高一预习人教A版高中数学必修一第四章 指数函数与对数函数 单元测试（有详解版）

第四章指数函数与对数函数暑假单元测试

（考试时间：120分钟试卷满分：150分）

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题H的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮

擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题共58分）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的。

1.若代数式log"》?-2x-3）有意义，则实数x的取值范围为（）

A.（8,1）D.（1,3）

C.（3,+oo）D.（-oo,-l）u（3,+x）

【答案】D

【解析】依题意，一一2工-3>0,解得不<-1或x>3,

所以实数x的取值范围为（f,-l）u（3,+8）.

2.下列函数中，既是奇函数又是增函数是（）

A.y=e*B.y=x2C.y——x|x|D.y=1''—2v

【答案】D

【解析】对于A,y=e"为非奇非偶函数，不符合题意；

对于B,y=V的定义域为R,且为偶函数，不符合题意；

对干C,设/（x）=y=-x|x|,定义域为R,满足==-/*）,

故函数y=为奇函数：

当工20时，），=一/在［0,*0）上单调递减，且«0，

当Z<0时，），=/在（-8,0）上单调递减，且，y-jC>0

故『=「小|在R上单调递减，不符合题意；

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对于D,设双力=尸2'_2~',定义域为R,且满足g(-x)=2一、-2、=-g(x),

故y=2'-2r为奇函数；

又丁=2、在R上单调递增，y=2”在R上单调递减，

故丁=2'-2”在R上单调递增，D正确，

3・函数质高的定义域为()

A.(1,2)B.(1,-HX))C.[2,+oo)D.(2,+oo)

【答案】D

【解析】由题意可得“og卜_1)>()，解得%>2,故函数/(x)的定义域为(2,+8).

22

4.已知4=—Y,/)=f—,c=log?」,则()

14J\3J33

A.b>a>cB.a>c>bC.c>a>bD.a>b>c

【答案】C

【解析】因为塞函数y=0在(0,+⑹上单调递增，

22

所以1>(7〉即，即

又因为对数函数J=log|"在(o,+g)上单调递减，

12

所以10§2T>log二-=1,即C>1,所以C>4>人.

5.已知函数/(x)=/(。>0且"1)的图象经过点(2,£|.则函数g")=的最大值是()

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

11(\\x

【解析】由己知得/=解得an、，则f(x)=1在R上是减函数，

因为X20,所以V—2x27,所以0<(；j”与3,即函数g(x)=的最大值为3.

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6.函数/(x)=lnx-』的零点所在区间为()

A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)

【答案】B

【解析】因为函数y=In在(0,+8)上单调递增,

X

所以函数/(x)=hr-L在(0,+8)上单调递增，

X

12

X/(l)=-l<0,/(2)=ln2-5=ln区>0,则/⑴/(2)<0,

根据零点存在性定理，函数/(x)=lnx-1的零点所在区间为(1,2).

X

7.2025年1()月31日，搭载神舟二十一号载人飞船的运载火箭在酒泉卫星发射中心成功发射，这标志着我

900

国航天技术实现了新的突破.已知某型运载火箭在理想状态下的喷流相对速度”

-5In50-In400(单1位•

3

m/s),则%的近似值为()(参考数据：In2ao.7,In5al.6)

A.1200m/sB.1500m/sC.1800m/sD.21OOm/s

【答案】C

9002700

【解析】“Fln50-1n400=5(21n5+ln2)-3(212+422);27002700

41n5-7ln2SS4xl.6-7x0.7=1800(m/s).

3

网311+)11(,x<(l1))'若小)=/(»的零点个数为3'则实数〃的取值范围为()

8.已知函数/(》)=•

A.[0,2]B.(2,+8)C.(O,+8)D.(1,2]

【答案】D

【解析】令尸(x)=0,得到/(x)=。，令V=a,因为/(x)=/(x)-。的零点个数为3,

则j，=a与尸/⑴的图象有3个交点，

当时，/(x)=3i+l,易知/(“在区间(一8』上单调递增，又x=l时，/⑴=2,且3、T>0,所以当

xwi时，I</(x)<2,

当工>1时，/(x)=|ln(x—l)卜作出y=/(力的图象，其图象如图所示,

inIx1),1<xv，

由图知，

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二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部

选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

O'_1

9.函数/"）=寸的图象（）

A.关于原点对称B.关于歹轴对称

C.在R上单调递增D.在R上单调递减

【答案】AC

【解析】因为函数=M的定义域为R,定义域关于原点对称，

又〃X）=*3T,

所以=3r-3+、）=—（3、-3）=-f（x）,

所以函数/"）为奇函数，图象关于原点对称，故A正确，B错误；

因为函数和函数j，=-3-x在R上均为增函数，

所以“X）在R上单调递增，故C正确，D错误.

