等式性质与不等式性质（解析版）

第03讲等式性质与不等式性质

题型一数(式)的大小比较........................................................................2

题型二判断不等式正确性........................................................................7

题型三利用不等式求值或取值范围.............................................................11

课时精练..................................................................................16

【基础回顾】

知识点1.两个实数比较大小的方法

a-b>0d>b,

a—b=0d=b,(a,bGR).

{a-b<g«b

知识点2.等式的性质

性质1对称性：如果。=从那么〃=〃；

性质2传递性：如果。=4b=c,那么。=c；

性质3可加(减)性：如果。=〃，那么。±c=加:c；

性质4可乘性：如果a=b,那么ac=bcx

性质5可除性：如果。=。，c¥0,那么

知识点3.不等式的性质

性质1对称性：a>b<=tb<a；

性质2传递性：a>b,b>c=a>c；

性质3可加性：〃>/?uw+c>Z?+c；

性质4可乘性：a>b,c>0=>ac>bc；a>b,c<0=>ac<hci

性质5同向可加性：a>b,c>d^u~\-c>b~\-d\

性质6同向同正可乘性：a>b>0,c>d>0=ac>bd；

性质7同正可乘方性：a>b>0^a,l>b,l(neN,n>2).

【必备知识】

不等式的两类常用性质

⑴倒数性质

①〃/?>（）w；

②〃<〃<（）w

③a>b>0,0<cvd=4>g；

LC<

®0<a<x<b或4<X<Z?VO=4<：2.

U人C4

⑵有关分数的性质

若a>b>0,m>0,则

①真分数的性质（糖水不等式）

bb-\-mbb—m

-（b—m>0）；

aa-rr-m,a>-a------m

②假分数的性质

aa-\~maa-in

行三*—〃“））•

题型一数（式）的大小比较

比较大小的常用方法

⑴作差法：①作差；②变形；③定号；④得出结论.

⑵作商法：①作商；②变形；③判断商与1的大小关系；④得出结论.

（3）构造函数，利用函数的单调性比较大小.

【例题精讲】

1.（2026•黑龙江哈尔滨•三模）下列各式大小比较中正确的是（）

A.V7—>/5>>/5—V3B.Lan-<sin-

S5

1

C.21n3<31n2D.log《V

【答案】D

【分析】由不等式的性质判断A；由三角函数的性质判断B；止对数的公式判断C：由对数函数和指数的

单调性判断D.

【详解】对于A.因为«一遍二及笔产=&.

v7+V5V7+V5

./r.p5_（、后一存）（、片+6）-2

V5-V3-----印,

由于上+通>遍+百>0,则方为<忑为,

即夕一遍<①一百，故A错误；

对于B,由OVcosmCl,则」~H>1,而sinm〉。，则sin?<受=tang故B错误；

5COS-55COS-5

对于C2ln3=ln9>ln8=31n2,故C错误;

对于D,由log《=logs2Vlogs遍=}《I>0'=}

5

1

则bg4<GF，故D正确.

2.(2026•山东聊城•二模)已知正数a,b,c满足logaC>log*>0,则下列说法正确的是()

A.c>1B.a<b

C.ac>bcD.cb>ca

【答案】D

【分析】由log/>OJog/jC>0可知a,b,c要么都大于1,要么都在(0,1)内,再由log^c>log^c分类讨论c>1

和0VcVI两种情况，分别比较°,匕的大小，最后判断c。与共的大小关系.

【详解】因为logaC>0,log》c>0,所以:若Q>1,则c>l；

若OVQ<1,则O<C<1,同理由log*>0可知b与c要么都大于1,要么都在(0,1)内，

因此，Q,瓦c满足以下两种情况之一：Q>l,b>l,c>1；0<a<1,0<d<1,0<c<1.

下面分类讨论：

情况一：C>1,

此时a>l,b>1,所以Ina>OJnb>0,lnc>0,

由bgaQlOg“得需

因为Inc>0,所以">六.

Ina\nb

又因为\na,\nb>0,故Ina<Inb,从而a<b.

