人教版九年级数学上册（第2课时 配方法）导学案

2521配方法（第2课时配方法）

（导学案）

01学习目标

（1）熟练掌握用配方法解二次项系数为1、不为1的一元二次方程的完整步骤；能通过配方变形将一元二次

方程化为（五+〃）2=P的标准形式，并根据p的取值判断方程根的情况.

（2）经历“观察方程、变形化简、配方凑形、开方求解”的探究过程，归纳配方法通用解题流程，提升代数

变形、归纳总结和逻辑推理能力.

（3）体会数学转化思想的简洁性，感受代数变形的逻辑性和规律性；通过分层探究、合作交流，增强自主

探究意识和数学学习自信心.

重点：掌樨用配方法解一元二次方程的通用步骤，能熟练求解二次项系数为1和不为1的一元二次方程.

难点：二次项系数不为I时，先将二次项系数化为I的变形操作；配方时准确确定“一次项系数一半的平方”,

保证方程变形的恒等性；根据配方后常数项的正负，判断一元二次方程根的三种情况.

学习过程

第一环节自主学习

温故知新：

创设情景，引入新课

1.回顾完全平方公式：W±by=〃2±2"+b2

2.配方凑形：x2+6x+=（X+3）2,X2-4X+=（x-2）2.

3.提问：如何用直接开平方法解方程（1+3）2=5.

新知探完

【学法指导】

新知自研：自研课本第7・8页的内容

【学法指导】自研课本P7-8页内容

（一）探究二次项系数为1的方程配方解法

活动1：用配方法解方程f+61+4=0.

追问1：能否将方程转化为（x+3y=5,转化的关键是什么？

学生交流讨论：可以转化，关键是将方程左边转化为一个完全平方式.

追问2：怎样将方程转化为左边转化为一个完全平方式，右边为0的形式？你能说出理由吗？

学生交流讨论：1.移项：将常数项移到方程右侧，得f+6i=-4：

2.配方：两边加一次项系数一半的平方©=9,得八61+=_4+9.

3.凑完全平方：a+37=5;

4.开方求解：解得人］=一3+百，西=一3-石

师生小结：二次项系数为1的方程，配方核心是移项后，两边加•次项系数•半的平方.

（二）探究二次项系数不为1的方程配方解法

活动2：用配方法解方程2/-4.”6=0.

追问1：此方程与例上面讲的方程有何不同？

二次项系数不为1

追问2：如何转化为熟悉的方程形式？并解方程.

学生自主解题：

1.化系数为1：方程两边同时除以2,得/一2x—3=0；

2.移项；x22x=3；

C、2

3.配方：两边加-=1，得=4;

4.开方求解：解得％=3,x2=-\.

（三）归纳配方法通用解题步骤

活动3：结合上面两例题，归纳配方法解一元二次方程⑪?+桁+c=0（〃H0）的步骤.

学生交流讨论：

1.化：二次项系数化为1（方程两边同除以二次项系数）；

2.移：常数项移到方程右边；

3.配：方程两边同时加上一次项系数一半的平方；

4.整：左边写成完全平方形式，右边合并常数项；

5.开：根据平方根的意义开平方：

6.解：解两个一元一次方程，得出方程的根.

(四)探究方程根的情况

活动4：配方后方程为(x+〃)2=〃，〃的取值对根有什么影响？

学生交流讨论，师生共同总结：

1.当〃>()时，方程有两个不相等的实数根占=-〃一方；

2.当〃=0时，方程有两个相等的实数根占=々=-〃；

3.当〃<0时，方程无实数根.

【自研自探】

自研课本P7-8页内容

典型例题

例1.解下列方程：

(1)X2-8X+1=();(2)2A-2+1=3X;(3)3?-6x+4=0.

【分析】(1)方程二次项系数为1,直接运用配方法.

(2)方程二次项系数为2,移项、两边同除以2,再用配方法.

(3)类似(2)运用配方法.

【详解】解：(1)移项，得f一81=-1.

配方，得(―4f=15.

由此可得x-4=±Ji?.,

即占=4+后,七=4->/15..

(2)移项,得2/—3x=-1.

二次项系数化为1,得

22

配方，得

【4J16

由此可得

44

,1

即看=l,x2

(3)移项,得3/—6X=-4.

二次项系数化为1,得工2-2工=-上

3

配方，^(x-l)2=-1<0..

原方程无实数解.

第二环节合作探究

1.讨论二次项系数为1的方程配方解法

2.讨论探究二次项系数不为1的方程配方解法

3.讨论归纳配方法通用解题步骤

拓展提升：

1.阅读下面的材料：

为解方程卜7)一5(/-1)+4=0,我们可以将一-1视为一个整体，然后可设1=则al)=',

原方程可化为丁-5,，+4-0,用配力法解得凹=L必=4

当7=1时，x2-l=l,2=2,…X=±&；

22

当y=4时，x-\=4tX=5,cx=±逐.

综上所述，原方程的解为玉=血，,玉=石，

(1)根据材料解方程：丁+W-6=D；

(2)已知实数。，〃满足S+++求4々+助一1的值.

【详解】(1)解：设/=)',则原方程可化为)'2+k6=0,

用配方法解得y=-3,y2=2

当尸一3时,丁=-3,无实数根；

当y=2时，丁=2,解得x=±&.

综上所述，原方程的解为玉=应，占=~^.

(2)解：令。+»=》，则原方程可化为M“-2)=2A4,(X-2-O,

解得玉=勺=2,即a+2〃=2.

.4<7+8Z?-l=4(«+2/?)-1=4x2-1=7

...40+汕-1的值为7.

巩固练习

课本课堂练习（P8）第1题、第2题（1、2、3）.

04真题感知

1.（2025.包头•校考期中）解方程：A-2+12x+27=0

【详解】：X2+12X=-27

f+12x+36=-27+36

（X+6）2=9

工+6=3曲+6=-3

解得内=-3,々=-9.

2.（2025.阿克苏校考）解方程：x2-2r-8=O.

【详解】解：f_2r—8=0,

移项得f-2x=8,

配方得/一21+1=8+1,即（人-1：9=9,

解得％=4,超=-2.

3.（2025•青浦•八年级校考期中）配方法解方程：3X2-6X-1=0

【详解】解：3X2-6X-1=0

x2-2x--=0

・•.3,

V-2x=-

3,

x2-2x+I=-+1

3,

,（1）Y

•••

3,

.2x/3.2>/3

^=1+—,x2=l--

4.12025宁国校考）用配方法解方程V—2X+2=O,判断方程根的情况.

【详解】解：解题过程：移项得*2一"=_2,配方得（（.|）2=_|,

•••平方数非负，"-1）2之0,方程无实数根.

05随堂笔记

L知识与技能：（I）配方法适用所有一元二次方程，分为二次项系数为1和不为1两种题型:（2）通用六步

解题法：化系数一移项T配方一整理开方一求解:（3）可通过配方后为（x+〃）2=p,〃正货判断一元二

次方程根的三种情况.

2.思想方法：本节课核心运用转化思想，将陌生的一般一元二次方程，转化为熟悉的可直接开平方法求解的

完全平方方程，实现“降次求解”,这是解方程的核心思想.

3,易错提醒：（1）二次项系数不为1时，必须先整体除以二次项系数，再配方，不可直接配方;