2025-2026学年河南省部分名校高一下学期6月期末数学试题-含解析

/数学一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若复数满足，则的虚部为（）A.1 B. C. D.2.已知是同一平面内不同的三点，且，若，则（）A. B. C.2 D.33.已知一组数据的极差为，则（）A.的最小值为1 B.的最小值为4C.的最大值为 D.的最大值为4.在正四面体A−BCD中，E，F，G分别为AB，，的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（）A. B. C. D.355.已知两个随机事件A，B相互独立，，则（）A.0.68 B.0.76 C.0.88 D.0.986.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，，则边上的中线长度的取值范围是（）A.1,3 B. C. D.7.已知球与正四棱锥的四条侧棱和底面均相切，若，则球的表面积为（）A. B. C. D.8.已知O是△ABC所在平面内一点，且，，△ABC的面积S满足，则（）A. B. C. D.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知向量，，则下列说法正确的是（）A. B.若，则C.若a⊥b，则 D.若，则10.已知a，b为异面直线，，为两个不同的平面，且，，则下列说法正确的是（）A.对于任意一点O，都存在过点O的平面与a，b都平行B.对于任意一点O，都存在过点O的直线与a，b都垂直C.若，，则D.若，则11.在长方体中，底面为正方形，AA1=4，，E，F分别为棱，的中点，设过点B,E,F的平面为，，则（）A.B.截长方体所得截面为五边形C.截长方体所得截面的周长不超过12D.与平面所成的锐二面角的正切值为5三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.某新能源科技公司研发团队共有36名成员，其中女性成员12人．现按比例采用分层随机抽样的方法抽取6人参加国际清洁能源峰会，则被选中的男性成员人数为__________．13.已知复数z满足，则的最小值为_____．14.若对任意的，都有，则称是完美集合．从集合的所有非空子集中任选1个，该集合不是完美集合的概率是__________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.如图，是圆O的直径，垂直于圆O所在的平面，C是圆周上一点，且，PA=8．（1）求证：BC⊥（2）求点A到平面的距离．16.在一个不透明的袋子中装有6个小球，其中有3个红球（分别标有数字1，2，3），2个黄球（分别标有数字1，2），1个白球（标有数字1）．现从袋中随机一次性摸出3个小球，记事件“3个小球的颜色均不相同”，B=“取出的小球上的数字分别为1，2，3”，C=（1）求PC（2）判断事件A，B是否相互独立，并说明理由．17.某市组织数学建模大赛，从参加比赛的名学生中随机抽取100名学生的成绩进行样本分析（满分为分，按照，，…，分成六组），并绘制成如图所示的频率分布直方图，其中a=2b．（1）求图中的值，并估计样本数据的众数；（同一组数据用该组区间的中点值作代表）（2）根据成绩，准备给成绩较高的的学生颁发一等奖，估计获得一等奖学生的最低分；（3）若落在中的样本数据的平均数是，方差是，落在中的样本数据的平均数是，方差是2，求落在中的样本数据的平均数和方差．18.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．（1）求C．（2）．（ⅰ）若△ABC的周长为，角C的平分线交于点D，求的长；（ⅱ）若△ABC为锐角三角形，，求的取值范围．19.如图，在四棱锥中，底面为梯形，，，，为等边三角形，，，．（1）求直线与平面所成角的正弦值．（2）若M为棱上一点，且平面，（ⅰ）试确定点M的位置；（ⅱ）求平面与平面所成锐二面角的正弦值．

数学一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若复数满足，则的虚部为（）A.1 B. C. D.答案：A解析：解答过程：因为，所以，则的虚部为1.2.已知是同一平面内不同的三点，且，若，则（）A. B. C.2 D.3答案：D解析：解答过程：已知，则，由于，因此.3.已知一组数据的极差为，则（）A.的最小值为1 B.的最小值为4C.的最大值为 D.的最大值为答案：C解析：解答过程：因为数据的极差为，且，所以的最大值为，最小值为3．4.在正四面体A−BCD中，E，F，G分别为AB，，的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（）A. B. C. D.35答案：B解析：思路：作出异面直线所成角，解三角形求得正确答案.解答过程：由于分别是AB,AC中点，所以EF可得∠BCG是异面直线与所成角（或其补角），设正四面体的边长为，则，，所以.5.