由于c>l时，函数y=c”单调递增，所以a<b=c。vd.即d>ca.

情况二：0VcV1,

此时0<a<l,0<b<l,所以Ina<Q,\nb<0,lnc<0.

由10g/>10g“得雷>需.

因为IncV0,两边同除以Inc时不等号方向改变，故二<二？

又因为Inajnb<0»所以Ina>Inb,从而a>b.

由于0vc<1时，函数y=c”单:周递减，所以a>b=>ca<c".即c》>ca.

综上，无论哪种情况，都有力>。巴

所以正确选项是D.

3.(2026•广东揭阳•二模)已知a,b,ceR,且a>b,则下列说法正确的是()

A.-<-B.ac2>he2C.a2>b2D.ea>eb

ab

【答案】D

【详解】对于A,当Q=2,匕=一1时，满足Q>从而工>：,故A错误；

对于B当c=0时，ac2=be2,故B错误;

对于C,当。=1,8=一1时，满足Q>6,而小二川，故C错误；

对于D,因为函数、在R上单调递增，且a>b,则e。>声，故D正确.

4.(2026.四川攀枝花•,：模)若正实数a,b满足。>/),且Ino•Inb>0,则下列不等式一定成立的是()

ab+1a+dba

A.logab<0B.C.2>2D.a<b

【答案】C

【分析】先得到0<bVaVl或再结合函数单调性，作差法，举出反例进行判断，得到答案.

【详解】当Ina<Q,\nb<0,即0VQV1,0VZ?V1,

又bVQ,故0VbVaV1,

当Ina>O,lnb>0,即Q>l,b>1时，又a>b,故Q>b>1,

A选项，若0<b<Q<1,则10即8>log。。=1，A错误；

B选项，a一户(b—J=a-b+»j=(ai)+誓=(a-b)(1-£)=(a—b)・*

当DvbVaVl时，a-b>0,ab>0,(ib—1<0»ci-fb——'j<0>a—：<b—工，B偌误；

b\a/ba

C选项，Q匕+l-Q-b=ab-Q+(l-b)=(b-l)(a-1),

不论0<匕<0<1,u>b>均有ab+1—a—b=(b—l)(a—1)>0,

即必+l>a+b,又y=2*在R上单调递增，故2。计】>2。+%C正确；

D选项，当Q>6>1时，不妨设a=2,b=JL此时a"==(VS)?=2,

显然D错误.

5.(2026•甘肃•一模)已知a,bwR,则“a>b>0"是“竺%的()

a+la

A,充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【详解】若Q>b>0,则二一2=广二>0,则充分性成立；

a+laa（a+l）

若a=l,b=0,则满足安但不满足a>b：>0,故必要性不成立，

a+la

故，>b>0〃是“空>多的充分不必要条件.

a+la

6.（2026•四川泸州•模拟预测）下列命题为真命题的是（）

A.若a>b>1,则e*>&；B.若则J->二；

\nbIna

2

C.若Qvbv0,则a2<ab<bxD.若a<b<0,则cosa<tanb.

【答案】B

【分析】利用指数函数的单调性判断A,构造y=%ln%且%>1,导数研究其单调性得到大小关系判断B,

应用不等式的性质判断C,由余龙、正切函数的性质，举反例判断D.

【详解】由a>b>1,fflO<-<^<1,故e±<e石，A为假命题，

ab

令y=xln%且%>1,则y'=l+：nx>0,故y=xlnx在（1,+8）上单调递增，

由则alna>=三>二，B为真命题，

\nbIna

22

由QVbV0,则-a>—b>0,故（一a）?>（—a）•（-/?）>（-b）,即a2>ab>b,C为假命题，

若QVbV0,反例：如0=—二。=一¥,则cosa=0>tanb=—1,D为假命题.

24

7.（2026・天津南开•一模）已知QVbV0,C>d>0,则下列结论不成立的是（）

A.ac<bdB.a2c>b2dC.-+c>7+dD.a—c>b—d

ab

【答案】D

【分析】根据不等式的性质逐项分析后可得正确的选项.

