2025-2026学年北京市西城区八年级（上）期末数学试卷与答案

2025-2026学年北京市西城区八年级（上）期末数学试卷

一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个。

1.（2分）下列长度的三条线段能组成三角形的是（）

A.3,4,7B.5,5,3C.4,5,10D.2,7,4

2.（2分）传统建筑中的窗格样式丰富，体现了我国建筑独特的艺术表现力和文化内涵.小红设计了下列

窗格图案，其中可以看成轴对称图形的是（

3.（2分）下列运算中正确的是（)

A.a2*a3=a56*B.(a2)5=/

C.(3«4)2=9«8D.a4^a4=0

4.（2分）下列各式从左到右的变形一定正确的是（）

x2+lx+1—3x3x

A，­=—B.-----=--

-x+1x-1

x2-y2X2

C.=x+yD.-=-7

x+yzyy

5.（2分）如图，将一块透明的三角形匀质薄板（记作△Z8C）放入正方形网格中，其三个顶点都在网格

线的交点上，在点。，E,F,G（都在网格线的交点上）中，该三角形薄板的重心是（）

C.点FD.点G

6.（2分）如图是“过直线48外一点。作48的平行线CO”的尺规作图.根据该作图方法，可以证明

CD//AB,证明过程中判定△CA/Ng△后尸G的依据是（

A.两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等

B.两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形会等

C.两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等

D.三边分别相等的两个三角形全等

7.（2分）八年级师生去距学校2软加的中国人民抗日战争纪念馆参观，师生乘大车先出发，过了•〃学

校的后勤人员乘小车出发，结果他们同时到达.已知小车的平均速度是大车的平均速度的1.2倍，求大

车的平均速度.如果设大车的平均速度为.次加//?,那么下面所列方程中正确的是（）

242442424

—=---+—B.­=1.2x---

x1.2%60xx+4

24244?424

C.—=——--D.1.2X—=

x1.2%60%x+4

8.（2分）如图，在中，BA=BC,ZABC=\20°,P,。分别是边4C,8C上的两个动点，连接

BP,PQ.若当4尸与尸。的和最小时，尸。的长为1,则4C的长为（）

二、填空题（共16分，每题2分）

9.（2分）若代数式」有意义，则实数x的取值范围是__________.

x-4

10.（2分）在平面直角坐标系X。，中，点（-5,-I）关于x釉对称的点的坐标是.

11.（2分）计算：（-202b）（-4abc）=.

12.（2分）如图，点C,。在线段力8上，4EAD=/FCB,AE=CF.只需添加一个条件即可证明△£4。

Q/XFCB,这个条件可以是（写出一个即可）.

13.（2分）已知1个水分子的质量约是3X10-26Ag.如果1滴水的质量约是6X10-5奴，那么这滴水中大

2

约有个水分子（结果用科学记数法表示）.

14.（2分）如图是一个搭建好的帐篷从正面看的示意图，其中五边形48COE表示帐篷，线段8凡8G表

示绳索，点厂在44的延长线上，且点凡G都在。。的延长线上.若N4/C=130°,ZBCD=90°,

FG=FB,则/&；尸=°.

GFCD

15.（2分）如图,某街心公园有一块长为心m,宽为切〃的长方形绿地，绿地的北侧是一个长为心⑶宽

为的长方形休闲区，绿地的东、西两侧各有一个边长为的正方形喷泉区.已知休闲区的宽与绿

地的宽的和为13加，休闲区的面积与两个喷泉区的面积的和为194〃落那么绿地的面积为〃产.

1休闲区

泉b绿地泉

42a

16.（2分）如图，CO是△48c的角平分线，点E在C。的延长线上，DC=AC,EC=BC,EFLBC,垂

足为R有下列四个结论：

①△D4C与ADBC的面积相等；

②/ADC=NBEC；

（3）2ZAEC+3ZBCE=180°；

（4）FC=1（FC+Z）C）.

其中所有正确结论的序号是.

三、解答题（共68分，第17题8分，第18题11分，第19题7分，第20题8分，第21题10分，第22・24

题每题8分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。

17.（8分）分解因式：

(1)5.V2-IOXJH-5/；

(2)a2(〃+1)-9(力+1).

3

18.（11分）（1）计算：（x+2y）（3x・y）；

（2）先化简，再求值：（昌-1）12f晨1，其中。=・3.

19.（7分）解方程：-+2=

XX-1

20.（8分）如图，AB=AC,DBLAB,EC1AC,垂足分别为8,C,ZBAC=ZDAE.

