2026年六年级下册奥数培优讲义：最佳策略问题（知识梳理+例题讲解+提升练习）原卷版+解析

专题49最佳策略问题

I知识点梳理I

一、基本概念

最佳策略问题是指在特定规则下，通过分析所有可能的操作路径，选择最优方案以达成预设目

标（如获胜、利益最大化、成本最小化等）的数学问题。核心逻辑：基于问题规则和目标，通

过逆向推理、对称模仿、极端分析等方法，排除劣势策略，确定唯一或最优操作步骤。关键点：

明确游戏规则（操作限制、胜负条件）、识别关键决策点（影响结果的核心步骤）、利用对称或

周期性简化问题。

二、核心要素（必知）

1.游戏规则：问题设定的操作限制（如每次取物数量范围、移动步数限制）、胜负判定条件（如

取到最后一个物品获胜/失败、先达到目标者胜）。

A例：“两人轮流取石子，每次取1-3颗，取到最后一颗者胜”中，规则为“取卜3颗”“取最后

一颗胜

2.目标：明确策略目标（赢取游戏、使时间最短、费用最低等），目标不同策略方向可能相反。

►例：“取到最后一颗获胜”需控制最后一次取物，”取到最后一颗失败”则需迫使对方取最后一

颗。

3.决策点：影响结果的关键步骤（如剩余物品数量、当前操作次数），需通过分析确定每个决

策点的最优选择。

A例：取物游戏中，“剩余4颗石子”是关键决策点，此时若对方取1颗，自己取3颗即可获

胜。

4.限制条件：操作次数限制（如“最多操作3次”）、资源约束（如“时间不超过10分钟”）、对抗

性（如双人游戏中对方的最优应对）。

三、常见题型分类

1.取物游戏（双人对抗）

两人轮流从物品堆中取物，每次取物数量有范围限制，规定取到最后一个物品者胜（或负）。

a例：”有20颗石子，两人轮流取，每次取1・3颗，取到最后一颗者胜，如何确保获胜？”

2.报数游戏（双人对抗）

两人轮流报数，每次报数范围固定（如1-2个数），先报到指定数者胜。

►例：“从1开始报数，每次报1或2个数，先报到20者胜，最优策略是什么？”

3.统筹规划（单人优化）

通过合理安排步骤使时间最短、费用最低或效率最高。

►例：“小明煎3个饼，每次煎2个，每面需2分钟，最少需儿分钟？”

4.对策问题（多方案选择）

面对多种可能的对方策略，选择使己方利益最大或损失最小的方案。

►例：“两人猜拳，出石头、剪刀、布，赢了得2分，输了扣1分，平局。分，如何选择出拳

策略使得分最高？”

四、核心解题方法（必会）

I.倒推法（取物/报数游戏核心）

从目标结果反向推导，确定每个关键剩余量时的最优操作。

►原理：若“取到最后一颗获胜”，需确保留给对方的数量为（每次取数上限+1）的倍数。

►例：每次取1-3颗，关键剩余量为4的倍数（1+3=4）,对方取n颗，自己取4-n颗，即可控

制节奏。

2.对称法（模仿策略）

当双方操作对称时，通过模仿对方操作保持平衡，使自己处于不败地位。

►例：两堆石子数量相同，对方从一堆取n颗，自己从另一堆取n颗，最终必能取到最后一

颗。

3.极端假设法（统筹规划）

假女所有资源集中使用或按极端情况分配，再调整优化。

A例：“多任务时间最短”，优先安排耗时最长的任务，避免空闲等待。

4.分类讨论法（复杂对策）

列出所有可能的对方策略，计算己方每种应对的结果，选择最优方案。

►例：对方可能出石头、剪刀、布，分别计算己方出每种的得分期望，选择期望最高的。

五、解题步骤（万能模板）

1.分析规则：明确操作限制（如取数范围、报数规则）、胜负条件（胜/负/优化目标）、对抗性

（单人/双人）。

2.确定目标：明确要达成的结果（如“确保获胜”“时间最短”），目标不同策略方向不同。

3.找关键量：通过倒推或对称分析，确定关键剩余量（如取物游戏中的“制胜点”）或关键步骤

（如统筹中的“瓶颈任务

4.制定策略：基于关键量，设计具体操作步骤（如“每次取n颗使剩余量为4的倍数”“优先处理

耗时最长的任务

5.验证优化：模拟操作过程，检查策略是否在所有可能情况下有效，调整漏洞（如对方不按常

规操作时的应对）。

［例题讲解i

\ar■—arr_T_TTar—-r_—ar—r■ar—rar■■3JTarjr_B-_TT_rrn"・■■■rr-TTJT-JT*—jinjrjffTT_T，-arTTJT\TLIT—_IarTTJT*arJI