【详解】对于A,因为QVbV0,c>d>0,故-Q>>0,故一axc>-hxd,

故ac<匕4,故A成立；

对于B,因为a<b<0,故。2>户>0,又c>d>0,故a2c>匕2d,故B成立；

对于C,因为avbvO,故工又c>d,故Z+c>：+d,故C成立；

对于D,因为c>d>0,故一cv-d<0,故a-c<b-d,故D不成立.

（多选）8.（2026•陕西•模拟预测）如果a”,c,d€R,abHO,则下列说法正确的是（）

A.若a>b,则工<r

B.若ac2>6c2»则a>b

C.若a>b,c>d,则ac>/?d

D.若b>a>0,c>0,则<—

a+ca

【答案】BD

【分析】选项A和C,取反例求解即可；选项B,约掉C?即可；选项D,用作差法即可判断.

【详解】对于A：取a=l,b=-2,则二故A错误；

ab

对于B：由此2>儿2,可知c2H0,所以c2>0,同除c2,得到a>b,故B正确；

对于C：取a=l,b=-l,c=0,d=-2,ac=0,bd=2,此时acVbd,故C错误;

b+cba(b+c)-b(a+c)c(a-b)

对于D：---——=---------------,

a+caa(a+c)a(a+c)

因为b>a>0,所以a-bV0；又c>0,a(a4-c)>0,

即此一&VO,故比故D正确.

a+caa+ca

(多选)9.(2026•安徽合肥•一模)已知正实数a,瓦c满足a<b<c,且|。一1|>|c-l|>\b-l\,则()

A.a<1B.b>1C.ac<1D.be>1

【答案】AC

【分析】根据绝对值的性质，结合已知Q<b<c,|a-1|>|c-1|>-1|,对a,8,c与1的大小关系进

行分析，再根据不等式的性质判断各选项的正误即可.

【详解】若aNl,因为avbvc,Kij0<a—l<b—l<c—1,所以0W|a-1|<|b—1|<|c一1|,

与|a-1|>|c-1|>|b-1|矛盾，故a工1不成立，所以a<L故A正确；

若c<1»因为aVbVc,则a—lvb—l<c—1工0,所以|Q—11>|b—11>|c-11>0»

与|Q-1|>|c一1|>|力一1|矛盾，故cW1不成立，所以c>l,

取Q=；,b=；,c=j,满足Q<b<c,|a-1|>|c-1|>|d-1|»此时b<l,故B错误；

442

因为I。-11>|c-11,QV1,C>1,所以1—Q>C—1,所以Q+CV2,

又Q+CN2\^，所以2A/^F<2,所以ac<l,故C正确：

取a==9，满足avb<c,|a-1|=：,|c-1|=白,|匕-1|=：,

44164lr>4

所以满足|a-l|>|c-l|>|匕一1|,此时反=穿<1,故D错误.

64

故选：AC.

（多选）10.（2026•黑龙江大庆•二模）下列命题正确的是（）

A.若a>b,则ac?>be?

B.若a>b,cvd,则a-c>bd

C.若a>b>0,则裔>孤

D.若a>b,则.

a2b2

【答案】BC

【分析］对A,取c=0可判断；对B、C,由不等式性质可判断；对D,取a=l,b=-3可判断.

【详解】对A,当c=0时，ac?>儿2不成立，故人错误；

对B,若cVd,则一c>-d,由不等式的性质Q-c>b-d,故B正确；

对C,若a>b>0,则需>Vb,C正确；

对D,若Q>bi不妨取Q=l,b=一3,则*=1,京=g,*>总D错误.

故选：BC.

题型二判断不等式正确性

判断不等式的常用方法

⑴利用不等式的性质逐个验证.

（2）利用特殊值法排除错误选项.

⑶作差法.

（4〕构造函数，利用函数的单调性.