已知两个随机事件A，B相互独立，，则（）A.0.68 B.0.76 C.0.88 D.0.98答案：C解析：解答过程：事件，相互独立，，，;.6.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，，则边上的中线长度的取值范围是（）A.1,3 B. C. D.答案：C解析：思路：先根据余弦定理用表示边上的中线，再根据单调性求解.解答过程：设边上的中点为M，连接，设，，则由余弦定理，，，而，所以，化简得：，即，解得：，即，又因为，所以，将，代入得：，关于单调递减，在△ABC中，，所以，，所以的取值范围是1,4.7.已知球与正四棱锥的四条侧棱和底面均相切，若，则球的表面积为（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：先确定球的球心在上，再根据三角形相似确定球的半径，即可确定所求球的表面积.解答过程：如图所示，为底面的中心，由图形的对称性可知球的球心在线段上，因，则，，在中，如图作于点M，设球的半径为R，则，，易得与相似，则，即，解得，因此，球的表面积为.8.已知O是△ABC所在平面内一点，且，，△ABC的面积S满足，则（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：先利用向量运算化简两个向量等式得，即点O是△ABC的外心，所以∠AOC=2∠ABC解答过程：因为，所以，即，所以，即，所以，故，因为，所以，即，所以，即，所以，故，所以，即点O是△ABC的外心，所以∠AOC因为，所以，所以，因为，所以，故.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知向量，，则下列说法正确的是（）A. B.若，则C.若a⊥b，则 D.若，则答案：ABC解析：解答过程：A选项，因为，所以，故A正确；B选项，若，则，得，故B正确；C选项，因为a⊥b，所以，得，故C正确；D选项，若，则，得，故D错误.10.已知a，b为异面直线，，为两个不同的平面，且，，则下列说法正确的是（）A.对于任意一点O，都存在过点O的平面与a，b都平行B.对于任意一点O，都存在过点O的直线与a，b都垂直C.若，，则D.若，则答案：BC解析：思路：根据空间线线、线面、面面位置关系有关知识对选项进行分析，从而确定正确答案.解答过程：A选项，若，，则或，与矛盾，所以A选项错误.B选项，如图所示，过上一点，作，则a,c确定一个平面，设这个平面为ω，对任意一点，都可以作平面ω的一条垂线，设垂线为l，则,所以l⊥C选项，假设平面，由，得；由，得，推得a//b，与为异面直线矛盾，故无交线，即，C正确.D选项，构造反例：取平面，在内作直线，内作直线，令，此时两平面平行不垂直，故D错误.11.在长方体中，底面为正方形，AA1=4，，，分别为棱，的中点，设过点B,E,F的平面为，，则（）A.B.截长方体所得截面为五边形C.截长方体所得截面的周长不超过12D.与平面所成的锐二面角的正切值为5答案：ABD解析：思路：选项A：通过延长线构建辅助点，利用相似三角形的对应边成比例关系计算即可；选项B：利用辅助线确定所有顶点的位置，顺次连接得到截面多边形；选项C：利用勾股定理计算的长度和即可；选项D：结合图形确定二面角的平面角.利用等面积法求出点到交线的距离C1N，结合已知高度PC1解答过程：对于A ：如图，连接并延长交的延长线于点，则，，连接交于点M，则，所以.又，所以，，故A正确.对于B ：延长交的延长线于点，则，所以.连接交于点G，则，则，则.所以以截长方体所得截面为五边形，故B正确.对于C ：五边形的周长为.其中：，，，，，所以五边形的周长为，故C错误.对于D ：过点作于点，由等面积法可得.连接，由平面，平面，可得,且，平面，故平面，平面，所以，所以即为二面角的平面角，即与平面所成的锐二面角，且.即与平面所成的锐二面角的正切值为5，故D正确.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.某新能源科技公司研发团队共有36名成员，其中女性成员12人．现按比例采用分层随机抽样的方法抽取6人参加国际清洁能源峰会，则被选中的男性成员人数为__________．答案：4解析：解答过程：某新能源科技公司研发团队男性成员有人，则男性成员:女性成员，被选中的男性成员人数人.13.已知复数z满足，则的最小值为_____．答案：2解析：思路：几何法思路：根据复数模的几何意义，对应复平面以为圆心、1为半径的圆，表示圆上点到原点的距离，原点到圆心距离为3，用圆心距减去半径即可得到最小值．代数法思路：设，将转化为圆的方程，把用含的代数式表示，结合的取值范围求出的最小值．解答过程：方法一：几何法复数在复平面内对应的点为，表示点在以为圆心、半径的圆上，表示点到原点O0,0的距离．圆心C到原点的距离为，因为圆上点到原点的最小距离圆心到原点距离半径，即．方法二：代数法设，由得，即，所以，由圆的范围，得，当时，．14.