10.已知函数/（%）=1暇（/+8工+4）定义域为R,则。的值可能为（）

A.5B.0C.8D.6

【答案】ACD

【解析】因为函数〃切=1吗（尔+8x+4）定义域为R,

所以a/+8x+4>0对人匕R恒成立，

若a=0,则8x+4>0对xeR不恒成立，故a=0不符合题意：

67>0

若心。'则八4<。’陶导八%

所以。的取值范围为（4,+8）.

11.利用eml算子以及常数1可以组合出四则运算与一切初等函数.已知eml（x/）=d-1中，设

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F(x)=cml(x,l)=e\L(x)=eml(l,eml(eml(l,A-),l))=lnr.对于使得下列等式两边均有意义的实数x,九

始终成立的有()

A.x-y=eml(“x),E(y))B.9=E(eml(L(x)M)

C.?=E(eml(L(L(x)),y))D.x=eml(cml(l,cml(.r,1)),1)

【答案】AC

【解析】选项A,由题意知右式为cml(lnx,e,),展开得e®'-Ine"化简得工一八

即左式等于右式，故A正确：

选项B,右式为E(cml(lnx,y)),展开得E(*-Iny),即E(x-1吻，化简得小町，

UP-,不一定等于左式孙，故B错误；

y

选项C,右式为£(eml(ln(lnx),y)),展开得后卜同叫Iny),即E(lnx\ny),化简得即一明

即》即左式等于右式，故C正确；

选项D,右式中最内层eml(x,l)等于e'-Ini即e'，中间层)等于3-Ine”,

即e-x,则最外层等于eml(e-x,l),展开得e--lnl,即e1,不一定等于左式0故D错误.

第二部分(非选择题共92分)

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.计算：27：+(；尸+榜2一2怆3=____________.

310

【答案】17

【解析】原式为273+(；)-2+棺蒋_21g3,

其中27：=(3)：=3*=3?=9'(；)=3?=9，

'9]

21g3=lg(32)=lg9,lg^-lg9=lg3=lgj^-=-l,

/

1Q

2

即273+(l)-+lg-L-21g3=9+9+(-l)=17.

13.已知函数/(xblogaCx+l)-!―在区间[〃,〃+"(w€Z)内存在零点，则〃=.

【答案】2

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【解析】〃X)=10g3(X+l)-击-1在定义域上为增函数，

且f(2)=-；<0,/(3)=log34-^=l(4Iog34-5)=l(41og34-51og53)=1(log3256-51og3243)>0,

所以函数唯一的零点在［2,3］内，即〃=2.

2^7Y|x<0

14.已知函数/、八在R上有最小值，则。的取值范围是

e4-ln(x+l),x>0-------

【答案】(r,0)=［l,+8)

【解析】因为y=e',y=ln(x+l)在［0,”)上都是增函数，

所以函数/")在［0,+8)上是增函数，

所以当工“时,/(x)>/(O)=l,

当工<0时，/(x)=x2-2ax+a=+a-a~,

若aNO,则xvO时，/(x)>«,

要使/(x)在R上有最小值，则。与；

若a<0,则x<0时，/(x)>f(G)=a-cT=-^6f—廿,而一("；)+；<1

此时/(力在R上有最小值，符合题意,

综匕所述〃的取值范围是(-8,0)31,+8).

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15.(13分)

(1)计算：64;(兀-2)°+(-8产+16-。以

(2)计算：log264+lgV2+lg\/5.

12

(3)已知2。=3〃=18,求一+二的值.

ab

【解析】⑴645-(?c-2)04-(-8p+16-0,75=(43户-1+((一2)3#+(2，尸

,1127

=4-1+(-2尸+=3+-+-=—.

4oo

6

(2)log,64+lgV2+lgV5=log22+lgVlO=6+1=^.

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(3)由2"=18得«=logJ8,-=log182；

由3"=18得/?=logJ8,-^=2log183=log189,

b

12

故一+£=咽82+噢]89=噫818=1.

ab

16.(15分)

己知函数;log,j—,

(I)求函数/(X)的定义域：

(2)判断函数/(x)的奇偶性，并说明理由；

(3)求函数/(x)的单调区间.

【解析】(1)令二>0,等价于(l—x)(l+x)>0,解得

所以函数/(X)的定义域为

(2)函数/(x)为奇函数，理由如下：

因为函数/(')的定义域为(TJ)，

且/(X)+/(-X)=log2户+log,产=log,1=0,即/(X)=-/(T),

所以函数/(X)为奇函数.

l-x(2、

(3)由题意可得：/(x)=log2"；-=log-----1,

1+x\2\+xJ

2

因为y=log”,在定义域内单调递增，且〃=市-1在区间内单调递减，

则函数/(X)在定义域(-1,1)内单调递减，

所以函数/(》)的单调递减区间为,无单调递增区间.

17.(15分)

已知函数/'(.丫)=三土^为奇函数.

3+1

(1)求实数。的值；

(2)设函数g(x)=log3；Jog3]+m，若对任意的阳w[3,27],总存在.q40,1],使得g(xj“(.q)成立,

求实数机的取值范围；

(3)解关于x的不等式

【解析】(1)因为/")是奇函数，定义域为R,由奇函数性质"0)=0,

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代入得/(0)=含=手=0=>，=一1，

，I1X(

T*-11一个

验证可得/(-x)=^~L=L_L=—/(X),满足奇函数定义，故“二7.