【例题精讲】

1.（2026•河北秦皇岛•模拟预测）已知实数a,匕满足Q>b,且工>9则（）

Gb

A.ab>0B.a+b>0C.a+b<0D.ab<0

【答案】D

【详解】2—J>0=_jy>0,

ababab

因为a>8,所以匕一a<0,

所以由咚>0=QbVO,因此选项A错误，选项D正确：

ab

若Q=3,b=-1,显然a>b,ab<此时a+匕>0,

若a=t,b=-l,显然a>b,ab<0,此时a+b<0,

所以选项BC都不恒成立，所以选项BC都不正确.

2.(2026•青海西宁•二模)已知Q>b>0>c,则下列不等式一定正确的是()

A.ac>beB.a(a+c)>b(b+c)C.a(b—c)>b(a—c)D.£

【答案】C

【分析】根据不等式性质以及特殊值求解.

【详解】选项A：因为a>b,c<0,所以ac<加，错误.

选项B：a(a+c)-b(b+c)=a2—b24-C(Q—b)=(a—b)(a+b+c).

a-b>0,取Q=l,h=0.5,c=-2,则(Q—b)(a+b+c)=0.5x(—0.5)<0,错误.

选项C：a(b—c)—b(a—c)=ab—ac—ab+be=c(b—a).

因为cV0,b-a<0,故c(b-a)>0,即a(b-c)>b(a-c),C正确.

选项D：取a=5"=3,c=-l,满足a>b>0>c,则左边上=；,右边旨二：,D错误.

a-b2b・C424

CS-26高二下•上海浦东新•期中)已知实数满足。>b>1>小则下列结论一定正确的是()

A.ac>beB.bc<1

C.logab+logfta>2D.a+c>b

【答案】C

【详解】对于选项A,可知l>c,无法判断正负，所以选项A错误；

对于选项B,可知OVC<1<6时，所以所以选项B错误；

对于选项C,因为所以Ina>】nb>0,

可知logab+log》a=粤+曾22/臀,瞿=2,当且仅当臀=曾，即a=b时取等号，所以等号取不至小

o"Ina\nb，Ina\nbInaInd

所以log。/?+10g》Q>2,选项C正确；

对于选项D,当C<0时，无法判断不等式是否成立，所以选项D错误；

4.(2026•上海杨浦•二模)设a>8,下列不等式中恒成立的是()

A.B.a2>b2C.a3>b3D.|a|>\b\

【答案】C

【详解】对于A,B,D,若a>£,可设a=l,b=-2,此时三>J故A不符合题意；

ab

此时a?=1,b2=4,得到a2Vb2,故B不符合题意；

此时网=2,得到同〈间,故D不符合题意;

对于C,因为y=%3在R上单调递增，

所以Q>b,一定有成立，故c符合题意.

5.(2026•重庆・二模)已知avbvc,则()

A.ac<beB.ac<b2

C.2a+b<2b+cD.b-a<c—b

【答案】C

【分析】对于ABD,举反例即可，对于C,利用不等式的基本性质即可证明.

【详解】对于A：当CW0时，不等式不成立，故A错误；

对于B:取Q=2,。=3,C=10,则故B错误；

对于C：因为QV匕Vc,所以2avb+c,即2a+8v2b+c,故C正确；

对于D：取a=l,b=3,c=4,Mb—a>c—b,故D错误.

6.(2026•辽宁抚顺♦一模)若QWR且a>1,则下列结论正确的是()

A.ac>cB.ac2>c2C.a2>aD.a4-c>1

【答案】C

【详解】对于A,当cV0时，由Q>1,得acvc,故A错误；

对于B,当c=0时，有碇2=c2,故B错误；

对于C,因为Q>1,所以即a?>0,故c正确；

对于D,若a=2,c=—2,则a+c=O,不满足a+c>l,故D错误.

7.(2026•山东日照•一模)已知Ina>In/?>0,c>0,则()

A.2a<2bB.—<-

a+ca

C.<\fabD.ab+1>a+b

2

【答案】D

【分析［利用指数函数单调性判断A,利用基本不等式判断B,利用作差法即可求解BD.