一、基础题（取物游戏：获胜策略）

例1：有16颗糖果，甲乙两人轮流取，每次取1-2颗，取到最后一颗糖果者胜。若甲先取，甲

如何确保获胜？

解题步骤：

1.分析规则：双人对抗，每次取1-2颗，取最后一颗胜，甲先取。

2.确定目标：甲需取到最后一颗，即最后一次取时剩余1・2颗。

3.找关键量：倒推制胜点。每次取1-2颗，制胜点为（1+2）=3的倍数（3,6,9,12,15）。甲需取

后剩余15颗（3x5）,因此第一次取1颗（16-1=15）。

4.制定策略：甲先取1颗，之后乙取n颗（1或2）,甲取3-n颗，保持剩余量为3的倍数。

5.验证：甲取1一剩15；乙取1一甲取2（剩12）；乙取2一甲取1（剩12）；…最后剩3颗，

乙取1甲取2,乙取2甲取1,甲胜。

答案：甲先取1颗，之后每次取（3-乙取的颗数），即可获胜。

跟踪练习1：有20颗石子，两人轮流取，每次取1-4颗，取到最后一颗胜，先取者如何确保获

胜？（提示：制胜点为5的倍数，20是5的倍数，先取者需取0颗？不对，20颗时先取者取

20mod5=0,此时后取者胜；若总数21,先取1颗，乘U20,之后取5-n颗）

二、进阶题（统筹规划：时间最短）

例2：妈妈做早餐，需完成任务：熬粥（20分钟）、煎鸡蛋（5分钟）、热牛奶（3分钟）、烤面

包（2分钟）。所有任务需亲手完成，最少需几分钟？

解题步骤：

1.分析规则：单人操作，任务可并行，目标时间最短。

2.确定目标：利用长耗时任务时间做短任务，减少总时间。

3.找关键任务：熬粥耗时最长（20分钟），可在熬粥期间做其他任务。

4.制定策略：先熬粥（20分钟），期间依次煎鸡蛋（5）、热牛奶（3）、烤面包（2）,总时间二

熬粥时间二20分钟。

5.验证：20分钟内完成所有任务，无冲突。

答案：20分钟。

跟踪练习2：小明沏茶，洗水壶1分钟，烧开水15分钟，洗茶杯2分钟，拿茶叶1分钟，沏

茶1分钟，最少需几分钟？〔提示：洗水壶（1）一烧产水（15,同时洗茶杯、拿茶叶）一沏

茶（1）,总1+15+1=17分钟）

三、挑战题（报数游戏：逆向推理）

例3：两人从1开始轮流报数，每次可报1个或2个数，谁先报到30谁胜。若甲先报，甲如

何确保获胜？

解题步骤：

1.分析规则：轮流报数，每次1或2个数，报到3（）胜，甲先报。

2.确定目标:甲需报到30,倒推制胜点:30T27T24T...T（每轮报数和为3）。

3.制定策略：甲先报2个数（1-2）,之后乙报n个数（1或2）,甲报37个数，确保每轮共报

3人数。

4.验证：甲报1-2（到2）,乙报3T甲报4-5（到5）；乙报3-4一甲报5（到5）；…最后甲报29-30,

获胜。

答案：甲先报1、2,之后乙报n个数，甲报3-n个数，即可报到30获胜。

跟踪练习3：两人从1开始报数，每次报1-3个数，先报到40胜，先报者如何获胜？（提示:

制胜点为4的倍数，40是4的倍数，先报者报0个数不可能，应先报40mod4=0,此时后取

者胜；若总数41,先报1颗，剩40,之后报4-n颗）

「提升练习］

1.黑板上写有自然数2到20,甲乙轮流擦去一个，剩下两个数时，若这两个数互质，则甲胜;

若这两个数不互质，则乙胜。如果甲先擦，那么甲能保证获胜吗？如能，请给出一种获胜策略;