3+11+3

2”一17

(2)已知/(刈=17g=1—品，可知/(x)是R上的增函数.

当X?e[0,1]时，f(x2)的最小值为/(0)=0.

对任意X€[3,27],存在X?€[0,1]使8&)“(》2),

等价Jg(x)在[3,27]上的最小值大「等「/(X)在[0J上的最小值0.

令/=1og3；v,xe[3,27]=>/qi,3],则log3；=Z—l,log3^=r-2,

g(x)=(/-l)(r-2)+/w=r-3/4-2+w?,是开口向上的二次函数，对称轴/='|w[l,3],

则最小值为gmin-f|)-3-|+2+7//-W-^-,

令〃?一?2o=〃此，，即实数〃？的取值范围为R,+00].

44L4)

(3)由(1)知，/(x)是定义域为R的奇函数，得。=-1,因此/(力=白|.

将/(x)<E代入得手</，已知对任意xwR,都有3'+1>0，

不等式两边同乘正数3、+1，整理得(17)・3'<1+乙对系数1-f分类讨论：

①年1：若，=1,不等式变为0<2,恒成立；

若r>l,1-/<0,不等式变形为3、此时右边手<0,而3'>0恒成立，不等式恒成立.

\-t\-t

因此，当INI时，解集为R.

②Y-1：此时不等式变形为3、<二，由于1+Y0,

\-t

因此右边二40,而3K>0恒成立，不等式无解

1-/

因此，当区-1时，解集为空集0.

③-1々<1：此时1T>0,不等式变形为3、<二，此时弃>0,

\-t\-t

对不等式两边以3为底取对数得x<logs手.

因此，当T<Z<1时，解集为(7,1。氏手.

k1一〃

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综上，当出1时，解集为R：当芯-1时，解集为空集0；当时，解集为(7,1。上卢.

kIT)

18.(17分)

已知函数/(力=1。82(4'+1)-，城是偶函数.

(1)求实数用的值；

(2)若函数g(x)=/(x)f-。存在零点，求实数。的取值范用：

(3)设函数Mx)=log2,2-若函数/(x)与〃(x)的图象有且只有一个公共点，求实数6的取值范

围.

【解析】(1)因为是偶函数，所以/(-x)=/(x)对任意xeR恒成立，

v

即log,(4-x+l)+mx=log2(4+l)-wx,

因为log?4、+nix=log,(4v+1)-mx,

艮|J-2x+mx=-mx,

所以2〃氏=2x对任意xeR恒成立，

解得机=1：

v

(2)由(1)得:/(x)=log:(4+l)-x,

所以g(x)=log2(4'+l)-2…，

因为函数黑外存在零点，所以1唱(4r+l)-2x-«=0,

即方程]og«+])_2x=a有解,

,、4、+1(1A

4,(p(x)=log,(4'+1)-2x=log,——=log21+—,

4\47

因为xeR,所以1+3■的取值范围为(L+00),

则9(叼=唳2(1+/)的值域为(0,+8),故实数a的取值范围是(0,”)：

(3)函数/(x)与力(x)的图象有且只有一个公共点，

即方程1。&(4'+1)7=1呜b-2x--有且只有一个解，

化简得：log22'+£)=bg2(.2'-g/

14

即2，+了=62-鼠

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令，=2'(/>0),则方程可化为(l-b)J+g/+l=O,且方程有且只有一个正根，

4

①当1-6=0,即6=1时,方程可化为蜡+1=0,

解得f=不合题意，舍去；

②当1-/)工0时，则方程为关于，的一元二次方程.

(i)若方程有两个相等的正根，

则由△=(g)—4(l—b)xl=0,解得6=g,

此时方程为+1力+9=0,方程的根为/=-■!<(),不合题意，舍去，

(ii)若方程有一个正根和一个负根，

则由△>()且Jy<0,解得

1-b

综上所述，实数力的取值范围是倒分>1}.

19.(17分)

对于定义域在R上的函数》=/(%)，定义g(X)=/3-/(0).设区间I=(-8,0)D(0,+8),对于区间/

上的任意给定的两个自变量的值内、马,当用<七时，总有gGJwgU)，则称g(x)是/⑺的"函数”.

⑴求证：函数歹=-2、不存在“r函数”，请说明理由；

(2)若非常值函数y=s("，xtR是奇函数，求证：y=s(x)存在“T函数”的充要条件是存在常数%,

使得S(x)二人;

(3)若函数/。)=用2-99%与函数/7(x)=-s2r+x的定义域都为R,且均存在“r函数”，求实数用的

值.

/(¥)/(0)

【解析】(1)由题意，/*)=-2"则/(0)=-匕因此：8(x)=--=(x±0).

XX

i

取$=-2<%=-1计算得：(_2)=工=_3,g(_