【详解】由Ina>\nb>0可得Q>b>1,

对于A,由于函数y=2、为单调递增函数，故2a>2%故A错误，

对于B,——-=由于c>0,故c(a—b)>0,a(a+c)>0,

a+caa(a+c)

故等々>0,则比>2,故B错误，

Q(Q+C)Q+Ca

对于C,由于故学〉底，故C错误，

对于D,ab+1—(a+b)=(a—l)(b—1),由于a>b>l,得(a—l)(b—1)>0»故ab4-1>a+b.

(多选)8.(2026・河北维安•模拟预测)下列说法正确的是()

A.3xER,x2+3x+2<0

B.若XER,则“X是心<3"的允要条件

3x

C./+总的最小值为3

D.若年7>瓷，则

c2-lc2-l

【答案】AC

【分析】利用存在量词命题的定义判断A；利用充要条件的定义判断B：利用基本不等式求出最小值判断C；

利用不等式的性质判断D.

【详解】对于A,解不等式/+3x+2W0,得一24工4一1,因此三%£1</+3%+240,人正确；

对于B,当？V3时，4<0或%>：,即%能推出2V3,但乙<3不能推出%

x33xx3

因比是彳<3〃的充分不必要条件，B错误；

对于C,x2+=/+3+-3>2^(x2+3)--3=6-3=3,

当且仅当/+3=岛，即％=0时取等号，因此/+岛的最小值为3,C正确；

对于D,-^―>,当c?一1<0时，a<b,D错误.

c2-lc2-l

(多选)9.(2026・山西吕梁•二模)若a>b>C>d,则下列不等式正确的是()

A.QC2>bc^B.a+c>b+dC.ci—d>b—cD.—■—>—

a-ba-c

【答案】BC

【详解】对于A,取Q=2/=LC=0,此时但川2=加2,故A错误；

对于B,因为Q>b>c>d,故a+c>b+c>b+d,故B正确；

对于C,因为c>d,故一d>-c,而a>b,故Q-d>b-c,故C正确；

g工cbcab-bc-ac+bca(b-c)

a-ba-c(a-b)(a-c)(a-b)(a-c)

若0>a>b>c>d,则Qv0,b-c>0,Q-b>0,Q-c>0,

故上一二VO即二V二.故D错误.

a-ba-ca-ba-c

(多选)10.(2026•河北沧州•二模)若a>0,b>0,a+b=4,贝！|()

411

A.Q—B.—F->1

bab

C.Va+>Jb<2V2D.12<a2+3b2<48

【答案】BCD

【分析】根据基本不等式可得abW4,进而可判断A；根据基本不等式“1〃的妙用计算可判断B；根据基本

不等式计算可判断C；利用换元法结合二次函数性质计算可判断D.

【详解】对于A选项，因为Q>Q,b>0,4=a+b>2>Jab,所以QbW4,

当且仅当a=b=2时取等号，即aW：,所以。一：三0,所以A选项不正确；

bb

对于B选项，因为打注X：+j)(a+b)=；(2+"》之：(2+2^!^)=1.

当且仅当a=b=2时取等号，所以B选项正确；

对于C选项，因为孚w产与质=9，所以几十死42口，

当且仅当a=b=2时取等号，所以C选项正确；

对于D选项，因为a>0,b>0,a=4—b,

所以a?+3b2=(4-b)2+3b2=4s-l)2+12,

又因为0VbV4,所以12W4(b-1)2+12V48,所以D选项正确.

题型三利用不等式求值或取值范围

利用不等式的性质求代数式的取值范围的注意点

⑴必须严格运用不等式的性质.

(2)在多次运用不等式的性质时有可能扩大变量的取值范围，解决途径是先建立所求范围的整

体与已知范围的整体的等量关系，然后通过“一次性”不等关系的运算求解范围.

【例题精讲】

1.(25-26高一上•江西•月考)已知一2va+2b<5,-3<a-b<l,则a+b的取值范围是().

A(-得)B.工)

u(-香)D-(-消)

【答案】D

【分析】利用不等式的性质待定系数计算即可.

