切线斜率，所以切线方程为，即.（2）解法一：因为的定义域为，且，若，则对任意恒成立，可知在上单调递增，无极值，不合题意；若，令，解得；令，解得；可知在内单调递减，在内单调递增，则有极小值，无极大值，由题意可得：，即，构建，则，可知在内单调递增，且，不等式等价于，解得，所以a的取值范围为；解法二：因为的定义域为，且，若有极小值，则有零点，令，可得，可知与有交点，则，若，令，解得；令，解得；可知在内单调递减，在内单调递增，则有极小值，无极大值，符合题意，由题意可得：，即，构建，因为则在内单调递增，可知在内单调递增，且，不等式等价于，解得，所以a的取值范围为.18.甲、乙两名同学进行羽毛球比赛，每局比赛无平局，且各局比赛结果相互独立.已知单局比赛中，甲获胜的概率为.（1）双方进行比赛，先赢得局比赛的一方获胜.（ⅰ）若，求乙获胜的概率；（ⅱ）求在甲获胜的条件下，乙至少获胜一局的概率（用表示）.（2）设双方进行满局比赛（不提前结束），甲赢得至少局的概率；双方进行比赛，采用至少赢局且至少多赢局的规则（例如甲至少赢局，且净胜乙至少局时，甲获胜），甲获胜的概率.比较与的大小.答案：（1）（ⅰ）；（ⅱ）（2）当时，；当时，；当时，.解析：思路：（1）（i）分析可知乙对甲可以以、、获胜，结合独立事件的概率公式可求得所求事件的概率；（ii）设事件为甲获胜，事件为乙至少获胜一局，求出、，结合条件概率公式求解即可；（2）记，推导出，，作差，对和的大小进行分类