如不能，请说明理由。

2.春节期间，家家都备有糖果，快跟爸爸妈妈玩一玩这个游戏吧：有15颗糖果，你和妈妈（或

爸釜）两人轮流取走，每次只能取1颗或2颗，谁取到最后一颗谁就赢。试想：要确保自己获

胜，你是先取还是后取？怎样取？

3.桌子上有15个排成一排的硬币，正面朝上。甲、乙两人轮流进行操作，每次操作可以选择

翻转连续的1个、2个、3个或4个硬币（翻转是指将正面朝上的硬币变为反面朝上，或将反

面朝上的硬币变为正面朝上）。规定：谁操作后使得所有硬币都变为反面朝上，谁就获胜。甲

先手，问：甲是否有必胜策略？如果有，请说明理由。

4.下图标出了希望小学一楼教室的位置和每个教室内现有桌椅的套数，要把每个教室的桌椅

套数调到一样多，怎样调整最简便？

2?272030

5.黑板上写有1993个数：2,3,4,…，1994.甲、乙二人轮流擦去黑板上的一个数（甲先擦，

乙后擦），如果最后剩下的两个数互质，则甲胜，否则乙胜。问：谁必获胜？必胜的对策是什

么？

6.甲、乙两人轮流往5x5的棋盘格子里放旗子，规定每个格子只能放一枚棋子，且每人每次

只能放一枚，放下的棋子不能再移动，一直放到棋盘满为止，谁能最后一枚谁就赢。如果甲想

赢，是先放还是后放？放哪个格？以后怎样放？

7.5x1（）的方格棋盘上，黑白两方，各居对角线的一角，轮流走棋。规定：每次只能沿沿横（或

竖）线至少移动一步，但不许与对方棋子同在一条直线上，也不许超越对方棋子占据的两条直

线。最终谁无路可走为输。问谁可获胜？取胜策略如何？

Z

甲

8.有一只小猴子在深山中发现了一片野香蕉园，它一共摘了300根香蕉，然后要走1000米才

能到家，如果它每次最多只能背100根香蕉，并且它每走10米就要吃掉一根香蕉，那么，它

最多可以把（）根香蕉带回家？

9.有两堆火柴，一堆3根，另一堆7根。甲、乙两人轮流取火柴，每次可以从每一堆中取任

意根火柴，也可以同时从两堆中取相同数目的火柴。每次至少要取走一根火柴。谁取得最后一

根火柴谁胜。如果都采用最佳方法，甲先取，那么谁将获胜？

10.桌子上放着50根火柴，甲、乙二人轮流每次取走1〜3根。规定谁取走最后一根火柴谁获

胜。如果双方采用最佳方法，甲先取，那么谁将获胜？

11.1111个空格排成一行，最左端空格中放有一枚棋子，甲先乙后轮流向右移动棋子，每次移

动1〜7个格。规定将棋子移到最后一格者输。甲为了获胜，第一步必须向右移多少格？

12.学校有一个长8()米、宽64米的长方形大院，同学们计划用31.4米长的木栅栏围一块地

作为劳动实践基地，请你设计一个方案，使基地的面积尽可能大些.

13.甲、乙两人轮流往一个圆桌面上放同样大小的硬币.规则是：每人每次只能放一枚，硬币

不许重叠，谁放完最后一枚硬币而使对方再也无处可放，谁就获胜.如果甲先放，那么他怎样

放才能取胜？

.0

14.桌上有一块金帝牌巧克力，它被直线划分为排成3行7列的21个小方块.现在让你和对

手进行一种两人轮流切巧克力的游戏，规则如下：①每次只许沿一条直线把巧克力切成两块;

②拿走其中一块，把另一块留给对手再切：③谁能留给对手恰好是一个小方块，谁就取胜.如

果请你首先切巧克力，那么你第一次应该切走多少个小方块，才能使你最后获胜？

15.甲和乙两人做数学游戏：在黑板上写一个自然数，轮到谁走时，谁就从该自然数中减去它

的某个非零数字，并用所得的差替换原数.两人轮流走，谁所得到的数是零，就算谁赢.如果

开始在黑板上写着数1994,并且甲先走，问谁有必胜策略？

16.北京和上海分别制成同样型号的车床1()台和6台，这些车床准备分配给武汉11台、西安

5台，每台车床的运费如下图所示，单位为百元.那么总运费最少是多少元？

17.某车队有4辆汽车，担负A,B,C,D,E,F这6个分厂的运输任务，下图标出了各分

厂所需的装卸工人数.若各分厂自派装卸工，则共需6+5+8+4+3+7=33人.现在让一部分人跟

车装卸，在需要装卸工人较多的分厂再配备装卸工，那么最少需要装卸工人多少名？

18.甲、乙两人轮流报数，每人都只能报2、3、5、7中的一个，把两人报的数累加.如果某

个人报完数后，累加的和第一次为三位数，那么这个人就获胜.请问：谁有必胜策略？

19.如图，五角星上共有10个交点和15条小线段.甲首先将一枚棋子放在A点上，并由此

出发沿某条小线段将棋子移到相邻的一个交点上，之后乙再将棋子沿某条小线段移到下一个相

邻的交点上，之后甲再走，…，如此下去.如果要求每条小线段都不能重复经过，并且轮到某

人无路可走时便判其失败，那么甲是否有必胜策略？

20,有十个村，坐落大县城出发的一条公路上（如下图所示，距离单位是千米），要安装水管，

从县城送自来水供给各村，可以用粗细两种水管，粗管足够供应所有各村用水，细管只能供

一个村用水，粗管每千米要用8000元，细管每千米要用2000元，把粗管和细管适当搭配、互

相连接，可以降低工程的总费用，按你认为最节约的办法，费用应是多少？

03。,52423.222.5.