【详解】设Q+b=m{a+2b)+n(a-b)=(jn+n)a+(2m-n)b,

(m=-2

叫n解得.

n=-

因为-2Va+2b<5,—3<ci—b<1»

所以一江式a+2b)VM-1<\

所以一(VQ+匕<；.

33

故选：D

2.(25-26高一上•河南•开学考试)已知max｛a,b,c｝表示a,b,c中的最大者,若a>0,Z?>0,则max｛，,，,2a2+

〃｝的最小值为()

A.2B.3C.4D.5

【答案】B

【分析】设血奴｛精,2。2+码=血，由最值性质建立小的不笔式，求出m的范围，得到最小值.

【详解】设max｛33,2Q2+q=m,

则m>-,m>>2a2+b2.

ab

因为a>0,匕>0,所以m>0.

所以所以2a2+扭+B=2，

所以m工刍解得m^3,

m2

所以m的最小值为3,即max｛旨,2。2+匕2｝的最小值为3.

故选：B.

3.(2025•河北沧州•模拟预测)已知2<QW4,-1V。$0,则2a-b的取值范围()

A.[4,9)B.(4,9)C.(5,8]D.(5,8)

【答案】B

【分析】由不等式的同向可加性得到结果.

【详解】因为2<a<4,-l<b<0得4<2a<8,0<-d<l,所以4<2a-b<9.

故选：B.

4.(25-26高一下•四川成都•期中)若l<a+匕<4,一2Va-b<4,则a+3b的取值范围是()

A.-5<Q+3b<1B.-2VQ+3b<10C.-2<a+3b<9D.-5Va+

3b<10

【答案】B

【详解】设a+3b=m(a+b)+n(a-b),解得m=2,〃=-1.

2<2(a+d)<8,-4<-(a-6)<2,相加得-2<Q+3b<10.

【点睛】错误思路；先单独求a、b各自范围，再代入求aI3b.

两式相加:2ae（-a<4

两式相减:2be（-3,6）,-1<b<3

再算。+3b：—3+3x（-,）va+3b<4+3x3

得到：-5va+3b<13.

。和b不是相互独立变量，。十8与。-6有约束关联，不能先拆开单独求a,b范围再直接代入，扒开后放人了

取值范围，求出的是虚假宽泛区间，不是真实范围.

5.（25-26高一下•河南商丘•月考）已知一lWx+yWl,1<x-y<2,贝河工一2y的取值范围是（）

A.[2,7]B.[3,8]C.[2,8]D.[5,10]

【答案】A

【详解】根据题意可知4%一2y=X+y+3（%—y）,

由14工—yW2可得3<3（x-y）<6,乂-1<x+y<1,

所以2<x+y+3（x-y）<7,H|J4x-2y的取值范围是[2,7].

6.（2026・山东•模拟预测）当0cxW：时，满足8“<logM（Q>0，QHl），贝卜的取值范围是（）

A.（0弓）B.停,1）C.（1,V3）D.（V3,3）

【答案】B

【分析】先由指数函数的单调性确定1<旷W2,再结合对数函数的图像和性质分两类讨论可得.

【详解】因为函数y=8>在（0,刍单调递增，所以1<8"工嫉=2.

当Q>1时，因为O<xwg,所以y=loga%V0，故不等式不成立；

2

当0<Q<1时，函数y=10gM在（0,曰单调递减，要使不等式成立，只需loga]>2=logaa,

得解得a>白（QV一日舍去），又因为ova<1,所以曰<avl.

故选：B

7.（25-26高一上•河北衡水•期末）已知关于无的不等式a/+》x+c>0（a,b,c£R）的解集为（一5,1）,则

竽的取值范围为（）

A.（—8,—10]B.[—10,4-oo）C.（—6,+oo）D.[—6,+8）

【答案】A

【分析】根据一元二次不等式解集的形式，判断a,b,c的关系及。的符号，再结合基本（均侑）不等式求范

围即可.

