2026年高考数学总复习 高频考点培优练：二项式定理

二项式定理

一.选择题（共10小题）

1.若（4+X）4的展开式中X的系数是一）则〃=（）

11

A.1B.-C.D.-1

22

【答案】C

【解析】•・•Q+x）44的展开式中x的系数是盘/3二一发

­亍

故选：C.

2.在（无一石尸的展开式中，1?的系数为（)

A.6B.-6C.12D.-12

【答案】A

r4r

【解析】。一«）4的通项公式为：（・1）C；-x--xi,4-r+?=3,可得r=2,

二项展开式中小的系数：废・（-1）2=6

故选：A.

3.（2x-i）5的展开式中，x的系数是（）

A.-40B.40C.-80D.80

【答案】。

【解析】由二项式定理可知（M-《）5展开式的第什1项

Tzi=CJ⑵）5r（-i）r=（-1）吁/C"5⑵,SO,1,…,5）

令5・2r=l,可得，=2.即含1的项为第3项,

・•・力-80x,故工的系数为80.

故选：Q.

4.若（2A-1）4=a4x4+ayx3+a2x2+aix+«o,则。。+。2+«4=（）

A.40B.41C.-40D.-41

【答案】B

【解析】法一：*.*(2x-1)4=ctAX^+avP+a^+a\x+ao,

□J得«o=C4=1,ai=ClX22=24,a4=C：x24=16,

，40+42+44=41,

故答案为：41.

法二：（2v-1）4=aAx^+a^+azr+aix+ao,

令x=1,可得ao+a1+。2+。3+。4=1,

再令x=-1,可得ao-a\+a2-a3+a4=（-3）4=81,

.**两式相加除以2可得，々0+々2+々4=1'I=41,

故选:B.

5.（石一（）2025的展开式中的常数项是（）

A.第673项B.第674项C.第675项D.第676项

【答案】D

【解析】由题意可得（五一。）2°25展开式的通项公式为TK|=』2S（爪）2025r（_Z）k=（_2）

,2025-3k

，脸25%2，

令202；-3k=0,解得k=675,故常数项为第676项.

故选：D.

6.二项式-1）的展开式中，常数项为（）

A.21B.6C.-6D.-24

【答案】D

【解析】展开式的通项公式为%+1=噩=（-2）「G\4-2"rwN,r工4,

显然4-2r=-l无解，由4-2r=0,得/*=2,

所以所求常数项为口♦（T）=一（一2）2或=-24.

故选：。.

7.若。-£）6展开式的常数项为60,则常数〃的值为（）

A.2B.4C.6D.8

【答案】B

【解析】•・•（%—登尸展开式的通项公式为%|=4・（一口）”一3「，令6-3r=0,求得r=2,

可得它的常数项为服・a=60,，a=4,

故选：B.

8.若（1-x）7=ao+a\x+av?+,,•+«7x7,则。2+〃4+46=（）

A.31B.32C.63D.64

【答案】C

【解析】（1-x）7=〃o+aix+a”2+…+47X7中，

令x=0,解得ao=l,

令x=l,可得ao+m+...+47=O,

.।?7

J

令x=-1,可得ao-ai+...~ai=2f两式相加得:00+02+44+06=——=64,

故02+44+06=63.

故选：C.

9.已知（l+2x）〃。怎N*）的展开式中第2项、第3项、第4项的二项式系数成等差数列，则〃=（）

A.5B.6C.7D.8

【答案】C

【解析】已知（l+2x）〃。£N"）的展开式中第2项，第3项，第4项的二项式系数为程，鬃，%

可得：2鬣=盘+盘，即2、喽芦=九+专骑&,

化简得6（〃-1）=6+（〃-1）（〃-2）,即：/72-9/2+14=0,

解得：〃=7或〃=2（舍去）.

即71=7.

故选：C.