县城

专题49最佳策略问题

知识点梳理

一、基本概念

最佳策略问题是指在特定规则下，通过分析所有可能的操作路径，选择最优方案以达成预设目

标（如获胜、利益最大化、成本最小化等）的数学问题。核心逻辑：基于问题规则和目标，通

过逆向推理、对称模仿、极端分析等方法，排除劣势策略，确定唯一或最优操作步骤。关键点：

明确游戏规则（操作限制、胜负条件）、识别关键决策点（影响结果的核心步骤）、利用对称或

周期性简化问题。

二、核心要素（必知）

1.游戏规则：问题设定的操作限制（如每次取物数量范围、移动步数限制）、胜负判定条件（如

取到最后一个物品获胜/失败、先达到目标者胜）。

►例：“两人轮流取石子，每次取1-3颗，取到最后一颗者胜''中，规则为“取1-3颗”“取最后

一颗胜”。

2.目标：明确策略目标（赢取游戏、使时间最短、费用最低等），目标不同策略方向可能相反。

►例：“取到最后一颗获胜”需控制最后一次取物，“取到最后一颗失败”则需迫使对方取最后一

颗。

3.决策点：影响结果的关键步骤（如剩余物品数量、当前操作次数），需通过分析确定每个决

策点的最优选择。

►例：取物游戏中，“剩余4颗石子”是关键决策点，此时若对方取1颗，自己取3颗即可获

胜。

4.限制条件：操作次数限制（如“最多操作3次”）、资源约束（如“时间不超过1（）分钟"）、对抗

性（如双人游戏中对方的最优应对）。

三、常见题型分类

1.取物游戏（双人对抗）

两人轮流从物品堆中取物，每次取物数量有范围限制，规定取到最后一个物品者胜（或负）。

a例：“有20颗石子，两人轮流取，每次取1-3颗，取到最后一颗者胜，如何确保获胜？”

2.报数游戏（双人对抗）

两人轮流报数，每次报数范围固定（如1-2个数），先报到指定数者胜。

►例：“从1开始报数，每次报1或2个数，先报到20者胜，最优策略是什么？”

3.统筹规划（单人优化）

通过合理安排步骤使时间最短、费用最低或效率最高。

►例：“小明煎3个饼，每次煎2个，每面需2分钟，最少需儿分钟？”

4.对策问题（多方案选择）

面对多种可能的对方策略，选择使己方利益最大或损失最小的方案。

►例：“两人猜拳，出石头、剪刀、布，赢了得2分，输了扣1分，平局。分，如何选择出拳

策略使得分最高？”

四、核心解题方法（必会）

I.倒推法（取物/报数游戏核心）

从目标结果反向推导，确定每个关键剩余量时的最优操作。

►原理：若“取到最后一颗获胜”，需确保留给对方的数量为（每次取数上限+1）的倍数。

►例：每次取1-3颗，关键剩余量为4的倍数（1+3=4）,对方取n颗，自己取4-n颗，即可控

制节奏。

2.对称法（模仿策略）

当双方操作对称时，通过模仿对方操作保持平衡，使自己处于不败地位。

►例：两堆石子数量相同，对方从一堆取n颗，自己从另一堆取n颗，最终必能取到最后一

颗。

3.极端假设法（统筹规划）

假女所有资源集中使用或按极端情况分配，再调整优化。

A例：“多任务时间最短”，优先安排耗时最长的任务，避免空闲等待。

4.分类讨论法（复杂对策）

列出所有可能的对方策略，计算己方每种应对的结果，选择最优方案。

►例：对方可能出石头、剪刀、布，分别计算己方出每种的得分期望，选择期望最高的。

五、解题步骤（万能模板）

1.分析规则：明确操作限制（如取数范围、报数规则）、胜负条件（胜/负/优化目标）、对抗性

（单人/双人）。

2.确定目标：明确要达成的结果（如“确保获胜”“时间最短”），目标不同策略方向不同。

3.找关键量：通过倒推或对称分析，确定关键剩余量（如取物游戏中的“制胜点”）或关键步骤

（如统筹中的“瓶颈任务

4.制定策略：基于关键量，设计具体操作步骤（如“每次取n颗使剩余量为4的倍数”“优先处理

耗时最长的任务

5.验证优化：模拟操作过程，检查策略是否在所有可能情况下有效，调整漏洞（如对方不按常

规操作时的应对）。

［例题讲解I

\ar■—arr_T_TTar—-r_—ar—r■ar—rar■■3JTarjr_B-_TT_rrn"・■■■rr-TTJT-JT*—jinjrjffTT_T，-arTTJT\TLIT—_IarTTJT*arJI