【详解】因为a%2+bx+C>0的解集为（一5,1）,

所以aV0,-5,1为方程aM+加+c=o的解,

(-5x1=-,_寸

所以工，所以］

-5+1=--Ib=4a

\a

所以手25a2+1625a,4

-------=-----F

b4a4a

因为a<0.所以—+（一》―x（—~）=1。，

所以巴竺=出&=强+士工一io,

b4a4a

故选：A

（多选）8.（25-26高三上•云南楚雄•期中）已知3<QV10,5Vb<30,则下列结论正确的有（）

A.2<-a<10B.11<2a+b<50

C.2<b-a<20D•彩…2

【答案】BD

【分析】根据给定条件，利用不等式的性质逐项分析判断.

【详解】对于A,由3<a<10,得右〈工<3而5Vb<30,则：<々<10,A错误；

10a32a

对于B,由3Va<10,得6V2aV20,而5Vb<30,则ll〈2a+bv50,B正确；

对于C,由3<aV10,得一而5<b<30,则一5<b-Q<27,C错误;

对于D,由3<"10,得9<小<100；由5vbv30,得/。则总<?<20,

因此靠<1+2<22,即靠〈日了<22,D正确.

10b10b

故选：BD

（多选）9.（25-26高二上•广东•期中）已知工+冬=2,则（）

mn

A.若m>ri>0,则m>2

2

B.若则TIV—2

3

C.当7?1>0,71>0时，2m+71的最小值为4

D.当m>0,九>0时，的最小值为2

【答案】ACD

【分析】对于A：由ZV4代入即可判断，对于B：通过举例即可判断，对于C,由基本不等式乘1法可

mn

判断，对于D,由基本不等式即可判断.

【详解】对于A,若m>n>0,由n>0得工>0,又m>n,

n

所以LVL即三<A代入上+乙=2,可得三=2—即三V2—<2,乂m>0,故m〉：，故A正

mnmnmnnmmmm2

确；

对于B,当n=-Mm=/满足m>0>n且5+；=2,但不满足九<故B错误;

对于C：2m+n=*2m+n)G+沪潴+等+，+等/(4+管+»

又m>0,几>0,故坦>0,巴>0,

nm

则度+-2=4当且仅当I1"7；蓝即时取等号,

rim7nm±4--=2(/=2

、mn

所以2m+九的最小值为4,故C正确；

对于D,当m>0,n>。时，->0且2>0,

mn

_1__2

也即2>解得nuiN2,当且仅当.i蔡;｝即｛:二;取等号,

jnn

所以mn的最小值为2,故D正确.

故选：ACD

(多选)10.(25-26高一上•湖北十堰•期中)下列是真命题的是().

A.己知x>0,y>0,且轨+y=l,则詈的最大值为5

B.已知2VXV4,-1<y<0则％的取值范围为(2,5)

C.已知a>b>c且高+言工合恒成立,实数m的最大值是3+2近

D.若%>0,y>0,%+勺+2y+工=9,则x+2y的最大值是6.

*y

【答案】BCD

【分析】由基本不等式求解可判断A；由不等式的性质可判断B；转化为2+答+1+产2瓶进行求解

a-bb-c

可判断C；由基本不等式求解可判断D.

【详解】对于A,4%+y=l且，x>0,y>0,

则如=^+二=1+工=上+刈=丫+生+1之2^^+1=5,

xyxyxyxyxyxyyjxy

当且仅当？二拳即y=2x=»J,等号成立，

所以为有最小值5,故A错误；

xy

对于B,由一l<y<0,可得Ov-y<l,

乂因为2Vx<4,所以则x—y的取值范围为（2,5）,故B正确;