(1)求证：AD=AE\

(2)若NBAD=20°,ZDAE=\\O0,求NC£O的度数.

21.（10分）已知在△XBC中，AB<AC<BC.

（1）如图1,在△48C的边8c上求作一点。，使+Z）C=8C.

①将下面的分析过程补充完整.

分析：点。在线段4c上，则Q8+=BC,

而要使。力+QC=4C,即需要=,

因此需要点。在线段的垂直平分线上，

所以作出这条线段的垂直平分线，它与边BC的交点即为所求作的点D.

②用直尺和圆规在图1中完成作图并保留作图痕迹；

（2）用直尺和圆规在图2中完成下列作图并保留作图痕迹：

在边8c上取一点£,使。£=。；作的平分线交48于点立连接£F：

（3）在（2）的条件下，图2中线段与线段力尸相等，若BC=a,AC=b,AB=c,则△/?印

的周长为（用含a,b,c的式子表示）.

22.（8分）有这样一组按规律依次排列的正整数：0=32-12,42=52-32,43=72・52,…其中每个数都

能表示为两个连续正奇数的平方差，我们称这样的数为“特征数”，记按上述顺序排列的第〃个“特征

4

数”为an（〃为正整数）.

（1）将。6表示为两个连续正奇数的平方差：。6=-；

（2）求证：对于任意的正整数〃，。”一定能被8整除；

（3）已知/是第〃个“特征数”，判断（2/+1）（2/-1）-/⑷-5）+9是否为“特征数”，如果是，求

出它是第几个“特征数”（用含〃的式子表示）；如果不是，说明理由.

23.（8分）如图1,公园里有一条河，河岸线可看成两条平行的直线A，/2,河的宽度为30〃:，景点力和

景点4分别位于河的两岸（正方形网格中小正方形的边长为10〃?，直线八，/2都在网格线上，点4B

都在网格线的交点上）.现要在河上造一座桥连通河的两岸，其中点N分别在直线4,/2±.

：：：!!：：：

图1图2图3

（1）小明先将桥的桥形设计为一条线段，线段A/N与直线/|垂直，且使得从景点力经桥走到

景点8的路径最短.他将点力沿与直线/|垂直的方向平移河的宽度得到点4,从而将问题转化为在

直线/2上确定点N的位置，使％'N+N8最小.请在图1中画出小明设计的桥（保留画图痕迹）；

（2）小明又将桥MN设计成I型（如图2）和II型（如图3）两种桥形，这两种桥形都是由五条10”?

长的线段组成的折线，其中以点M,N为端点的两条线段分别与直线八，/2垂直，且相邻两条线段互相

垂直.

请在图4,图5中分别画出当采用I型和II型桥形时的桥使得从景点力经桥MN走到景点8的路

径最短（保留画图痕迹）：

比较图4,图5可知，采用型桥形，最短路径的长度更短（填“【”或“1【”）；

佟14图5

5

（3）小明以直线/2为X轴，经过景点力且与直线/2垂直的直线为y轴（分别取向右、向上为正方向）,

取1个单位长度代表1〃?长，建立平面直角坐标系.景点A的坐标为（0,50）,另一景点C的坐标为（/,

-10）.若无论采用（2）单的/型或I【型桥形，从景点力经桥走到景点C的最短路径的长度相等，

则/的值为.

24.（8分）如图，在△45C中，CA=CB,N4CB=9G,射线力。与边8C交于点。，ZBAD=a（0°

<a<22.5°）.点石与点B关于直线力。对称，线段4E与射线力。交于点〃，点/在线段/，上，且

NBEF=45°,连接8尸.

（1）依题意补全图形，并求/力8尸的度数（用含a的式子表示）；

（2）连接力E,M是力£的中点，连接CM,FM,探究线段CW与KW的数量关系和位置关系，并证明

你的结论.

四、选做题（共10分，第25题4分，第26题6分）

25.（4分）在解关于x,y的方程组3+2一。时，小天发现可以利用“换元法”求解，即

I3（x+y）-2（x-y）=28

l'ab幺

设x+j，=a,x-y=8,将原方程组转化为关于a,方的方程组行+2=6,求出”，〃的值后，再代回

x+y=a,x-y=b,从而求出原方程组的解.类似地，也可以利用“换元法”解决下列问题.

（1、/丁.（a-2b+c）2+4（a-b）（b-c）

（1）化间：------------------------

a-c

下面是小天解决此问题的思路，请补充完整.