一、基础题（取物游戏：获胜策略）

例1：有16颗糖果，甲乙两人轮流取，每次取1-2颗，取到最后一颗糖果者胜。若甲先取，甲

如何确保获胜？

解题步骤：

1.分析规则：双人对抗，每次取1-2颗，取最后一颗胜，甲先取。

2.确定目标：甲需取到最后一颗，即最后一次取时剩余1・2颗。

3.找关键量：倒推制胜点。每次取1-2颗，制胜点为（1+2）=3的倍数（3,6,9,12,15）。甲需取

后剩余15颗（3x5）,因此第一次取1颗（16-1=15）。

4.制定策略：甲先取1颗，之后乙取n颗（1或2）,甲取3-n颗，保持剩余量为3的倍数。

5.验证：甲取1一剩15；乙取1一甲取2（剩12）；乙取2一甲取1（剩12）；…最后剩3颗，

乙取1甲取2,乙取2甲取1,甲胜。

答案：甲先取1颗，之后每次取（3-乙取的颗数），即可获胜。

跟踪练习1：有20颗石子，两人轮流取，每次取1-4颗，取到最后一颗胜，先取者如何确保获

胜？（提示：制胜点为5的倍数，20是5的倍数，先取者需取0颗？不对，20颗时先取者取

20mod5=0,此时后取者胜；若总数21,先取1颗，乘U20,之后取5-n颗）

二、进阶题（统筹规划：时间最短）

例2：妈妈做早餐，需完成任务：熬粥（20分钟）、煎鸡蛋（5分钟）、热牛奶（3分钟）、烤面

包（2分钟）。所有任务需亲手完成，最少需几分钟？

解题步骤：

1.分析规则：单人操作，任务可并行，目标时间最短。

2.确定目标：利用长耗时任务时间做短任务，减少总时间。

3.找关键任务：熬粥耗时最长（20分钟），可在熬粥期间做其他任务。

4.制定策略：先熬粥（20分钟），期间依次煎鸡蛋（5）、热牛奶（3）、烤面包（2）,总时间二

熬粥时间二20分钟。

5.验证：20分钟内完成所有任务，无冲突。

答案：20分钟。

跟踪练习2：小明沏茶，洗水壶1分钟，烧开水15分钟，洗茶杯2分钟，拿茶叶1分钟，沏

茶1分钟，最少需几分钟？〔提示：洗水壶（1）一烧产水（15,同时洗茶杯、拿茶叶）一沏

茶（1）,总1+15+1=17分钟）

三、挑战题（报数游戏：逆向推理）

例3：两人从1开始轮流报数，每次可报1个或2个数，谁先报到30谁胜。若甲先报，甲如

何确保获胜？

解题步骤：

1.分析规则：轮流报数，每次1或2个数，报到3（）胜，甲先报。

2.确定目标:甲需报到30,倒推制胜点:30T27T24T...T（每轮报数和为3）。

3.制定策略：甲先报2个数（1-2）,之后乙报n个数（1或2）,甲报37个数，确保每轮共报

3人数。

4.验证：甲报1-2（到2）,乙报3T甲报4-5（到5）；乙报3-4一甲报5（到5）；…最后甲报29-30,

获胜。

答案：甲先报1、2,之后乙报n个数，甲报3-n个数，即可报到30获胜。

跟踪练习3：两人从1开始报数，每次报1-3个数，先报到40胜，先报者如何获胜？（提示:

制胜点为4的倍数，40是4的倍数，先报者报0个数不可能，应先报40mod4=0,此时后取

者胜；若总数41,先报1颗，剩40,之后报4-n颗）

i提升练习1

1.黑板上写有自然数2到20,甲乙轮流擦去一个，剩下两个数时，若这两个数互质，则甲胜;

若这两个数不互质，则乙胜。如果甲先擦，那么甲能保证获胜吗？如能，请给出一种获胜策略;