IO,在（/+/），）6的展开式中，.A的系数为（）

A.3B.6C.60D.30

【答案】C

【解析】（/+x+y）6表示6个因式/+x+y的乘积，

在6个因式中，1个因式选y,2个因式选/,3个因式选x,

故Fy的系数为盘废或=60.

故选：C.

二.多选题（共4小题）

9

（多选）11.若（A+2）（A-1）3=ao+ai（A-+1）+a2Q+l）2+a3（x+1）3+-+a9（A+1）,则下列结论正确

的是（）

A.a1+42+43+…+。＜)=2

B.47=96

C.〃0+%1+2%2+2,43+,­,+2%9=4

D.〃i+勿2+3〃3+…+9。9=-15

【答案】BD

【解析】A：令％=-1,贝ijao=（-1+2）X（-1-1）8=256,

令x=0,贝i]ao+ai+…+。9=2,所以m+…+〃9=2・256=・254,故A错误；

B：令f=x+l,则X=L1,则原多项式化为：（什1）a・2）8,

8rr

二项式（J-2）8的通项公式为rr+1=^t-（-2）,令8-r=7,则r=l；令8-r=6,则r=2,

则Z7即（x+i）7的系数为2盘.（-2）+鬣・（-2）2=96,故B正确；

C：令x=l,则+2%+…+2%9=。，故。错误；

D：对已知等式两边同时求导可得:（x-1）8+8（x+2）（X-1）7%+2。2（*+D+…+9的（％+1丹

令x=0,则m+2m+…+9研）=（-1）8+16X（-1）7=-15,故。if确.

故选：BD.

（多选）12.已知二项式（孝-与的展开式中各项系数之和为三，则（）

乙x64

A.展开式中共有6项

B.展开式中二项式系数的和为64

C.展开式中常数项为登

16

D.展开式中系数最大的项是第2项

【答案】BC

【解析】令x=l,则（一扔二4="=6,则展开式共有7项，A错误；

二项式系数和为蜉=o嚎=（1+1）6=64,8正确；

1n-r1n-3r

展开式通项为G+l=CJ（1）n-r（X）-2-（-l）r（X）-r=品（切一「（一1）、-2—，其中〃=6,

令号^=0=r=2,则常数项为73=程8）6-2（_1）2=11,c正确；

各项系数依次为：（》6-。（一1）。=亳，或心尸（一1）】=一得，盘（扔一2（一1）2=得，/分一3（一1）3=

心&）6-4（_1）4=学，扇》6-5（_1）5=_3,砥》6-6（_1）6=1,则系数最大项为第5项，。错

误.

故选：BC.

（多选）13.数学家波利亚说过：为了得到一个方程，我们必须把同一个量以两种不同的方法表示出来，

即将一个量算两次，从而建立相等关系.根据波利亚的思想，由恒等式（1+x）w-（l+x）〃=（1+x）用〃

（/»,nGN+）左右两边展开式式（其中r€N*,《〃，厂WW系数相同，可得恒等式或用+盘联一】+…+

RCSx=c"m，我们称之为范德蒙德恒等式，下列关于范德蒙德恒等式说法正确的是（）

A.—=%

B.以尊+程瑞+…+旗德=仃］

C.CpoC/o+储。岛+…+C?0C}§=%

D.（C>+（鬣）2+...+（4）2=4一1

【答案】BD

【解析】对于A,由范德蒙德恒等式，c忠.=CK第s+CK力T+...+（：产%,故A错误；

对于3,在范德蒙德恒等式中，令〃=5,〃?=6,r=6,有C?C*+CK*+…+废盘=C&,故4正确：

对于C,在范德蒙德恒等式中，令〃i”=10-=9,有盘0备+•••+*」=脸，故。错误：

对于。，在范德蒙德恒等式中，令m=〃，=〃，有以*+CW+…+黑黑=C£n,

由组合数性质，集=3-k,所以以=党，叱=图-］，…，制=喘，

故（劭2+©）2+©）2+...+（蠲）2=C却

所以（盘/+©A+…+（制>=C?n-l,故。正确•

故选：BD.