若对任意的，都有，则称是完美集合．从集合的所有非空子集中任选1个，该集合不是完美集合的概率是__________．答案：解析：思路：首先确定非空子集的个数；根据“完美集合”的定义，可列举出所有“完美集合”，根据古典概型概率公式求得结果.解答过程：集合共有9个元素，则集合有个非空子集.根据“完美集合”的定义，若对任意的，都有.若中含有元素，由于无意义，不满足定义，故不是完美集合；若中含有元素，则要求，但不在原集合中，故不满足定义；同理，含有或3的集合也不是完美集合，因此，完美集合只能是集合的非空子集，其中满足完美集合的有1、、、、、、，共7个，所以集合的所有非空子集中不是完美集合的个数为个，所以非空子集中不是完美集合的概率是.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.如图，是圆O的直径，垂直于圆O所在的平面，C是圆周上一点，且，PA=8．（1）求证：BC⊥（2）求点A到平面的距离．答案：（1）因为点C在底面圆周上，是圆O的直径，所以，即，因为垂直于圆O所在的平面，BC⊂平面，所以，又，平面，平面，所以BC⊥平面，又平面，所以BC⊥PC．（2）245思路：（1）根据题意可得出，，利用线面垂直的判定定理得BC⊥平面，再利用线面垂直的性质定理即可证明；（2）方法一：过点A作，交于点H，通过证明平面得的长度即是点A到平面的距离，进而可求解；方法二：利用等积法，根据求解.（1）略（2）方法一：如图，过点A作，交于点H，由（1）知BC⊥平面，又AH⊂平面，所以，又，平面，BC⊂平面，所以平面，则的长度即是点A到平面的距离．在△PAC中，，由，即，解得，即点A到平面的距离为245．方法二：由题可得．设点A到平面的距离为h，由题意知，即，即，解得，即点A到平面的距离为245．16.在一个不透明的袋子中装有6个小球，其中有3个红球（分别标有数字1，2，3），2个黄球（分别标有数字1，2），1个白球（标有数字1）．现从袋中随机一次性摸出3个小球，记事件“3个小球的颜色均不相同”，B=“取出的小球上的数字分别为1，2，3”，C=（1）求PC（2）判断事件A，B是否相互独立，并说明理由．答案：（1）PC（2）事件："3个小球颜色均不相同"，即必须取到红、黄、白各一个.红球有3种取法，黄球有2种，白球1种，故n(A)=3×2×1=6，P(A)=620=310.事件："取出的小球上的数字分别为1,2,3"，即取到的三个数字恰好是1、2、3各一个.数字1的球有3个（R1,Y1,W1），数字2的球有2个（R2,Y2），数字3的球有1个（R3），故n(解析：思路：（1）列举所有等可能的取法，统计数字和大于5的取法数，利用古典概型求概率；（2）分别计算P(A)、P(B（1）设3个红球分别为R1,R白球为W1取法有：R1R2R3R2R3Y1,R其中数字和大于5的有：R1R2R3，R1R3Y2，故P(（2）略17.某市组织数学建模大赛，从参加比赛的名学生中随机抽取100名学生的成绩进行样本分析（满分为分，按照，，…，分成六组），并绘制成如图所示的频率分布直方图，其中a=2b．（1）求图中的值，并估计样本数据的众数；（同一组数据用该组区间的中点值作代表）（2）根据成绩，准备给成绩较高的的学生颁发一等奖，估计获得一等奖学生的最低分；（3）若落在中的样本数据的平均数是，方差是，落在中的样本数据的平均数是，方差是2，求落在中的样本数据的平均数和方差．答案：（1），众数为（2）分．（3）；解析：思路：（1）由概率之和为1以及a=2b即可求解（2）先分析一等奖所在区间，根据题意建立方程求解即可；（3）由分层随机抽样的平均数和方差公式计算即可.（1）依题意可知，，又a=2b，解得由图可知样本数据的众数落在区间内，所以估计样本数据的众数为125．（2）由（1）可知，即成绩落在中的频率为，成绩落在中的频率为0.25，则获得一等奖学生的最低分应落在中．设获得一等奖学生的最低分为x，则有，解得，即估计获得一等奖学生的最低分约为138分．（3），.18.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．（1）求C．（2）．（ⅰ）若△ABC的周长为，角C的平分线交于点D，求的长；（ⅱ）若△ABC为锐角三角形，，求的取值范围．答案：（1）（2）（ⅰ）；（ⅱ）解析：思路：（1）根据两角和的正弦展开公式和正弦定理化简原式并求解即可；（2）（ⅰ）根据周长和余弦定理建立关于的方程并求解，再结合面积公式求解；（ⅱ）通过向量运算建立和的方程，进而根据正弦定进行边角转化，再利用三角函数求解范围.（1），即，由正弦定理可得，又，所以，因为，所以，所以，即，又，所以．（2）（ⅰ）因为，△ABC的周长为，所以，由余弦定理可得，即，即，得，所以△ABC的面积为，则，所以．（ⅱ）因为，所以E是的中点，所以，则，又，所以，由正弦定理可得，所以，，所以．因为△ABC为锐角三角形，所以，解得，所以，所以，所以，所以，则的取值范围是．19.如图，在四棱锥中，底面为梯形，，，，为等边三角形，，，．（1）求直线与平面所成角的正弦值．（2）若