如不能，请说明理由。

【答案】甲能保证取胜，具体策略见详解。

【分析】自然数2到2（）是连续的自然数，共19个数，其中偶数1（）个，奇数9个。根据两个

相邻的自然数一定互质，因此甲先擦去一个偶数，剩余的数按相邻位置两两配对擦去即可。

【洋解】甲先擦，有保证取胜的策略。具体策略如下：

甲先擦去20,然后配对{2,3},{4,5},{6,7},{8,9},{10,11},{12,13},{14,15）,

{16,17},{18,19）；

乙擦去任何一对中的一个数，甲擦去该对中另一个数，余下的两个数必然属于同一配对组，因

此互质，甲胜。（答案不唯一）。

【点睛】本题是一个博弈问题，关键在于学生能理解互质的性质并运用到实际解题中，解题时

需注意配对方式的合理性。

2.春节期间，家家都备有糖果，快跟爸爸妈妈玩一玩这个游戏吧：有15颗糖果，你和妈妈（或

爸爸）两人轮流取走，每次只能取1颗或2颗，谁取到最后一颗谁就赢。试想：要确保自己获

胜，你是先取还是后取？怎样取？

【答案】让妈妈（或爸爸）先取，自己后取。因为15是3的倍数，采用凑三的方法来取。先

取的人不管取1颗还是2颗，只要保证每组中后取的颗数与先取的颗数之和为3颗就行。

【分析】15是3的倍数，所以对方先取，保证每次两人一共取的数是3的倍数即可。

【详解】让妈妈（或爸爸）先取，自己后取。因为15是3的倍数，采用凑三的方法来取。先

取的人不管取1颗还是2颗，只要保证每组中后取的颗数与先取的颗数之和为3颗就行。

【点睛】对方先取，保证每次两人一共取的数是3的倍数即可。

3.桌子上有15个排成一排的硬币，正面朝上。甲、乙两人轮流进行操作，每次操作可以选择

翻转连续的1个、2个、3个或4个硬币（翻转是指将正面朝上的硬币变为反面朝上，或将反

面朝上的硬币变为正面朝上）。规定：谁操作后使得所有硬币都变为反面朝上，谁就获胜。甲

先手，问：甲是否有必胜策略？如果有，请说明理由。

【答案】有；见详解

【分析工甲有必胜策略.甲先翻转中间的3个硬币，此时硬币的状态为：正面、正面、正面、

正面、正面、正面、反面、反面、反面、正面、正面、正面、正面、正面、正面。乙进行操作

后，甲再翻转与乙翻转硬币数量相同的硬币，且翻转的硬币与乙翻转的硬币关于中间的3个硬

币对称。由于硬币总数为15个，是奇数，且每次操作可以选择翻转连续的1个、2个、3个或

4人硬币，所以甲可以通过对称操作，保证每次操作后，硬币的状态都是关于中间的3个硬币

对称的。最后，当所有硬币都变为反面朝上时，甲获胜。

【洋解】答：甲有必胜策略。把15个硬币看成一组。甲先翻中间3个硬币，这时候硬币就有

了“对称”的样子（以这3个为中心，两边能对应上）。之后乙翻儿个（1个、2个、3个或者4

个）连续的硬币，甲就翻和乙翻的硬币“对称”位置的同样个数的硬币。因为硬币一共15个，

是奇数，中间位置固定，这样对称着翻，每一次甲都能跟着乙的操作，把硬币往全是反面的方

向变。最后肯定是甲能把所有硬币都翻成反面，甲就赢了。

【点睛】解题关键在于利用硬币总数的奇偶性，通过先操作中间硬币构建对称结构。以中间操

作的硬币为对称轴，让后续乙的操作与甲的操作在对称位置进行，确保甲能模仿乙每次的操作

个数，使整体变化保持对称，进而掌控局面，实现让所有硬币最终都变为反面朝上的目标。

4.下图标出了希望小学一楼教室的位置和每个教室内现有桌椅的套数，要把每个教室的桌椅

套数调到一样多，怎样调整最简便？

22282720

23

272030

【分析】先计算出一共有多少套桌椅，再除以10,得出每个班的桌椅的桃树，要使调整最方

便就是尽量靠近的班级的相互调整。

【洋角军】22+28+27+20+25+18+23+27+20+30=240（套）

240X0=24（套）

调整如下：

。

5.黑板上写有1993个数：2,3,4,1994.甲、乙二人轮流擦去黑板上的一个数（甲先擦,

乙后擦)，如果最后剩下的两个数互质，则甲胜，否则乙胜。问：谁必获胜？必胜的对策是什

么？

【答案】甲必胜；甲先擦去1994

【分析】依据题意，甲先擦去1994,剩下(1993—1)个数，有［(1993—1)：2］对，相邻两个

数组成一对，每对数都是互质的，无论乙擦去哪个数，甲都擦去与之互质的另一个数，由此解

答本题。

【详解】199.3-1=1992(个)

1992+2=996(对),甲先擦去1994,剩下1992个数，有996对:(2,3),(4,5)……(1992,

1993),相邻两个数组成一对，每对数都是互质的，无论乙擦去某对中的一个数，甲都擦去这

对数中的另一个，这样反复轮流擦，总是一对一对的擦，最后剩下的一对必互质，因此甲胜。

答：甲必胜，甲先擦去1994。

6.甲、乙两人轮流往5x5的棋盘格子里放旗子，规定每个格子只能放一枚棋子，且每人每次

只能放一枚，放下的棋子不能再移动，一直放到机盘满为止，谁能最后一枚谁就赢。如果甲想

赢，是先放还是后放？放哪个格？以后怎样放？

【答案】甲想赢，先放，先占据最中间的一格，创造一个对称状态，此后每次都和乙对称着放，

当放完最后一个棋子，乙已无处可放，于是获胜。

【分析】此题需用对称取胜法解决，对称取胜的关键是要能找到操作内容的对称状态，如果一

开始就是对称状态，则后操作的只要每次保持对称即能获胜，但如果一开始不对称，先操作首

先就要抓住机会先创造出对称状态，再在以后的操作中保持，就能获得胜利，本题中，先放的

人只要先占据最中间的一格，创造一个对称状态，此后每次都和对方对称着放，当放完最后一

个淇子，对手已无处可放，于是获胜。

【详解】甲想赢，先放，先占据最中间的一格，创造一个对称状态，此后每次都和乙对称着放，

当放完最后一个棋子，乙已无处可放，于是获胜。

7.5x10的方格棋盘上，黑白两方，各居对角线的一角，轮流走棋.规定：每次只能沿沿横（或

竖）线至少移动一步，但不许与对方棋子同在一条直线上，也不许超越对方棋子占据的两条直

线。最终谁无路可走为输。问谁可获胜？取胜策略如何？

乙L1一"一"""