解：设a・b=x,b-c=y,

则a-c=x+y,a-2b+c=（用含x,y的式子表示）.

将原式转化为关于x,y的式子进行化简，

再将a-6=x,b-c=j，代回，得到原式化简的结果为.

（2）比较（22025+32025）X（22026+32026）与（22025+32026）X（22026+32025）的大小，并说明理由.

26.（6分）在平面直角坐标系X。），中，对于直线/,线段4B和点C,给出如下定义：记点C关于直线/

的对称点为C',若线段48上存在点M,M使得C'M=C'N,且NMC'N=a,则称点C是线段

48的・a可及点”.

（I）如图，直线/为y轴，点力（・1,-I）,5（6,-I）.在点Ci（-I,-2）,Q（-3,2）,C3

6

(-5,3)中，线段48的“/・90°可及点”是；

(2)已知点0(・6,-1),£(-2,-5),直线/经过点(・1,0)且垂直于x轴，点“(0,〃?)，

G(4,〃?+4).若线段上存在线段FG的“1・90°可及点”,直接写出〃?的取值范围；

(3)已知△§???是等边三角形，其三个顶点的坐标分别为S(-4,0),F(-2,0),R(—3,V3),

直线/经过点(/,0)且垂直于x轴，点P(n,-V3),Q5+8,-V3).当-1WK0时，对于f的每

一个值，△S77?的三条边上的所有点都是线段P0的“/-60'可及点”，直接写出〃的取值范围.

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2025-2026学年北京市西城区八年级（上）期末数学试卷

选择题、填空题答案速查

题号12345678

答案BDCBADAC

9wM10.(-5,1)11.8曲＞2c12JQ=C8(答案不唯一)

13.2X102114.2015.7216.②③④

选择题、填空题解法提示

8.解：作点8关于直线力。的对称点），过夕作"Q_8C于。,

则此时8尸与P。的和最小，

在△48C中，BA=BC,ZJ5C=120°,

/.Z/4=ZC=1x(180°-120°)=30°,

VZC0P=9O°,

・・・Nb0=6O°,

工/"PH=/CPQ=60°,

•:BP=PB',

:./BPH=/B'PH=60°,

尸。=180°-NBPH-ZCPQ=60°,

：.PB=PC=2PQ=2,

:・BC=2CQ=y/PC2-PQ2=2V3,

:・BH=：BC=y/3,

:・CH=y/BC2-BH2=3,

*：AB=BC,BH1AC,

：,AC=2CH=6,

故选：C.

8

16.解：如图，过点E作EM_LC4交C4的延长线于点M.

假设△。力。与△OAC的面积相等，则BD=AD,

「CO是△/8C的角平分线，

•••△/1C8必须是等腰三角形，显然与题忖矛盾，故①错误;

平分N4C8,

/.NACD=NDCB,

*：CD=CA.CE=CB,

:・/CAD=NCDA,NCEB=NCBE,

•；2NCEB+NDCB=18O°,2N/1OC+N/CO=180°,

：・4CEB=/ADC,故②正确；

•；CA=CD,NACE=NDCB,CE=CB,

:.△ACEW4DCB(SAS'),

:,BD=AE,

•:NBED=ND4C,ZEDB=ZCDA,

:・/EBD=NACD,

；・2NBED+NEBD=18O°,

・•・ZBED=/BDE,

**BE=BD=AE,

ZEBA=ZEAB=ZACD,

VZCDA=ZCAD=ZAEDINEAD=/4ED\ZACD,

A2(ZAED+ZACD)+N/CD=80°,

・・・2/4EO+3N4CO=】80°,故③正确；

•・・CE平分N/C8,EMLCM,EF上CB,

:・EM=EF,

/.RtAO/J^RtAEra(HL),

：.AM=BF,

9

VZM=ZEFC=90°,CE=CE,

:•△CEMW/XCEFCAAS),

:・CF=CM,

ACF+CM=BC-BF+CA+AM=AC+CB,

：.2CF=EC+CD,

ACF=1(EC+CDy,故④正确.

故答案为：②③④.

解答题参考答案

17.解：(1)5x2-10A7+5/；

=5(x2-2xy>+y2)

=5(x-y)2；

(2)a2(b+\)-931)

=(b+1)(后-9)

=(/)+!)(a+3)

18.解：(1)原式=3.F-v+6xy-2y2

=3x2+5xy-夕；

(2)原式=1ST)

坊、“3+1a+l),(a+l)2

_a-1(a+l)2

—a4-1a(a—1)

_Q+1

=a9

当a=-3时，

-3+1

原式=

-2

二F

2

-3,

19.解：两边都乘以x(x-1),得：3(x-1)+2x(x-1)=2r2,

解得：x=3,

经检验，x=3是原分式方程的解.