对于C,由题意，a—b>0,b-c>0,a-c>0,

所以£+在上言转化为2(a-c)।Q-c、

a-b

—rzEi2(a-fe+b-c)a-b+b-cgiio,2(b—c)a-b

可得----a--b-——+b--c-->m,即3+——a-—b+—b-c>m,

因为3+迎W23+2=3+2V2,

a-bb-cyja-bb-c

当且仅当Q-b=&(b-c)时等号成立，所以实数m的最大值是3+2或，故C正确；

对于D,由％+：+2y+：=9可得9-(%+2y)=：+：,

两边同乘以x+2y,

[9-(%+2y)](x+2y)=G+3(%+2y)=8+詈+5+2=10+詈+泉

又因为x>0,y>0,所以[9一a+2y)](x+2y)=10+3+土Z10+2m=18,

xy

当且仅当x=4y时等号成立，

令t=x+2y,则有(9-t)tZ18,即/-9£+1840,

解得34亡工6,因此x+2y的最小值为3,

此时x=4y=2且满足％+g+2y+j=9；

x+2y的最大值为6,此时％=4y=4且满足x+'+2y+；=9,故D正确.

故选：BCD

课时精练

一、单选题

1.（25-26高一下•湖南长沙•期中）已知a>b>0,c>0,d<0,则下列正确的是（）

66dd

A.->-B.->-C.ac<beD.ad>bd

abab

【答案】B

【详解】对于A,因为Q>b>0,所以乙<3因为c>0,所以£<：,A错误；

abab

对于B,因为a>/?>0>d<0»所以已<同乘以d<0»所以,>B正确；

abab

对于C,因为a>8,c>0,所以ac>be,C错误；

对于D,因为a>b,dV0,所以ad<8d,D错误.

2.（2026・上海松江•模拟预测）若实数a、力满足。2>82,则下列不等式恒成立的是（）

A.a>b>0B.a>0>b

C.a>\b\D.|a|>\b\

【答案】D

【详解】对于ABC,当。二一2,力=一1时，满足。2>垓，此时Q<bV0,a<\b\,故A错误，B错误，C

错误；

对于D,因为a2>b2=|Q|2>|b|2=|a|>g|,故D正确.

3.（25-26高一下•贵州•期中）已知a,b,c,d均为实数，则下列命题正确的是（）

A.若Q>b,c>d,贝拉>：B.若a2>b2,则£>?

abab

C.若c>a>b,则二-VD.若a>b>0且zn>0,则竺三>±

c-ac-oa+ma

【答案】D

【分析】举反例判断A,B；根据不等式的性质判断C,D.

【详解】对于A,取a=l,b=；,c=2,d=1,满足a>b,c>d,

J

则£=2/=3,所以£<:，故A错误；

abab

对于B,当c=0时，-=^=0,故B错误；

ab

对于C,因为C>Q>b,

所以OVC—QVC-b,所以」->工，故C错误；

c-ac-b

对于D,因为a>b>0且m>0,

所以am>bzn,am+ab>bm-Vab,

即Q（m+b）>b（m+a）>0,

两边同时乘以

a（a+m）

则口>3故D正确.

a+ma

4.（2026•山东德州•二模）已知a,b为正实数,c为实数,则，>6〃的充要条件可以是（）

A.ac>beB.ac>bc

C.Q+^>b+gD.Q+Inez>b+Ind

【答案】D

【分析】根据反例判断ABC,根据函数单调性判断D.

【详解】对于AB,若c=0,此时ac=be=0且=1

则a>b推不出ac>be,也推不出a。>口,故AB错误;

取Q=l,b=j,Q>匕成立，但Q+二=2V：=匕+J,故C也错误；

2a2b

设,f(x)=x+\nx,

因为y=%,y二巾工均为(0,+8)上的增函数，故/•(%)为(0,+8)上的增函数，

故Q>b>0时必有/(a)>f(b)即a+Ina>b+\nb；

而Q+Ina>b+Inb即f(a)>/(力)，故Q>d>0,

故Q+Ina>b+Inb是Q>匕的充要条件，D正确.

5.(25-2G高一下•浙江•期中)设a、b、ceR,则“c>a>b“是"」->七”的()

c-ac-b

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】利用不等式的基本性质、特殊值法结合充分条件、必要条件的定义判断即可.

【详解】若c>a>b,Mc-b>c-a>0,由不等式的基本性质可得」->工，

若」->二7，