甲

【答案】先走者可胜

【分析】先走者可胜，先走者先占据与对方占位点形成正方形的对角线的另一端点，之后，不

管对方如何移动，即可取胜。

【详解】先走者可胜，设先走者为甲，另一方为乙，甲先占据与对方占位点形成正方形的对角

线的另一端点，即甲的落棋点与乙占位点均在正方形对角的两段点，之后，不管乙如何移动,

甲总保持“双方均处于正方形对角线两端点”之态势，甲必获胜。

8.有一只小猴子在深山中发现了一片野香蕉园，它一共摘了30()根香蕉，然后要走1()0()米才

能到家，如果它每次最多只能背100根香蕉，并且它每走10米就要吃掉一根香蕉，那么，它

最多可以把()根香蕉带回家？

【答案】54

【分析［猴子每走10米就要吃掉一根香蕉，如果猴子背着100根香蕉直接回家，总共需要吃

掉100根，在到家的时候，猴子刚好吃完最后一根香蕉其他200根香蕉白白浪费了；所以我们

考虑让猴子适当地往返，在半路上储存一些香蕉。

【详解】猴子每次最多只能背100根香蕉，3()()根香蕉猴子必然要折返3次；

我们为猴子想到一个绝妙的主意：在半路上储存一部分香蕉；

猴子的路线：

储存点4储存点3

野

香

一

焦

园

X

这两个储存点A与3就是猴子放置香蕉的地方，怎么选呢？最好的情况是:

(一)当猴子第①③④次回去时，都能在这里拿到足够到野香蕉园的香蕉。

（二）当猴子第②④次到达储存点时，都能将之前路上消耗的香蕉补充好。（即身上还有100

个）

（三）8点同上。

X4的距离为10x,路上消耗九个香蕉。A3的距离为10）；,路上消耗y个香蕉。

猴子第一次到达A点，还有个香蕉，回去又要消耗x个，只能留下100-21个香蕉。

这（100-2x）个香蕉将为猴子补充②③④次路过时的消耗和需求，每次都是x个，贝ij

100-2x=3x=>x=20o=>X4=200米，猴子将在4留下60个香蕉。

那么当猴子②次到达A时，身上又有了100个香蕉，到⑤时还有100-y个,从⑤回③需要），个，

可在8留下（100-2），）个，用于⑥时补充从④到⑥的消耗y个。贝IJ：100-2尸丁=），=不-。

至此，猴子到家时所剩的香蕉为：300-4x-2），-岩1000=5311

2

因为猴子每走10米才吃一个香蕉，走到家时最后一个10米才走了所以还没有吃香蕉，应

该还剩下54根香蕉。

【点睛】本题考查的是最优方案的问题，这里可以转化成行程问题来求解。

9.有两堆火柴，一堆3根，另一堆7根。甲、乙两人轮流取火柴，每次可以从每一堆中取任

意艰火柴，也可以同时从两堆中取相同数目的火柴。每次至少要取走一根火柴。谁取得最后一

根火柴谁胜。如果都采用最佳方法，甲先取，那么谁将获胜？

【答案】甲必胜

【分析】既然规定谁取得最后一根火柴谁胜，那么可以先假设甲获胜，然后采用逆推法分析,

求出每一次取，剩下的火柴可能是多少，最终倒推得到最初甲应该从那一堆里面取，该如何取。

【详解】假设甲获胜，甲最终将两堆火柴都变为（），简记（0,0）;因为甲至少取1根火柴，

所以甲取之前，即乙留给甲的两堆火柴最少的几种情况是（1,0）,（2,0）（1,1）；要想乙留

给甲上述情况，甲应该留给乙（1,2）；再往前逆推，当甲留给乙（3,5）时，无论乙怎样取，

甲都可以一次取完所有的火柴或留给乙（1,2）。所以甲先从7根火柴的一堆取出2根，留给

乙（3,5）,甲必胜。

答：甲会获胜。

【点睛】本题考查的是必胜策略的问题，既然都采取最佳策略，就要从最利于自己的角度来分

析问题。

10.桌子上放着50根火柴，甲、乙二人轮流每次取走1〜3根。规定谁取走最后一根火柴谁获

胜。如果双方采用最佳方法，甲先取，那么谁将获胜？

【答案】甲必胜

【分析】获胜方在最后一次取走最后一根；往前逆推，在倒数第二次取时，必须留给对方4

根，此时无论对方取1,2或3根，获胜方都可以取走最后一根；再往前逆推，获胜方要想留

给对方4根，在倒数第三次取时，必须留给对方8根……由此可知，获胜方只要每次留给对方

的都是4的倍数根，则必胜。

【详解】3+1=4（根）

50+4=12.......2

所以只要甲第一次取走2根，剩下48根火柴是4的倍数，以后甲总留给乙4的倍数根火柴，

甲必胜。

答：甲必胜。

【点睛】本题考查的是必胜策略的问题，对于题目给出了先手是甲，所以关键是考虑如何操作。

11.1111个空格排成一行，最左端空格中放有一枚棋子，甲先乙后轮流向右移动棋子，每次移

动1〜7个格。规定将棋子移到最后一格者输。甲为了获胜，第一步必须向右移多少格？

【答案】5格

【分析】一开始棋子己占一格，棋子的右面有1110个空格，由于每次移动1〜7个格，那么只

要甲始终留给乙8的倍数加1格，就可获胜。

【详解】1111-1=111()(个)

1+7=8

1109-8=138……5

所以甲第一步必须移5格，还剩下11()5格，11()5是8的倍数加1.以后无论以移几格，甲下次

移的格数与乙移的格数之和是8,甲就必胜。

答：第一步必须移5格。

【点睛】本题考查的是必胜策略的问题，对于必胜策略的问题，首先要判断先后手，然后判断

如何进行操作。

12.学校有一个长80米、宽64米的长方形大院，同学们计划用31.4米长的木栅栏围一块地

作为劳动实践基地，请你设计一个方案，使基地的面积尽可能大些.