20.(1)证明：*：DBLAB,EC1.AC,垂足分别为8,C

10

・・.N8=NC=90°,

ZBAC=ZDAE,

AABAC-ZCAD=ZDAE-/CAD,

:・NBAD=NCAE,

在△力8。和△力CE中，

/.BAD=Z.CAE

AB=AC,

“=ZC

:•△ABDmAACE(ASA),

**AD=AE.

(2)解：•••/4=90°,ZBAD=20°,

：・NADB=900-NB4D=70',

由(1)得△力8。g△/CE,AD=AC,

：.ZADB=ZAEC=70°,NADE=NAED,

VZADE+ZAED+ZDAE=\Sr,且N£UE=110°,

：.2ZAED+\\0a=180°,

AZAED=350,

:・/CED=/AEC-/AED=35°,

...NC£Z)的度数是35°.

21.解：⑴①过程补充如下：

点D在线段8C上，则DB+DC=BC,

而要使。力+OC=8C,即需要。力，

因此需要点D在线段AB的垂直平分线上，

所以作出这条线段的垂直平分线，它与边BC的交点即为所求作的点D.

故答案为；DC,DB,DA,AB.

②如图点。即为所求；

（2）尺规作图，如图,

11

A

(3)YCF平分4CE,

/.ZACF=NEC凡

在△43和△£(7『中，

(CA=CE

\/-ACF=乙ECF,

(CF=CF

:,△ACF/AECF(SAS),

：.AF=EF,

由作图可知CE=C4=b，

BE=a~bi

:.4BEF的周长=BE+BF+EF=BE+BF+/tF=8E+4B=a-b+c,

故答案为：EF>a-b+c.

2222

22.解：(1)观察已知%=3?-#,a2=S-3,a3=7-5,

可知第〃个“特征数”中，较小的正奇数为2〃-I,较大的正奇数为2〃+1(〃为正整数),

当〃=6时，

较小的正奇数为2X6・1=11,较大的正奇数为2X6+1=13,

因此；

故答案为：郎，112.

(2)由(1)的规律可得斯=(2九+3)2—(2九+1)2

=[(2〃+3)+(2w+l)][(2〃+3)-(2»+1)]

=(2〃+3+2〃+1)(2〃+3-2/7-1)

=(4〃+4)X2=8(/?+1),

因为〃为正整数，所以8(〃+1)能被8整除，

即对于任意正整数〃，处一定能被8整除；

(3)(2/+1)(2/-1)-t(4/-5)+9

=4尸-1-4户+5什9

12

=5什8：

因为，是第〃个“特征数”，

5什8

=5X8/7+8

=40/7+8

=8(5/?+1),

设两个连续正奇数为2A和2什3(£为正整数)，

则它们的平方差为：

(2叶3)2-(2HI)2

=⑵+3+22+1)⑵+3-2Ar-1)

=8(〃+1),

令8(HI)=8(5〃+1),解得A=5〃，

因此两个连续正奇数为2X5〃+l=10〃+l和2X5〃+3=IO〃+3,所以5什8是“特征数”，且是第5〃+1个

“特征数”.

图4图5

13

由图明显可知图5的路径更短,

故采用II型桥形，最短路径的长度更短,

故答案为：II；

(3)如图,

y八

，-f

A：A'\

->

x

结合(2)作图可知,要满足题意,则4c=)”C,

・••点。在的垂直平分线上,

：.C(10,-10),即£=10；

故答案为：10.

(2)结论：CM=FM,CMVFM.

使得M/=EW,连接4/,CF,CJ,延长3/交4/的延长线于点K.

,:E,8关于,对称,

:,FE=FB,

；,/BEF=/EBF=45°,

：.ZEFB=90°,

；.EFLBF,

14

•:MA=ME,MJ=MF,NAMJ=/EMF,

:,AAMJ冬&EMF(SAS),

:.AJ=EF,/MAJ=/MEF,

：.AJ//EF,

:・AK1BK,

；・NK=NACB=90°,

*.•/AOK=/BOC,

・•・ZJAC=ZCBF,

*：AJ=EF=BF,CA=BC,

:.△JAgNBC(SAS),

：,CJ=CF,/ACJ=NBCF,

；.NJCF=NACB=9