（多选）14.已知°2+=）n（常数心0）的展开式中第5项与第7项的一项式系数相等，贝I」（）

A.n=10

B.展开式中奇数项的二项式系数的和为256

C.展开式中75的系数为45攘

D.若展开式中各项系数的和为1024,则第6项的系数最大

【答案】ACD

14n-5r

【解析】由题可得展开式的通项为7；+1=忌）「二^-rC^X~^~,

对于A,由展开式中第5项与第7项的二项式系数相等,

可得髭=以，由组合数的性质可知〃=10,故4正确;

对于8,由（皿2+与1。，则展开式中奇数项的二项式系数之和为2*1=512,故8错误:

4x10-5r

对于C,由一--=15解得r=2,则展开式中35的系数为血10-2比0=45巾8,故C正确;

对于。，令x=l,则展开式中各项系数之和（m+1）10=1024=2?解得加=1,

可得展开式的通项为G+i=口0%也产，即每项系数均为该项的二项式系数，

易知展开式中第6项为二项式（》2+2）】。的中间项，则其系数最大，故D正确.

故选：ACD.

三.填空题（共10小题）

15.在（X+1）〃的二项展开式中，若各项系数和为32,则/项的系数为10.

【答案】见试题解答内容

【解析】由题意，展开式中各项系数的和是（1+1）”=32,所以〃=5,

则该二项式的通项公式是7>+1=C[x5-r•lr,

令5・r=2,解得r=3,故x2顶的系数为C?=10.

故答案为：10.

16.设（1-2r）4=ao+mx+42x2+a3x3+a4x4,贝Uao+a4=17.

【答案】见试题解答内容

【解析】根据题意及二项式定理可得：

ao+a4=C；+或•（-2>=17.

故答案为：17.

17.（1一Q（Ay）8的展开式中小俨的系数为.8（用数字作答）.

【答案】-28.

【解析】（x+.y）8的通项公式为小1=。/产了，

35

当r=6时，77=。鱼2y6,当『5时,T6=C^xyf

・•・（1一力（x+j）8的展开式中/心的系数为c拼一出=焉一品=28-56=-28.

故答案为：-28.

18.在（一一1）7的二项展开式中，含/的项的系数是斟.（用数字作答）

【答案】84.

【解析】二项式的展开式的通项公式为7「+1=6（/）7-「（一卷尸=（-2）厂6炉4-5「，/=°,j,7,

令14-5r=4,可得r=2,则/的系数为（-2）2y=84.

故答案为:84.

19.在(二一看)7的展开式中，常数项为7.

【答案】7.

【解析】二项式展开式的通项公式为J=。(炉尸(.=(-1)「C>214(0WW7且隹N),

令21-与=0,则r=6,所以常数项为77=(-1)6。=7.

故答案为：7.

20.若二项式(。/+舒展开式口的常数项为160,则。=.

【答案】2.

【解析】若二项式(Q/+称产展开式中的常数项为160,

5r10

由题二项式展开式的通项公式为：Tr+1=G•(a/)5T•/)「二2r•a~•x4,

所以当r=4时的项为常数项24・a谶=160,解得a=2.

故答案为：2.

21.(2%-：+1)3的展开式中的常数项为:[](用数字作答).

【答案】-11.

33

【解析】因为(2*_1+1)3=〔2%-1)3(%+1),

人X

只需求(2r・1)3("1)3展开式中的？的系数，

即以(2x)3XCjl3+仁(2x)2X(-1)1xCjx+Cl(2x)x(-1)2X+废x(-1)3XC我3

J3

=(8-3X4X3+3X2X3-I)A=-Ilx.

故答案为：・11.

22.(x+1)(2x7)5的展开式中/的系数为-30.(用数字作答)

【答案】-30.

【解析】(2