【答案】面积为78.5平方米

【详解】试题分析：根据题意，周长相等的平面图形中圆的面积最大，可根据圆的周长公式计

算出这个圆的半径，然后再根据这个圆的面积公式进行计算即可得到答案.

解：圆的半径为:31.44-3.144-2

=10:2,

=5(米)，

圆的面积为：3.14x52=78.5(平方米)，

答：要使基地的面积最大可围成圆形，围成的面积为78.5平方米.

点评：此题主要考查的知识点是周长一定的图形中，圆的面积最大.

13.甲、乙两人轮流往一个圆桌面上放同样大小的硬币.规则是：每人每次只能放一枚，硬币

不许重叠，谁放完最后一枚硬币而使对方再也无处可放，谁就获胜.如果甲先放，那么他怎样

放才能取胜？

【答案】如果甲先放，他要把第一枚硬币放到圆桌面的圆心处，以后总在乙上次放的硬币的对

称点放置硬币，这样才能取胜.

【分析】我们用对称的思想来分析一下.圆是关于圆心对称的图形，若A是圆内除圆心外的

任意•点，则圆内•定有•点B与A关于圆心对称（见右图，其中AO=OB）.所以，圆内除

圆心外，任意一点都有一个（关于圆心的）对称点.由此可以想到，只要甲把第一枚硬币放在

圆京面的圆心处，以后无论乙将硬币放在何处，甲一定能找到与之对称的点放置硬币.也就是

说，只要乙能放，甲就一定能放.最后无处可放硬币的必是乙.

【详解】甲的获胜策略是：

如果甲先放，他要把第一枚硬币放到圆桌面的圆心处，以后总在乙上次放的硬币的对称点放置

硬币，这样才能取胜.

14,桌上有一块金帝牌巧克力，它被直线划分为排成3行7列的21个小方块.现在让你和对

手进行一种两人轮流切巧克力的游戏，规则如下：①每次只许沿一条直线把巧克力切成两块;

②拿走其中一块，把另一块留给对手再切；③谁能留给对手恰好是一个小方块，谁就取胜.如

果请你首先切巧克力，那么你第一次应该切走多少个小方块，才能使你最后获胜？

【答案】12个

【详解】若想给对手留下一个小方块，必使对手上一次留给自己一行或一列才行.

这样上一次留给对手的行数必为2.因为行或列大于2,对手就不一定会留下一行或一列，要

留给对手2行或2歹U，必须使对手上一次留下两行或两列且乂不能是两列两行的情况.

依次类推，每次留给对手行列数相等的巧克力是必胜策略.由此可知先取者有必胜策略，只要

他第一次取走3行4列的一块即12个小方块，之后按上述策略即可获胜.

15.甲和乙两人做数学游戏：在黑板上写一个自然数，轮到谁走时，谁就从该自然数中减去它

的某个非零数字，并用所得的差替换原数.两人轮流走，谁所得到的数是零，就算谁赢.如果

开始在黑板上写着数1994,并且甲先走，问谁有必胜策略？

【答案】甲

【洋解】获胜的人必使对方最后留下一个不为。的一位数.

那么前一次留给对方只能是10.

这又要求前一次留给对方的是11〜19中的某数.所以前再前一次留给对方的只能是20...........

依次可以看出每次留给对方末位数为0的必定胜出.

即必胜策略是每次减去黑板上数的个位数字即可.

现在黑板上原始数为1994,则甲开始减去4,留下1990给乙；于是乙留下的数字只能是1981〜

1989中的某个，甲对应的减去这个数的个位数字,留下1980给乙；……

16.北京和上海分别制成同样型号的车床10台和6台，这些车床准备分配给武汉11台、西安

5台，每台车床的运费如下图所示，单位为百元.那么总运费最少是多少元？

【答案】9700元

【详解】如果有一台车床从北京运往武汉，另一台运往西安，它们的总运费为1500元.交换

它们的终点，让北京的车床运往西安，上海的车床运往武汉，总运费为1300元.由此知北京

运往武汉及上海运往西安的方案必不是最佳.

北京运出的车床比西安需求的多，因此有车床是从北京运往武汉，从而知最佳方案为上海的车

床运往武汉，北京的车床5台运往武汉，5台运往西安，总运费为：

6x700+5x500+5x600=9700元.

17.某车队有4辆汽车，担负A,R,C,D,E,F这6个分厂的运输任务，下图标出了各分

厂所需的装卸工人数.若各分厂自派装卸工，则共需6+5+8+4+3+7=33人.现在让一部分人跟

车装卸，在需要装卸工人较多的分厂再配备装卸工，那么最少需要装卸工人多少名？

CD

【答案】26名

【详解】显然每个车上跟车工人数在3〜8之间.

需要工人数658437

每车跟车工人数ABCDEF车下工人数所有工人数